stamme er et mål for deformation, der repræsenterer forskydningen mellem partikler i kroppen i forhold til en referencelængde.
en generel deformation af et legeme kan udtrykkes i form af H = F(H), hvor H er referencepositionen for materialepunkter i kroppen. En sådan foranstaltning skelner ikke mellem stive kropsbevægelser (oversættelser og rotationer) og ændringer i form (og størrelse) af kroppen. En deformation har enheder af længde.
We could, for example, define strain to be
ε ≐ ∂ ∂ X ( x − X ) = F ′ − I , {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}’-{\boldsymbol {I}},}
where I is the identity tensor.Derfor er stammer dimensionsløse og udtrykkes normalt som en decimalfraktion, en procentdel eller i dele-pr. Stammer måler, hvor meget en given deformation adskiller sig lokalt fra en stiv kropsdeformation.
en stamme er generelt en tensormængde. Fysisk indsigt i stammer kan opnås ved at observere, at en given stamme kan nedbrydes til normale og forskydningskomponenter. Mængden af strækning eller kompression langs materialelinjeelementer eller fibre er den normale belastning, og mængden af forvrængning forbundet med glidning af plane lag over hinanden er forskydningsstammen inden i et deformerende legeme. Dette kan anvendes ved forlængelse, forkortelse eller volumenændringer eller vinkelforvrængning.
belastningstilstanden ved et materielt punkt i et kontinuumlegeme defineres som totaliteten af alle ændringer i længden af materialelinjer eller fibre, den normale stamme, der passerer gennem dette punkt, og også totaliteten af alle ændringer i vinklen mellem par af linjer, der oprindeligt er vinkelret på hinanden, forskydningsstammen, der udstråler fra dette punkt. Det er imidlertid tilstrækkeligt at kende de normale og forskydningskomponenter af belastning på et sæt af tre indbyrdes vinkelrette retninger.
hvis der er en stigning i længden af materialelinjen, kaldes den normale belastning trækstamme, ellers, hvis der er reduktion eller kompression i længden af materialelinjen, kaldes det trykstamme.
Strain measuresEdit
afhængig af mængden af stamme eller lokal deformation er analysen af deformation opdelt i tre deformationsteorier:
- endelig belastningsteori, også kaldet stor belastningsteori, stor deformationsteori, beskæftiger sig med deformationer, hvor både rotationer og stammer er vilkårligt store. I dette tilfælde er de uformede og deformerede konfigurationer af kontinuumet væsentligt forskellige, og der skal skelnes klart mellem dem. Dette er almindeligvis tilfældet med elastomerer, plastisk deformerende materialer og andre væsker og biologisk blødt væv.
- uendelig lille stammeteori, også kaldet Lille stammeteori, lille deformationsteori, lille forskydningsteori eller lille forskydningsgradientteori, hvor stammer og rotationer begge er små. I dette tilfælde kan de uformede og deformerede konfigurationer af kroppen antages identiske. Den uendelige stammeteori bruges til analyse af deformationer af materialer, der udviser elastisk opførsel, såsom materialer, der findes i mekaniske og anlægsopgaver, f.eks. beton og stål.
- stor forskydning eller storrotationsteori, som antager små stammer, men store rotationer og forskydninger.
i hver af disse teorier defineres stammen derefter forskelligt. Ingeniørstammen er den mest almindelige definition, der anvendes på materialer, der anvendes i mekanisk og strukturel teknik, som udsættes for meget små deformationer. På den anden side, for nogle materialer, f.eks. elastomerer og polymerer, udsat for store deformationer, er den tekniske definition af stamme ikke anvendelig, f. eks. typiske ingeniørstammer større end 1%, således kræves andre mere komplekse definitioner af stamme, såsom strækning, logaritmisk stamme, grøn stamme og Almansi stamme.
