Bei der Berechnung der Wärmeausdehnung ist zu berücksichtigen, ob sich der Körper frei ausdehnen kann oder eingeschränkt ist. Wenn sich der Körper frei ausdehnen kann, kann die Ausdehnung oder Dehnung, die sich aus einer Temperaturerhöhung ergibt, einfach unter Verwendung des anwendbaren Wärmeausdehnungskoeffizienten berechnet werden.
Wenn der Körper so eingeschränkt ist, dass er sich nicht ausdehnen kann, wird innere Spannung durch eine Temperaturänderung verursacht (oder verändert). Diese Spannung kann berechnet werden, indem die Belastung berücksichtigt wird, die auftreten würde, wenn sich der Körper frei ausdehnen könnte, und die Belastung, die erforderlich ist, um diese Belastung durch die Spannungs-Dehnungs-Beziehung, die durch das Elastizitätsmodul oder den Elastizitätsmodul gekennzeichnet ist, auf Null zu reduzieren. Im speziellen Fall von festen Materialien beeinflusst der äußere Umgebungsdruck normalerweise nicht merklich die Größe eines Objekts und so ist es normalerweise nicht notwendig, die Wirkung von Druckänderungen zu berücksichtigen.
Gängige technische Feststoffe haben normalerweise Wärmeausdehnungskoeffizienten, die über den Temperaturbereich, in dem sie verwendet werden sollen, nicht signifikant variieren.
Lineare Ausdehnungbearbeiten
Lineare Ausdehnung bedeutet Änderung einer Dimension (Länge) im Gegensatz zur Volumenänderung (volumetrische Ausdehnung).In erster Näherung wird die Längenänderung eines Objekts aufgrund der Wärmeausdehnung durch einen linearen Wärmeausdehnungskoeffizienten (CLTE) mit der Temperaturänderung in Beziehung gesetzt. Es ist die Bruchänderung der Länge pro Grad der Temperaturänderung. Unter der Annahme einer vernachlässigbaren Druckwirkung können wir schreiben:
α L = 1 L D L D T {\displaystyle \alpha _{L}={\frac {1}{L}}\,{\frac {dL}{dT}}}
wobei L {\displaystyle L}}
ist eine bestimmte Längenmessung und d L / d T {\displaystyle dL / dT}
ist die Änderungsrate dieser linearen Dimension pro Temperaturänderung.
Die Änderung der linearen Dimension kann geschätzt werden:
Δ L L = α L Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta L}{L}}=\alpha _{L}\Delta T}
Diese Schätzung funktioniert gut, solange sich der lineare Ausdehnungskoeffizient über die Temperaturänderung Δ T {\displaystyle \Delta}
, und die Bruchlängenänderung ist klein Δ L / L ≪ 1 {\displaystyle \Delta L/L\ll 1}
. Wenn eine dieser Bedingungen nicht zutrifft, muss die exakte Differentialgleichung (unter Verwendung von d L / d T {\displaystyle dL / dT}
) integriert werden.
Auswirkungen auf die Dehnungbearbeiten
Für feste Materialien mit einer signifikanten Länge, wie Stäbe oder Kabel, kann eine Schätzung der thermischen Ausdehnung durch die Materialdehnung beschrieben werden, gegeben durch ϵ t h e r m a l {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {thermal} }}
und definiert als: ϵ t h e r m a l = ( L f i n a l − L i n i t i a l ) L i n i t i a l {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {thermisch} }={\frac {(L_{\mathrm {endgültig} }-L_{\mathrm {initial} })}{L_{\mathrm {initial} }} }}}}
wo L i n i t i a l {\displaystyle L_{\mathrm {}} }}
ist die Länge vor der Temperaturänderung und L f i n a l {\displaystyle L_{\mathrm {final} }}
ist die Länge nach der Temperaturänderung änderung der Temperatur.
