mind-bendy underlighed af tallet nul, forklarede

den computer, du læser denne artikel på lige nu kører på en binær — strenge af nuller og dem. Uden nul ville moderne elektronik ikke eksistere. Uden nul er der ingen beregning, hvilket betyder ingen moderne teknik eller automatisering. Uden nul falder meget af vores moderne verden bogstaveligt talt fra hinanden.

menneskehedens opdagelse af nul var “en total game changer … svarende til os at lære sprog,” siger Andreas Nieder, en kognitiv videnskabsmand ved Universitetet i T. Krøbingen i Tyskland.

men for langt størstedelen af vores historie forstod mennesker ikke tallet nul. Det er ikke medfødt i os. Vi var nødt til at opfinde det. Og vi er nødt til at fortsætte med at undervise den til den næste generation.

andre dyr, som aber, har udviklet sig til at forstå det rudimentære koncept om ingenting. Og forskere rapporterede lige, at selv små bi-hjerner kan beregne nul. Men det er kun mennesker, der har beslaglagt nul og smedet det til et værktøj.

så lad os ikke tage nul for givet. Intet er fascinerende. Her er hvorfor.

hvad er nul, alligevel?

Getty Images

vores forståelse af nul er dyb, når du overvejer denne kendsgerning: vi støder ikke ofte eller måske nogensinde på nul i naturen.

tal som en, to og tre har en modstykke. Vi kan se en lys flash på. Vi kan høre to bip fra et bilhorn. Men nul? Det kræver, at vi erkender, at fraværet af noget er en ting i sig selv.

“nul er i sindet, men ikke i den sensoriske verden,” siger Robert Kaplan, en Harvard-matematikprofessor og forfatter til en bog om nul. Selv i de tomme områder af rummet, hvis du kan se stjerner, betyder det, at du bliver badet i deres elektromagnetiske stråling. I den mørkeste Tomhed er der altid noget. Måske kan et sandt nul — hvilket betyder absolut intet — have eksisteret i tiden før Big Bang. Men vi kan aldrig vide det.

ikke desto mindre behøver nul ikke at eksistere for at være nyttigt. Faktisk kan vi bruge begrebet nul til at udlede alle de andre tal i universet.

Kaplan gik mig gennem en tankeøvelse, der først blev beskrevet af matematikeren John von Neumann. Det er bedragerisk simpelt.

Forestil dig en kasse med intet i den. Matematikere kalder denne tomme boks ” det tomme sæt.”Det er en fysisk repræsentation af nul. Hvad er der inde i den tomme kasse? Intet.

tag nu en anden tom boks, og læg den i den første.

hvor mange ting er der i den første boks nu?

der er et objekt i det. Sæt derefter en anden tom kasse inde i de to første. Hvor mange objekter indeholder den nu? To. Og det er sådan, “vi henter alle tælletallene fra nul … fra ingenting,” siger Kaplan. Dette er grundlaget for vores nummersystem. Nul er en abstraktion og en realitet på samme tid. “Det er intet, der er,” som Kaplan sagde. (På dette tidspunkt i historien vil du måske tage endnu et hit på din bong.)

han satte det derefter i mere poetiske termer. “Nul står som den fjerne horisont, der vinker os på den måde, horisonter gør i malerier,” siger han. “Det forener hele billedet. Hvis du ser på nul, ser du intet. Men hvis du ser igennem det, ser du verden. Det er horisonten.”

når vi havde nul, har vi negative tal. Nul hjælper os med at forstå, at vi kan bruge matematik til at tænke på ting, der ikke har nogen modstykke i en fysisk levet oplevelse; imaginære tal findes ikke, men er afgørende for forståelsen af elektriske systemer. Nul hjælper os også med at forstå dens modsætning, uendelighed, i al sin ekstreme underlighed. (Vidste du, at en uendelighed kan være større end en anden?)

hvorfor nul er så forbandet nyttigt i matematik

Nuls indflydelse på vores matematik i dag er dobbelt. En: Det er et vigtigt pladsholderiffer i vores nummersystem. To: det er et nyttigt nummer i sig selv.

de første anvendelser af nul i menneskets historie kan spores tilbage til omkring 5.000 år siden, til det gamle Mesopotamien. Der blev det brugt til at repræsentere fraværet af et ciffer i en række tal.

her er et eksempel på hvad jeg mener: tænk på nummer 103. Nul i dette tilfælde står for “der er intet i kolonnen tiere.”Det er en pladsholder, der hjælper os med at forstå, at dette tal er et hundrede og tre og ikke 13.