Engineering strainEdit
Cauchy-stammen eller engineering-stammen udtrykkes som forholdet mellem total deformation og den indledende dimension af det materielle legeme, hvori kræfterne påføres. Den tekniske normale stamme eller tekniske ekstensionsstamme eller nominelle stamme e af et materialelinjeelement eller fiber aksialt belastet udtrykkes som ændringen i længde LRR pr.enhed af den oprindelige længde L af linieelementet eller fibrene. Den normale belastning er positiv, hvis materialefibrene strækkes og negativ, hvis de komprimeres. Således har vi
e = ll l = l − L l {\displaystyle \ e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {l-L}{L}} = {\frac {l-L} {L}}}
hvor e er den tekniske normale belastning, er L den oprindelige længde af fiberen, og l er den endelige længde af fiberen. Målinger af belastning udtrykkes ofte i dele pr.
den sande forskydningsstamme defineres som ændringen i vinklen (i radianer) mellem to materialelinjeelementer, der oprindeligt er vinkelret på hinanden i den uformede eller indledende konfiguration. Den tekniske forskydningsstamme er defineret som tangenten for den vinkel og er lig med længden af deformation ved sit maksimum divideret med den vinkelrette længde i kraftanvendelsesplanet, som undertiden gør det lettere at beregne.
Stretch ratioEdit
strækningsforholdet eller forlængelsesforholdet er et mål for den ekstensionelle eller normale belastning af et differentialelinjeelement, som kan defineres ved enten den udeformerede konfiguration eller den deformerede konfiguration. Det defineres som forholdet mellem den endelige længde l og den indledende længde L af materialelinjen.
l = l {\displaystyle \ \ lambda ={\frac {l} {L}}}
forlængelsesforholdet er omtrent relateret til ingeniørstammen med
e = l-L L = L-1 {\displaystyle \ e={\frac {l-L}{L}}=\lambda -1}
denne ligning indebærer, at den normale belastning er nul, så der ikke er nogen deformation, når strækningen er lig med enhed.
strækforholdet anvendes til analyse af materialer, der udviser store deformationer, såsom elastomerer, som kan opretholde strækforhold på 3 eller 4, før de fejler. På den anden side fejler traditionelle tekniske materialer, såsom beton eller stål, ved meget lavere strækforhold.
True strainEdit
den logaritmiske stamme, også kaldet, true strain eller Hencky strain. I betragtning af en inkrementel stamme (Ludvik)
l = l l {\displaystyle \ \ Delta \ varepsilon = {\frac {\delta l} {l}}}
den logaritmiske stamme opnås ved at integrere denne inkrementelle stamme:
∫ δ ε = ∫ L l ∆ l l ε = ln ( l-L ) = ln ( λ ) = ln ( 1 + e ) = e − e 2 2 + e 3 3 − ⋯ {\displaystyle \ {\begin{justeret}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \\\end{justeret}}}
hvor e er den tekniske belastning. Den logaritmiske stamme giver det korrekte mål for den endelige stamme, når deformation finder sted i en række trin under hensyntagen til belastningens påvirkning.
grøn strainEdit
den grønne stamme er defineret som:
lit G = 1 2 ( l 2 – L 2 l 2) = 1 2 (lit 2 − 1) {\displaystyle \ \ varepsilon _{G}={\tfrac {1}{2}} \ venstre ({\frac {l^{2} – L^{2}} {L^{2}}} {L ^ {2}}}\højre)={\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)}
Almansi strainEdit
Euler-Almansi − stammen er defineret som
list E = 1 2 ( l 2 − l 2 l 2 ) = 1 2 ( 1-1 list 2 ) {\displaystyle \ \varepsilon _{E}={\tfrac {1}{2}}\venstre({\frac {l^{2}-L^{2}}{l^{2}}}\højre)={\tfrac {1}{2}}\venstre(1 – {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\højre)}
Normal og shear strainrediger
stammer klassificeres som enten normal eller forskydning. En normal belastning er vinkelret på et elements overflade, og en forskydningsstamme er parallel med den. Disse definitioner er i overensstemmelse med dem med normal stress og forskydningsspænding.