Für die meisten Festkörper ist die Wärmeausdehnung proportional zur Temperaturänderung:
ϵ t h e r m a l ∝ Δ T {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {thermal} }\propto \Delta T}
Somit kann die Änderung entweder der Dehnung oder der Temperatur geschätzt werden, indem:
ϵ t h e r m a l = α L Δ T {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {thermisch} }=\alpha _{L}\Delta T}
wobei
Δ T = (T f i n a l − T i n i t i a l ) {\displaystyle \Delta T=(T_{\mathrm {Endung} }-T_{\mathrm {Anfang} })}
ist die Differenz der Temperatur zwischen den beiden aufgezeichneten Stämmen, gemessen in Grad Fahrenheit, Grad Rankine, Grad Celsius oder Kelvin, und α L {\displaystyle \alpha _{L}}
ist der lineare Wärmeausdehnungskoeffizient in „pro Grad Fahrenheit“, „pro Grad Rankine“, „pro Grad Celsius“ oder „pro Kelvin“, bezeichnet mit ° F−1, R−1, ° C−1 bzw. K−1. Im Bereich der Kontinuumsmechanik werden die thermische Ausdehnung und ihre Auswirkungen als Eigenstress und Eigenstress behandelt.
Flächenausdehnungbearbeiten
Der Wärmeausdehnungskoeffizient der Fläche bezieht die Änderung der Flächenabmessungen eines Materials auf eine Temperaturänderung. Es ist die fraktionierte Änderung der Fläche pro Grad der Temperaturänderung. Druck ignorieren, wir können schreiben:
α A = 1 Ein d Ein d T {\displaystyle \alpha _{A}= {\frac {1}{A}}\, {\frac {dA}{dT}}}
wobei A {\displaystyle A}}
ist ein interessierender Bereich auf dem Objekt, und d A / d T {\displaystyle dA / dT}
ist die Änderungsrate dieses Bereichs pro Temperaturänderung.
Die Veränderung der Fläche kann geschätzt werden als:
Δ A A = α A Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta A}{A}}=\alpha _{A}\Delta T}
Diese Gleichung funktioniert gut, solange sich der Flächenausdehnungskoeffizient über die Temperaturänderung Δ T {\displaystyle \Delta T} nicht wesentlich ändert}
, und die Bruchänderung der Fläche ist klein Δ A / A ≪ 1 {\displaystyle \Delta A/A\ll 1}
. Wenn eine dieser Bedingungen nicht zutrifft, muss die Gleichung integriert werden.
Volumenausdehnungbearbeiten
Für einen Festkörper können wir die Auswirkungen des Drucks auf das Material ignorieren, und der volumetrische Wärmeausdehnungskoeffizient kann geschrieben werden:
α V = 1 V d V d T {\displaystyle \alpha _{V}={\frac {1}{V}}\,{\frac {dV}{dT}}}
wobei V {\displaystyle V}}
ist das Volumen des Materials und d V / d T {\displaystyle dV/dT}
ist die Änderungsrate dieses Volumens mit der Temperatur.
Dies bedeutet, dass sich das Volumen eines Materials um einen festen Bruchteil ändert. Beispielsweise kann sich ein Stahlblock mit einem Volumen von 1 Kubikmeter auf 1,002 Kubikmeter ausdehnen, wenn die Temperatur um 50 K erhöht wird. Dies ist eine Ausdehnung von 0,2%. Wenn wir einen Stahlblock mit einem Volumen von 2 Kubikmetern hätten, würde er sich unter den gleichen Bedingungen auf 2.004 Kubikmeter ausdehnen, wiederum eine Ausdehnung von 0.2%. Der volumetrische Ausdehnungskoeffizient wäre 0,2% für 50 K oder 0,004% K-1.
Wenn wir den Ausdehnungskoeffizienten bereits kennen, können wir die Volumenänderung berechnen
Δ V V = α V Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\alpha _{V}\Delta T}
wobei Δ V / V { \displaystyle \Dreieck V/V}
ist die fraktionierte Volumenänderung (z. B. 0,002) und Δ T {\displaystyle \Delta T}
ist die Temperaturänderung (50 ° C).
Das obige Beispiel geht davon aus, dass sich der Ausdehnungskoeffizient bei Änderung der Temperatur nicht geändert hat und die Volumenzunahme im Vergleich zum ursprünglichen Volumen gering ist. Dies ist nicht immer der Fall, aber für kleine Temperaturänderungen ist es eine gute Annäherung. Wenn sich der volumetrische Ausdehnungskoeffizient mit der Temperatur merklich ändert oder die Volumenzunahme signifikant ist, muss die obige Gleichung integriert werden:
ln (V + Δ V V ) = ∫ T i T f α V ( T ) d T {\displaystyle \ln \links({\frac {V+\Delta V}{V}}\rechts)=\int _{T_{i}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,dT}
Δ V V = exp ( ∫ T i T f α V ( T ) dt ) − 1 {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\exp \links(\int _{T_{i}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,dT\rechts)-1}
wobei α V (T ) {\displaystyle \alpha _{V}(T)}
ist der volumetrische Ausdehnungskoeffizient als Funktion der Temperatur T, und T i {\displaystyle T_{i}}
, T f {\displaystyle T_{f}}
sind die Anfangs- bzw. Endtemperaturen.
