¿Dónde está una función en un punto alto o bajo? El cálculo puede ayudar!
Un máximo es un punto alto y un mínimo es un punto bajo:
En una función que cambia suavemente, un máximo o mínimo siempre es donde la función se aplana (excepto en un punto de sillín).
¿Dónde se aplana? Donde la pendiente es cero.
¿Dónde está la pendiente cero? El Derivado nos dice!
Vamos a sumergirnos con un ejemplo:
- Ejemplo: Se lanza una bola al aire. Su altura en cualquier momento t viene dada por:
- ¿Cuál es su altura máxima?
- Un repaso rápido de Derivadas
- ¿Cómo Sabemos que es un Máximo (o Mínimo)?
- Prueba de segunda derivada
- Ejemplo: Encontrar los máximos y mínimos para:
- Palabras
- Un ejemplo más
- Ejemplo: Encuentre los máximos y mínimos para:
- Debe Ser Diferenciable
- Ejemplo: ¿Qué tal la función f (x) = | x / (valor absoluto)?
Ejemplo: Se lanza una bola al aire. Su altura en cualquier momento t viene dada por:
h = 3 + 14t-5t2
¿Cuál es su altura máxima?
Usando derivadas podemos encontrar la pendiente de esa función:
h = 0 + 14 − 5(2t)
= 14 − 10t
(Vea a continuación este ejemplo para ver cómo encontramos esa derivada.)
Ahora encontrar cuando la pendiente es cero:
La pendiente es cero a t = 1,4 segundos
Y la altura en ese momento es:
Y así:
La altura máxima es de 12,8 m (a t = 1,4 s)
Un repaso rápido de Derivadas
Una derivada básicamente encuentra la pendiente de una función.
En el ejemplo anterior tomamos esto:
h = 3 + 14t − 5t2
y se nos ocurrió esta derivada:
h = 0 + 14 − 5 (2t)
= 14 − 10t
Que nos indica la pendiente de la función en cualquier momento t
Utilizamos estas Reglas Derivadas:
- La pendiente de un valor constante (como 3) es 0
- La pendiente de una línea como 2x es 2, por lo que 14t tiene una pendiente de 14
- Una función cuadrada como t2 tiene una pendiente de 2t, por lo que 5t2 tiene una pendiente de 5(2t)
- Y luego las sumamos: 0 + 14 − 5(2t)
¿Cómo Sabemos que es un Máximo (o Mínimo)?
lo vimos en el gráfico! Pero por lo demás … los derivados vuelven al rescate.
Tome la derivada de la pendiente (la segunda derivada de la función original):
La derivada de 14 − 10t es -10
Esto significa que la pendiente se está reduciendo continuamente (-10): viajando de izquierda a derecha, la pendiente comienza positiva (la función aumenta), pasa por cero (el punto plano), y luego la pendiente se vuelve negativa (la función cae).:
Una pendiente que se hace más pequeña (y va a través de 0) significa un máximo.
Esto se llama la Segunda Prueba de Derivada
En el gráfico de arriba mostré la pendiente antes y después, pero en la práctica hacemos la prueba en el punto donde la pendiente es cero:
Prueba de segunda derivada
Cuando la pendiente de una función es cero en x, y la segunda derivada en x es:
- menor que 0 es un máximo local
- mayor que 0 es un mínimo local
- igual a 0, entonces la prueba falla (puede haber otras maneras de averiguar, aunque)
«Segunda Derivada: menos de 0 es un máximo, mayor que 0 es un mínimo»
Ejemplo: Encontrar los máximos y mínimos para:
y = 5×3 + 2×2 − 3x
La derivada (pendiente) es:
y = 15×2 + 4x− 3
Que es cuadrática con ceros en:
- x = -3/5
- x = +1/3
Podrían ser máximos o mínimos? (¡No mires el gráfico todavía!)
La segunda derivada es y» = 30x + 4
A x = -3/5:
A x = +1/3:
(Ahora se puede ver en el gráfico.)
Palabras
Un punto alto se llama un máximo (plural maxima).
Un punto bajo se llama mínimo (mínimos plurales).
La palabra general para máximo o mínimo es extremum (extremo plural).
Decimos máximo (o mínimo) local cuando puede haber puntos más altos (o más bajos) en otros lugares pero no cerca.
Un ejemplo más
Ejemplo: Encuentre los máximos y mínimos para:
y = x3-6×2 + 12x-5
La derivada es:
y = 3×2 − 12x + 12
Que es cuadrática con sólo un cero en x = 2
Es un máximo o mínimo?
La segunda derivada es y» = 6x − 12
En x = 2:
Y aquí es por qué:
Es un punto de silla … la pendiente se convierte en cero, pero no es ni un máximo ni un mínimo.
Debe Ser Diferenciable
Y hay un punto técnico importante:
La función debe ser diferenciable (la derivada debe existir en cada punto de su dominio).
Ejemplo: ¿Qué tal la función f (x) = | x / (valor absoluto)?
| |x / se parece a esto: |  |
En x = 0 tiene un cambio muy puntiagudo!
De hecho no es diferenciable allí (como se muestra en la página diferenciable).
Por lo que no podemos usar este método para la función de valor absoluto.
La función también debe ser continua, pero cualquier función que sea diferenciable también es continua, por lo que no hay que preocuparse por eso.