obliczając rozszerzalność cieplną, należy wziąć pod uwagę, czy ciało może swobodnie się rozszerzać, czy jest ograniczone. Jeśli ciało może swobodnie się rozszerzać, rozszerzenie lub odkształcenie wynikające ze wzrostu temperatury można po prostu obliczyć za pomocą odpowiedniego współczynnika rozszerzalności cieplnej.
jeśli ciało jest ograniczone tak, że nie może się rozwinąć, wtedy stres wewnętrzny zostanie spowodowany (lub zmieniony) zmianą temperatury. Naprężenie to można obliczyć, biorąc pod uwagę naprężenie, które wystąpiłoby, gdyby ciało mogło swobodnie się rozszerzać i naprężenie wymagane do zmniejszenia tego naprężenia do zera, poprzez zależność naprężenie/naprężenie charakteryzujące się modułem sprężystości lub Younga. W szczególnym przypadku materiałów stałych zewnętrzne ciśnienie otoczenia zwykle nie wpływa znacząco na wielkość obiektu, dlatego zazwyczaj nie jest konieczne rozważanie wpływu zmian ciśnienia.
zwykłe ciała stałe mają zwykle współczynniki rozszerzalności cieplnej, które nie różnią się znacząco w zakresie temperatur, w których są przeznaczone do stosowania, więc tam,gdzie nie jest wymagana bardzo wysoka dokładność, praktyczne obliczenia mogą być oparte na stałej, średniej wartości współczynnika rozszerzalności.
rozszerzenie Liniaedytuj
ekspansja liniowa oznacza zmianę jednego wymiaru (długości) w przeciwieństwie do zmiany objętości (ekspansji objętościowej).W pierwszym przybliżeniu zmiana długości obiektu spowodowana rozszerzalnością cieplną jest związana ze zmianą temperatury o współczynnik liniowej rozszerzalności cieplnej (CLTE). Jest to ułamkowa zmiana długości na stopień zmiany temperatury. Zakładając znikomy wpływ ciśnienia, możemy napisać:
α l = 1 L d L D T {\displaystyle \ alpha _{l} = {\frac {1}{L}}\,{\frac {dL} {dT}}}
gdzie L {\displaystyle L}
to konkretna miara długości, A d L / D T {\displaystyle dL/dT}
to szybkość zmiany tego wymiaru liniowego na zmianę temperatury jednostki.
zmianę wymiaru liniowego można oszacować na:
Δ L l = α l Δ t {\displaystyle {\frac {\Delta L}{L}}=\alpha _{l}\Delta T}
to oszacowanie działa dobrze, o ile współczynnik rozszerzalności liniowej nie zmienia się zbytnio przy zmianie temperatury Δ T {\displaystyle \Delta T}
, a ułamkowa zmiana długości jest mała Δ l / l ≪ 1 {\displaystyle \Delta L/L\ll 1}
. Jeśli którykolwiek z tych warunków nie spełnia, należy zintegrować dokładne równanie różniczkowe (używając d L/D T {\displaystyle dL/dt}
).
wpływ na strainEdit
w przypadku materiałów stałych o znacznej długości, takich jak pręty lub kable, oszacowanie wielkości rozszerzalności cieplnej może być opisane przez odkształcenie materiału, podane przez ϵ t h E r M A l {\displaystyle \ epsilon _{\mathrm {thermal} }}
i zdefiniowany jako: ϵ t h E r M A L = (L f I n A L − L i N I t i A L) L i N I T i a l {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {thermal}} ={\frac {(l_ {\mathrm {final}}- L_ {\mathrm {initial} })}{L_{\mathrm {initial}}} }}}}
gdzie L i n I t i a l {\displaystyle L_ {\mathrm {initial} }}
jest długością przed zmianą temperatury i L F I N A l {\displaystyle L_{\mathrm {final} }}
jest długością po zmianie temperatury. zmiana temperatury.