Isotrope Materialienbearbeiten
Für isotrope Materialien beträgt der volumetrische Wärmeausdehnungskoeffizient das Dreifache des linearen Koeffizienten:
α V = 3 α L {\displaystyle \alpha _{V}=3\alpha _{L}}
Dieses Verhältnis ergibt sich, weil das Volumen aus drei zueinander orthogonale Richtungen. So ist in einem isotropen Material für kleine Differentialänderungen ein Drittel der Volumenausdehnung in einer einzigen Achse. Nehmen wir als Beispiel einen Stahlwürfel mit Seiten der Länge L. Das ursprüngliche Volumen ist V = L 3 {\displaystyle V=L^{3}}
und das neue Volumen ist nach einer Temperaturerhöhung V + Δ V = ( L + Δ L ) 3 = L 3 + 3 L 2 Δ L + 3 L Δ L 2 + Δ L 3 ≈ L 3 + 3 L 2 Δ L = V + 3 V Δ L L. {\displaystyle V+\Dreieck V=(L+\Dreieck L)^{3}= L^{3}+3L^{2}\Dreieck L+3L\Dreieck L^{2}+\Dreieck L^{3}\Dreieck L^{3}+3L^{2}\Dreieck L=V+3V{\Dreieck L \Dreieck L}.}
Wir können die Begriffe leicht ignorieren, da die Änderung in L eine kleine Menge ist, die beim Quadrieren viel kleiner wird.
Also
Δ V V = 3 Δ L L = 3 α L Δ T. {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=3{\Delta L \über L}=3\alpha _{L}\Delta T.}
Die obige Näherung gilt für kleine Temperatur- und Dimensionsänderungen (das heißt, wenn Δ T {\displaystyle \Delta T}
und Δ L {\displaystyle \Delta L}
sind klein); aber es gilt nicht, wenn wir versuchen, mit größeren Werten von Δ T {\displaystyle \Delta T}
zwischen volumetrischen und linearen Koeffizienten hin und her zu gehen. In diesem Fall muss der dritte Term (und manchmal sogar der vierte Term) im obigen Ausdruck berücksichtigt werden.
In ähnlicher Weise ist der thermische Ausdehnungskoeffizient der Fläche das Zweifache des linearen Koeffizienten:
α A = 2 α L {\displaystyle \alpha _{A}=2\alpha _{L}}
Dieses Verhältnis kann auf ähnliche Weise wie im obigen linearen Beispiel gefunden werden, wobei zu beachten ist, dass die Fläche einer Fläche auf dem Würfel nur L 2 {\displaystyle displaystyle L^{2}}
. Die gleichen Überlegungen müssen auch beim Umgang mit großen Werten von Δ T {\displaystyle \Delta T}
gemacht werden.
Einfacher ausgedrückt, wenn sich die Länge eines Festkörpers von 1 m auf 1,01 m ausdehnt, erweitert sich die Fläche von 1 m2 auf 1,0201 m2 und das Volumen von 1 m3 auf 1,030301 m3.
Anisotrope Materialienbearbeiten
Materialien mit anisotropen Strukturen, wie Kristalle (mit weniger als kubischer Symmetrie, zum Beispiel martensitische Phasen) und viele Verbundwerkstoffe, haben im Allgemeinen unterschiedliche lineare Ausdehnungskoeffizienten α L {\displaystyle \alpha _{L}}
in verschiedene Richtungen. Dadurch wird die Gesamtvolumenausdehnung ungleich auf die drei Achsen verteilt. Wenn die Kristallsymmetrie monoklin oder triklin ist, unterliegen sogar die Winkel zwischen diesen Achsen thermischen Änderungen. In solchen Fällen ist es notwendig, den Wärmeausdehnungskoeffizienten als Tensor mit bis zu sechs unabhängigen Elementen zu behandeln. Eine gute Möglichkeit, die Elemente des Tensors zu bestimmen, besteht darin, die Ausdehnung durch Röntgenpulverbeugung zu untersuchen. Der Tensor des Wärmeausdehnungskoeffizienten für die Materialien mit kubischer Symmetrie (z. B. FCC, BCC) ist isotrop.