Okay, du tænker måske, “dette er grundlæggende.”Men de gamle romere vidste ikke dette. Kan du huske, hvordan romerne skrev deres tal? 103 i romertal er CIII. Nummeret 99 er … du prøver at tilføje CIII + … det er absurd. Pladsholder notation er det, der giver os mulighed for nemt at tilføje, trække fra og ellers manipulere tal. Pladsholder notation er det, der giver os mulighed for at udarbejde komplicerede matematiske problemer på et ark papir.

hvis nul var forblevet blot et pladsholderiffer, ville det have været et dybtgående værktøj alene. Men for omkring 1.500 år siden (eller måske endda tidligere) i Indien blev nul sit eget tal, hvilket ikke betyder noget. De gamle mayaer, i Mellemamerika, udviklede også uafhængigt nul i deres talesystem omkring begyndelsen af den fælles æra.

i det syvende århundrede skrev den indiske matematiker Brahmagupta ned, hvad der er anerkendt som den første skriftlige beskrivelse af nulens aritmetik:

når nul føjes til et tal eller trækkes fra et tal, forbliver tallet uændret; og et tal ganget med nul bliver nul.

nul spredte sig langsomt over Mellemøsten, inden de nåede Europa, og sindet fra matematikeren Fibonacci i 1200-tallet, der populariserede det “arabiske” talesystem, vi alle bruger i dag.

derfra eksploderede nytten af nul. Tænk på enhver graf, der tegner en matematisk funktion, der starter ved 0,0. Denne nu allestedsnærværende metode til graftegning blev først opfundet i det 17.århundrede efter nul spredning til Europa. Det århundrede oplevede også et helt nyt felt af matematik, der afhænger af nul: calculus.

du kan huske fra gymnasiet eller college matematik, at den enkleste funktion i calculus tager et derivat. Et derivat er simpelthen hældningen af en linje, der skærer med et enkelt punkt på en graf.

for at beregne hældningen af et enkelt punkt har du normalt brug for et sammenligningspunkt: stig over løb. Det, Isaac og Gottfried opdagede, da de opfandt calculus, er, at beregning af denne hældning på et enkelt punkt indebærer at komme endnu tættere, tættere og tættere — men aldrig faktisk — dividere med nul.

” alle uendelige processer drejer rundt, danser rundt, begrebet nul, ” siger Robert Kaplan. Hov.

Hvorfor er nul så dybtgående som en menneskelig ide?

vi er ikke født med en forståelse af nul. Vi skal lære det, og det tager tid.

Elisabeth Brannon er en neuroscientist ved Duke University, der studerer, hvordan både mennesker og dyr repræsenterer tal i deres sind. Hun forklarer, at selv når børn yngre end 6 forstår, at ordet “nul” betyder “intet”, har de stadig svært ved at forstå den underliggende matematik. “Når du spørger, hvilket nummer der er mindre, nul eller en, tænker de ofte på et som det mindste tal,” siger Brannon. “Det er svært at lære, at nul er mindre end en.”

i eksperimenter vil Brannon ofte spille et spil med 4-årige. Hun lægger et par kort på et bord eller en skærm. Og hvert kort vil have et antal objekter på det. Et kort vil have to prikker, for eksempel. En anden vil have tre. Her er et eksempel på, hvad de kan se.

tendenser i kognitiv videnskab

hun vil simpelthen bede børnene om at vælge kortet med færrest antal objekter. Når et kort med intet på det er parret med et kort med et objekt på det, vil mindre end halvdelen af børnene få svaret rigtigt.

tendenser i kognitiv videnskab

så hvad sker der for at få det hele til at klikke?