dla większości ciał stałych rozszerzalność cieplna jest proporcjonalna do zmiany temperatury:
ϵ t h E r M A L Δ Δ t {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {thermal} }\propto \Delta T}
tak więc zmiana napięcia lub temperatury może być szacowane przez:
ϵ t h E r M A l = α l Δ t {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {thermal} }=\alpha _{l}\Delta T}
gdzie
Δ T = ( T f I n A l − T i n I T i a l ) {\displaystyle \Delta T=(T_{\mathrm {FINAL} }-t_{\mathrm {initial} })}
jest różnicą temperatury między dwoma zarejestrowanymi szczepami, mierzoną w stopniach Fahrenheita, stopniach Rankine ’ a, stopniach Celsjusza lub Kelvina, i α l {\displaystyle \ alpha _{L}}
jest liniowym współczynnikiem rozszerzalności cieplnej w „na stopień Fahrenheita”, „na stopień Rankine”, „na stopień Celsjusza” lub „na kelvin”, oznaczonym odpowiednio przez °F−1, R−1, °C−1 lub K−1. W dziedzinie mechaniki continuum rozszerzalność cieplna i jej efekty są traktowane jako eigenstrain i eigenstress.
rozszerzenie Powierzchniedytuj
współczynnik rozszerzalności cieplnej powierzchni odnosi się do zmiany wymiarów powierzchni materiału do zmiany temperatury. Jest to ułamkowa zmiana powierzchni na stopień zmiany temperatury. Ignorując presję, możemy napisać:
α a = 1 A d A d t {\displaystyle \alpha _{a}={\frac {1}{a}}\,{\frac {dA} {dT}}}
gdzie A {\displaystyle A}
jest obszarem zainteresowania obiektu, A d A / D T {\displaystyle dA/dt}
jest szybkością zmiany tego obszaru na jednostkę zmiany temperatury.
zmiany w okolicy można oszacować jako:
Δ a a = α a Δ t {\displaystyle {\frac {\Delta A}{A}}=\alpha _{a}\Delta T}
to równanie działa dobrze, o ile współczynnik rozszerzalności obszaru nie zmienia się zbytnio przy zmianie temperatury Δ T {\displaystyle \Delta T}
, a ułamkowa zmiana obszaru jest mała Δ a / a ≪ 1 {\displaystyle \Delta A/A\ll 1}
. Jeżeli którykolwiek z tych warunków nie spełnia, równanie musi być całkowane.
rozszerzenie Objętościedit
w przypadku bryły stałej możemy zignorować wpływ nacisku na materiał, a objętościowy współczynnik rozszerzalności cieplnej można zapisać:
α v = 1 V d V D T {\displaystyle \ alpha _{v} = {\frac {1}{V}}\, {\frac {dV}{dT}}}
gdzie V {\displaystyle V}
to objętość materiału, A d V / D T {\displaystyle dV/dt}
to szybkość zmiany tej objętości wraz z temperaturą.
oznacza to, że objętość materiału zmienia się o pewną ustaloną ilość ułamkową. Na przykład stalowy blok o objętości 1 metra sześciennego może rozszerzyć się do 1,002 metra sześciennego, gdy temperatura zostanie podniesiona o 50 K. Jest to ekspansja o 0,2%. Gdybyśmy mieli blok stali o objętości 2 metrów sześciennych, to w tych samych warunkach rozszerzyłby się do 2,004 metrów sześciennych, ponownie ekspansję o 0,2%. Współczynnik rozszerzalności objętościowej wynosiłby 0,2% dla 50 K lub 0,004% K-1.
jeśli znamy już współczynnik rozszerzalności, możemy obliczyć zmianę objętości
Δ V V = α v Δ t {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\alpha _{v}\Delta T}
gdzie Δ v / v {\displaystyle \delta v/v}
jest ułamkową zmianą objętości (np. 0,002) i Δ t {\displaystyle \ Delta T}
jest zmianą temperatury (50 °C).
powyższy przykład zakłada, że współczynnik rozszerzalności nie zmienił się wraz ze zmianą temperatury, a wzrost objętości jest niewielki w porównaniu do pierwotnej objętości. Nie zawsze jest to prawda, ale dla małych zmian temperatury jest to dobre przybliżenie. Jeśli współczynnik rozszerzalności objętościowej zmienia się znacząco wraz z temperaturą lub wzrost objętości jest znaczący, wówczas powyższe równanie będzie musiało zostać zintegrowane:
ln ( V + Δ V V ) = ∫ T i T F α V ( T ) D T {\displaystyle \LN \left({\frac {V+\Delta V}{V}}\right)=\int _{T_{i}}^{t_{f}}\alpha _{V}(T)\,dt}
δ V V = EXP ( ∫ T I T F α v ( t ) d T ) − 1 {\displaystyle {\frac {\delta v}{v}}=\EXP \Left(\int _{t_{i}}^{t_{f}}\Alpha _{v}(t)\,DT\right)-1}
gdzie α V (T) {\displaystyle \ alpha _{V} (T)}
jest objętościowym współczynnikiem rozszerzalności w funkcji temperatury T, oraz T i {\displaystyle T_{i}}
, T F {\displaystyle t_{f}}
są odpowiednio temperaturą początkową i końcową.
