Definition af lineær ligning af Første Orden
en differentialligning af typen
\
hvor \(A \ venstre (h \højre)\) og \(f\venstre( h \højre)\) er kontinuerlige funktioner af \(H,\) kaldes en lineær nonhomogen differentialligning af Første Orden. Vi overvejer to metoder til løsning af lineære differentialligninger af Første Orden:
- ved hjælp af en integrerende faktor;
- metode til variation af en konstant.
brug af en integrerende faktor
hvis en lineær differentialligning er skrevet i standardformularen:
\
den integrerende faktor er defineret af formlen
\
ved at multiplicere venstre side af ligningen med integrationsfaktoren \(u\venstre( h \højre)\) konverteres venstre side til derivatet af produktet \(y\venstre( h \højre) u\venstre( h \højre).\)
den generelle opløsning af differentialligningen udtrykkes som følger:
\
hvor \(C\) er en vilkårlig konstant.
metode til Variation af en konstant
denne metode ligner den tidligere tilgang. Først er det nødvendigt at finde den generelle løsning af den homogene ligning:
\
den generelle løsning af den homogene ligning indeholder en integrationskonstant \(C.\) Vi erstatter konstanten \(C\) med en bestemt (stadig ukendt) funktion \(C\venstre( h \højre).\ ) Ved at erstatte denne løsning i den ikke-homogene differentialligning kan vi bestemme funktionen \(C\venstre( h \højre).\)
den beskrevne algoritme kaldes metoden til variation af en konstant. Selvfølgelig fører begge metoder til den samme løsning.
Initial Value Problem
hvis der udover differentialligningen også er en initial betingelse i form af \(y\left( {{0}} \right) = {y_0},\) et sådant problem kaldes initial value problem (IVP) eller Cauchy problem.
en bestemt opløsning til en IVP indeholder ikke konstanten \(C,\), som er defineret ved substitution af den generelle opløsning til den oprindelige tilstand \(y\left( {{0}} \right) = {y_0}.\)
løst problemer
klik eller tryk på et problem for at se løsningen.
eksempel 1
Løs ligningen \(y ‘ – y – h{E^H} \) \ (=0.\)
eksempel 2
Løs differentialligningen \(sy ‘ = y + 2{s^3}.\)
eksempel 3
Løs ligningen \(y’ – 2y = s.\)
eksempel 4
Løs differentialligningen \({s^2} y ‘ + sy + 2\) \ (=0.\)
eksempel 5
Løs det oprindelige værdiproblem: \(y – – y \ tan\) \ (=\sin,\) \(y\venstre( 0 \højre) = 1.\)
eksempel 6
Løs differentialligningen(IVP) \(y’ + {\large\frac{3}{h}\normalstørrelse}y\) \ (={\large\frac{2} {{H^ ^ 2}}}\normalstørrelse}\) med den oprindelige betingelse \(y\left (1 \right) = 2.\)
eksempel 7
Find den generelle løsning af differentialligningen \(y = \ venstre ({2{y^4} + 2} \højre)y’.\)
eksempel 1.
Løs ligningen \(y ‘ – y – h{E^H} \) \ (=0.\)
opløsning.
vi omskriver denne ligning i standardformular:
\
vi løser denne ligning ved hjælp af den integrerende faktor
\
derefter gives den generelle løsning af den lineære ligning af
\
eksempel 2.
Løs differentialligningen \(sy ‘ = y + 2{s^3}.\)
opløsning.
vi løser dette problem ved at bruge metoden til variation af en konstant. Først finder vi den generelle løsning af den homogene ligning:
\
som kan løses ved at adskille variablerne:
\
hvor \(C\) er et positivt reelt tal.
nu erstatter vi \(C\) med en bestemt (stadig ukendt) funktion \(C \ venstre (h \højre)\) og vil finde en løsning af den oprindelige ikke-homogene ligning i formularen:
\
derefter gives derivatet af
\^\prime } }={ C’\left( h \right)H + C\left( h \right).}\]
at erstatte dette i ligningen giver:
\ }={ C \ venstre (s \højre)s + 2{s^3},\;\;}}\Højre pil
{{C ‘\ left (s \højre) {s^2} + \ Annuller{C \ left (s \højre) s} } = {\Annuller{C \ left (s \højre) s} + 2{s^3},\;\;}}\Højre pil
{C’ \ venstre (h \højre) = 2 gange.}
\]
ved integration finder vi funktionen \({C \ venstre (h \højre)}:\)
\
hvor \({C_1}\) er et vilkårligt reelt tal.
således er den generelle løsning af den givne ligning skrevet i formularen
\