Andreas Nieder, den kognitive videnskabsmand fra Tyskland, antager, at der er fire psykologiske trin til at forstå nul, og hvert trin er mere kognitivt kompliceret end det før det.

mange dyr kan komme igennem de første tre trin. Men den sidste fase, den sværeste, er “forbeholdt os mennesker,” siger Nieder.

den første er en bare at have den enkle sensoriske oplevelse af stimulus, der går til og fra. Dette er den enkle evne til at bemærke et lys, der flimrer til og fra. Eller en støj, der tænder og slukker.

den anden er adfærdsmæssig forståelse. På dette stadium kan dyr ikke kun genkende en mangel på stimulus, de kan reagere på det. Når en person er løbet tør for mad, ved de at gå og finde mere.

det tredje trin er at erkende, at nul eller en tom beholder er en værdi mindre end en. Dette er vanskeligt, selvom et overraskende antal dyr, inklusive honningbier og aber, kan genkende denne kendsgerning. Det er forståelse” at intet har en kvantitativ kategori, ” siger Nieder.

den fjerde fase tager fraværet af en stimulus og behandler som det som et symbol og et logisk værktøj til at løse problemer. Intet dyr uden for mennesker, siger han,” uanset hvor smart ” forstår, at nul kan være et symbol.

men selv veluddannede mennesker kan stadig snuble lidt, når de tænker på nul. Undersøgelser har vist, at voksne tager et øjeblik længere tid at genkende tallet nul sammenlignet med andre tal. Og når Brannons pick-the-lavest-number-card-eksperiment gentages med voksne, tager de lidt længere tid, når de beslutter mellem nul og en, end når man sammenligner nul med et større antal.

det tyder på, at nul, selv for voksne, tager en ekstra indsats af hjernekraft til at behandle.

hvad andet kan ikke forstå noget?

Getty Images/EyeEm

Vi må ikke blive født med evnen til at forstå nul. Men vores evne til at lære det kan have dybe evolutionære rødder, som nogle nye videnskab viser os.

det fjerde trin i at tænke på nul — det tænker på nul som et symbol — kan være unikt for mennesker. Men et overraskende antal dyr kan komme til trin tre: at erkende, at nul er mindre end et.

selv bier kan gøre det.

Scarlett, ph.d. – studerende ved Royal Melbourne Institute of Technology, offentliggjorde for nylig et eksperiment inden for videnskab, der næsten er identisk med det, Brannon gjorde med børn. Bierne valgte den tomme side 60 til 70 procent af tiden. Og de var betydeligt bedre til at diskriminere et stort antal, som seks, fra nul, end de var i at diskriminere en fra nul. Ligesom børnene.

dette er imponerende, i betragtning af at “vi har denne store pattedyrshjerne, men bier har en hjerne, der er så lille, vejer mindre end et milligram,” siger han. Hendes forskningsgruppe håber at forstå, hvordan bier gør disse beregninger i deres sind, med det mål at en dag bruge disse indsigter til at opbygge mere effektive computere.

i lignende eksperimenter har forskere vist, at aber kan genkende det tomme sæt (og ofte er bedre til det end 4-årige mennesker). Men det faktum, at bier kan gøre det, er lidt fantastisk, i betragtning af hvor langt de er væk fra os på livets evolutionære træer. “Den sidste fælles forfader mellem os og bierne levede for omkring 600 millioner år siden, hvilket er en evighed i evolutionære tider,” siger Nieder.

vi mennesker er måske kun kommet til at forstå nul som et tal for 1.500 år siden. Hvad eksperimenterne på bier og aber viser os er, at det ikke kun er vores opfindsomheds arbejde. Det er måske også evolutionens kulminerende arbejde.

der er stadig store mysterier om nul. For det første siger Nieder” vi ved næppe noget ” om, hvordan hjernen fysisk behandler det. Og vi ved ikke, hvor mange dyr der kan forstå ideen om intet som en mængde.

men hvad matematik tydeligt har vist os er, at når vi ikke undersøger noget, er vi nødt til at finde noget.