materiały Izotropoweedit
dla materiałów izotropowych objętościowy współczynnik rozszerzalności cieplnej jest trzykrotnie większy niż współczynnik liniowy:
α v = 3 α l {\displaystyle \alpha _{V}=3\alpha _{L}}
ten stosunek powstaje, ponieważ objętość składa się z trzy wzajemnie prostopadłe kierunki. Tak więc, w materiale izotropowym, dla małych różnicowych zmian, jedna trzecia rozszerzalności objętościowej znajduje się w jednej osi. Jako przykład, weźmy sześcian stali, który ma boki długości L. oryginalna objętość będzie wynosić V = L 3 {\displaystyle V = L^{3}}
i nowa objętość, po wzroście temperatury, będzie wynosić V + Δ V = (L + Δ l ) 3 = L 3 + 3 L 2 Δ l + 3 L Δ l 2 + Δ l 3 ≈ L 3 + 3 L 2 Δ L = V + 3 V Δ l L . {\displaystyle V+\Delta V=(L+\Delta L)^{3}=L^{3}+3L^{2}\Delta L+3L\Delta L^{2}+\Delta L^{3}\approx L^{3}+3L^{2}\Delta L=V+3V {\Delta l \ over l}.}
możemy łatwo zignorować warunki, ponieważ zmiana w L jest małą ilością, która na kwadratowym staje się znacznie mniejsza.
so
Δ V V = 3 Δ l L = 3 α l Δ T . {\displaystyle {\frac {\Delta V} {V}}=3 {\Delta l \ over L} = 3 \ alpha _{l} \ Delta T.}
powyższe przybliżenie dotyczy niewielkich zmian temperatury i wymiarów (tj. gdy Δ t {\displaystyle \Delta T}
i Δ l {\displaystyle \ Delta L}
są małe); ale nie ma to miejsca, jeśli próbujemy przechodzić między współczynnikami objętościowymi i liniowymi przy użyciu większych wartości Δ T {\displaystyle \Delta T}
. W tym przypadku należy wziąć pod uwagę trzeci wyraz (a czasami nawet czwarty) w powyższym wyrażeniu.
podobnie współczynnik rozszerzalności cieplnej powierzchni jest dwukrotnie większy niż współczynnik liniowy:
α a = 2 α l {\displaystyle \alpha _{a}=2\alpha _{l}}
ten współczynnik można znaleźć w sposób podobny do tego w powyższym przykładzie liniowym, zauważając, że powierzchnia twarzy na sześcianie wynosi po prostu L 2 {\displaystyle L^{2}}
. Ponadto, te same kwestie muszą być brane pod uwagę, gdy mamy do czynienia z dużymi wartościami Δ t {\displaystyle \Delta T}
.
mówiąc prościej, jeśli długość bryły rozszerza się z 1 m do 1,01 M, to powierzchnia rozszerza się z 1 m2 do 1,0201 m2, a objętość rozszerza się z 1 m3 do 1,030301 m3.
materiały Anizotropoweedit
materiały o strukturach anizotropowych, takich jak kryształy (o symetrii mniejszej niż sześcienna, na przykład fazy martenzytyczne) i wiele kompozytów, na ogół będą miały różne współczynniki rozszerzalności liniowej α l {\displaystyle \alpha _{L}}
w różnych kierunkach. W rezultacie całkowita ekspansja objętościowa jest rozłożona nierównomiernie między trzy osie. Jeśli symetria kryształu jest monokliniczna lub trikliniczna, nawet kąty między tymi osiami podlegają zmianom termicznym. W takich przypadkach konieczne jest traktowanie współczynnika rozszerzalności cieplnej jako tensora z maksymalnie sześcioma niezależnymi elementami. Dobrym sposobem na określenie elementów tensora jest badanie ekspansji za pomocą dyfrakcji proszkowej promieniowania rentgenowskiego. Tensor współczynnika rozszerzalności cieplnej dla materiałów posiadających symetrię sześcienną (np. FCC, BCC) jest izotropowy.