Normal strainEdit
For et isotrop materiale, der overholder Hookes lov, vil en normal stress forårsage en normal belastning. Normale stammer producerer dilatationer.
overvej et todimensionelt, uendeligt, rektangulært materialeelement med dimensioner DH-dy, som efter deformation har form af en rhombus. Deformationen er beskrevet af forskydningsfeltet u. Fra geometrien af det tilstødende tal, vi har
l e n g t h ( A, B ) = d x {\displaystyle \mathrm {længde} (AB)=dx\,}
og
l e n g t h ( a, b ) = d x + ∂ x ∂ x d x ) 2 + ( ∂ y ∂ x d x ) 2 = d x 2 ( 1 + ∂ x ∂ x ) 2 + d x 2 ( ∂ y ∂ x ) 2 = d x ( 1 + ∂ x ∂ x ) 2 + ( ∂ y ∂ x ) 2 ≈ d x ( 1 + ∂ x ∂ x ) {\displaystyle {\begin{justeret}\mathrm {længde} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\højre)^{2}}}\\&={\sqrt {dx^{2}\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+dx^{2}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&\ca dx\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)\end{justeret}}\,\!}
For meget små forskydning gradienter pladsen af den afledte af u y {\displaystyle u_{y}}
er ubetydelig, og vi har l e n g t h ( a, b ) ≈ d x + ∂ x ∂ x d x {\displaystyle \mathrm {længde} (ab)\ca dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}
Den normale stamme i x-retning af det firkantede element er defineret ved
ε x = udvidelse oprindelige længde = l e n g t h ( a, b ) − e l l e n g t h ( A, B ) e l l e n g t h ( A B ) = ∂ x ∂ x {\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\text{forlængelse}}{\text{oprindelige længde}}}={\frac {\mathrm {længde} (ab)-\mathrm {længde} (AB)}{\mathrm {længde} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}
på samme måde, den normale stamme i y – og z-retninger bliver
ε y = ∂ y ∂ y , z ε = ∂ u z ∂ z {\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}} {\partial y}}\firkant, \varepsilon _{å}={\frac {\partial u_{å}} {\partial å}}\,\!}
Shear strainEdit
oprensning
1, eller radian
andre størrelser
Lira = Lira/G
den tekniske forskydningsstamme defineres som ændringen i vinkel mellem linjerne AC og AB. Derfor,
p = p = p + p {\displaystyle \ gamma _ {p > p= \ p + p\,\!}
Fra geometrien af det tal, vi har
tan α = ∂ y ∂ x d x d x + ∂ x ∂ x d x = ∂ y ∂ x 1 + ∂ x ∂ x tan β = ∂ x ∂ y u-y u-y + ∂ y ∂ y u y = ∂ x ∂ y 1 + ∂ y ∂ y {\displaystyle {\begin{justeret}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_ {}} {\partial y}} {1 + {\tfrac {\partial u_{y}} {\partial y}}} \ end{aligned}}}
for små forskydningsgradienter har vi
1 ; 1 {\displaystyle {\cfrac {\partial u_ {}} {\partial u_}} \ ll 1~;~ ~ {\cfrac {\partial u_{y}} {\partial y}} \ ll 1}
for små rotationer, dvs. Derfor,
lit u y lit; lit u y lit y {\displaystyle \ Alpha \ ca {\cfrac {\partial u_{y}} {\partial u_ {y}}~; ~ ~ \ beta \ ca {\cfrac {\partial u_ {lit}} {\partial y}}}
således
γ x y = α + β = ∂ y ∂ x + ∂ x ∂ y {\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\,\!}
ved at skifte mellem Y og Y og Uy kan det vises, at YK = YK.
på samme måde, for yz – og xz-fly, har vi
γ y z = γ z y = ∂ y ∂ z + ∂ u z ∂ y , γ-z x = γ x z = ∂ u z ∂ x + ∂ x ∂ z {\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\,\!}
de tensoriale forskydningsstamme komponenter i den uendelige stamme tensor kan derefter udtrykkes ved hjælp af engineering strain definition, List, som
list _ _ = {\displaystyle {\understregning {\understregning {\boldsymbol {\varepsilon }}}}=\left= \ left\,\!}
metrisk tensorEdit
et stammefelt forbundet med en forskydning defineres på ethvert tidspunkt af ændringen i længden af tangentvektorerne, der repræsenterer hastighederne for vilkårligt parametriserede kurver, der passerer gennem dette punkt. Et grundlæggende geometrisk resultat, på grund af Fr Kristchet, von Neumann og Jordan, siger, at hvis længderne af tangentvektorerne opfylder aksiomerne for en norm og parallelogramloven, så er længden af en vektor kvadratroden af værdien af den kvadratiske form, der er forbundet med polarisationsformlen, med et positivt bestemt bilinært kort kaldet metrisk tensor.