Definice Lineární Rovnice Prvního Řádu
diferenciální rovnice typu
\
kde \(\left( x \right)\) a \(f\left( x \right)\) jsou spojité funkce \(x\) se nazývá lineární nonhomogeneous diferenciální rovnice prvního řádu. Budeme uvažovat dvě metody řešení lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu:
- Pomocí integračního faktoru;
- Metoda variace konstanty.
Pomocí Integrující Faktor
Pokud lineární diferenciální rovnice je napsaná ve standardní formě:
\
integrační faktor je definován podle vzorce
\
Vynásobením levé straně rovnice integrační faktor \(u\left( x \right)\) převádí na levou stranu na derivaci součinu \(y\left( x \right) u\left( x \right).\)
obecné řešení diferenciální rovnice je vyjádřena následovně:
\
kde \(C\) je libovolná konstanta.
metoda variace konstanty
tato metoda je podobná předchozímu přístupu. Nejprve je nutné najít obecné řešení homogenní rovnice:
\
obecné řešení z homogenní rovnice obsahuje konstantu integrace \(C\) nahradíme konstantu \(C\) se určité (dosud neznámé) funkce \(C\left( x \right).\ ) Nahrazením tohoto řešení do nehomogenní diferenciální rovnice můžeme určit funkci \(C\left( x \right).\)
popsaný algoritmus se nazývá metoda variace konstanty. Obě metody samozřejmě vedou ke stejnému řešení.
Problém Počáteční Hodnoty
Pokud kromě diferenciální rovnice, tam je také počáteční podmínku ve tvaru \(y\left( {{x_0}} \right) = {y_0},\) takový problém se nazývá problém počáteční hodnoty (IVP) nebo Cauchyho problém.
konkrétní řešení pro IVP neobsahuje konstantu \(C\), který je definován substituce obecné řešení do počáteční podmínku \(y\left( {{x_0}} \right) = {y_0}.\)
Vyřešené problémy
klepnutím nebo klepnutím na problém zobrazíte řešení.
Příklad 1
vyřešte rovnici \(y‘ – y – x{e^x} \) \(= 0.\)
příklad 2
vyřešte diferenciální rovnici \(xy ‚ = y + 2{x^3}.\)
Příklad 3
Řešení rovnice \(y‘ – 2y = x.\)
Příklad 4
Řešení diferenciální rovnice \({x^2}y‘ + xy + 2 \) \(= 0.\)
příklad 5
vyřešte problém s počáteční hodnotou: \(y – – y \ tan x \) \ (=\sin x,\) \(y\left (0 \right) = 1.\)
Příklad 6
Řešení diferenciální rovnice (IVP) \(y‘ + {\large\frac{3}{x}\normalsize}y \) \(= {\large\frac{2}{{{x^2}}}\normalsize}\) s počáteční podmínkou \(y\left( 1 \right) = 2.\)
Příklad 7
Najděte obecné řešení diferenciální rovnice \(y = \left( {2{y^4} + 2x} \right)y‘.\)
Příklad 1.
vyřešte rovnici \(y‘ – y – x{e^x} \) \(= 0.\)
řešení.
tuto rovnici přepíšeme ve standardním tvaru:
\
Budeme řešit tuto rovnici pomocí integračního faktoru
\
Pak obecné řešení lineární rovnice je dána
\
Příklad 2.
vyřešte diferenciální rovnici \(xy ‚ = y + 2{x^3}.\)
řešení.
tento problém vyřešíme metodou variace konstanty. Nejprve najdeme obecné řešení homogenní rovnice:
\
což může být vyřešen oddělením proměnných:
\
kde \(C\) je kladné reálné číslo.
Nyní nahradíme \(C\) se určité (dosud neznámé) funkce \(C\left( x \right)\) a bude najít řešení původní nonhomogeneous rovnici ve tvaru:
\
Pak derivace je dána
\^\prime } }={ C\left( x \right)x + C\left( x \right).}\]
Dosazením do rovnice dává:
\ }={ C\left( x \right)x + 2{x^3},\;\;}}\Rightarrow
{{C\left( x \right){x^2} + \zrušit{C\left( x \right)x} }={ \zrušit{C\left( x \right)x} + 2{x^3},\;\;}}\Rightarrow
{C\left( x \right) = 2x.}
\]
Na integraci, najdeme funkce \({C\left( x \right)}:\)
\
kde \({C_1}\) je libovolné reálné číslo.
to Znamená, že obecné řešení dané rovnice je napsána ve formě
\