Observaciones generales
Probablemente el enfoque más natural de la lógica formal es a través de la idea de la validez de un argumento del tipo conocido como deductivo. Un argumento deductivo puede caracterizarse a grandes rasgos como uno en el que se afirma que una proposición (la conclusión) sigue con estricta necesidad de alguna otra proposición o proposiciones (las premisas), es decir, que sería inconsistente o contradictorio afirmar las premisas pero negar la conclusión.
Si un argumento deductivo ha de tener éxito en establecer la verdad de su conclusión, se deben cumplir dos condiciones muy distintas: en primer lugar, la conclusión debe seguir realmente de las premisas—es decir, la deducción de la conclusión de las premisas debe ser lógicamente correcta—y, en segundo lugar, las premisas mismas deben ser verdaderas. Un argumento que cumple estas dos condiciones se llama sonido. De estas dos condiciones, el lógico como tal solo se ocupa de la primera; la segunda, la determinación de la verdad o falsedad de las premisas, es la tarea de alguna disciplina especial o de observación común apropiada al objeto del argumento. Cuando la conclusión de un argumento es deducible correctamente de sus premisas, se dice que la inferencia de las premisas a la conclusión es (deductivamente) válida, independientemente de si las premisas son verdaderas o falsas. Otras formas de expresar el hecho de que una inferencia es deductivamente válida son decir que la verdad de las premisas da (o daría) una garantía absoluta de la verdad de la conclusión o que implicaría una inconsistencia lógica (a diferencia de un mero error de hecho) suponer que las premisas eran verdaderas pero la conclusión falsa.
Las inferencias deductivas a las que se refiere la lógica formal son, como su nombre indica, aquellas para las que la validez no depende de ninguna característica de su objeto, sino de su forma o estructura. Por lo tanto, las dos inferencias (1) Cada perro es un mamífero. Algunos cuadrúpedos son perros. Some Algunos cuadrúpedos son mamíferos. y (2) Todo anarquista es un creyente en el amor libre. Algunos miembros del partido del gobierno son anarquistas. Some Algunos miembros del partido del gobierno creen en el amor libre. difieren en materia y, por lo tanto, requieren diferentes procedimientos para verificar la verdad o falsedad de sus premisas. Pero su validez está asegurada por lo que tienen en común, a saber, que el argumento en cada uno es de la forma (3) Cada X es una Y. Algunas Z son X. Some Algunas Z son Y.
La línea (3) anterior puede llamarse una forma de inferencia, y (1) y (2) son entonces instancias de esa forma de inferencia. Las letras-X, Y y Z—in (3) marcan los lugares en los que se pueden insertar expresiones de un tipo determinado. Los símbolos utilizados para este fin se conocen como variables; su uso es análogo al de la x en álgebra, que marca el lugar en el que se puede insertar un número. Una instancia de una forma de inferencia se produce reemplazando todas las variables en ella por expresiones apropiadas (es decir, aquellas que tienen sentido en el contexto) y haciéndolo de manera uniforme (es decir, sustituyendo la misma expresión dondequiera que la misma variable recurra). La característica de (3) que garantiza que cada instancia de ella será válida es su construcción de tal manera que cada forma uniforme de reemplazar sus variables para hacer verdaderas las premisas automáticamente hace verdadera también la conclusión, o, en otras palabras, que ninguna instancia de ella puede tener premisas verdaderas sino una conclusión falsa. En virtud de esta característica, la forma (3) se denomina una forma de inferencia válida. En contraste, (4) Cada X es una Y. Algunas Z son Y Some Algunas Z son X. no es una forma de inferencia válida, porque, aunque se pueden producir casos en los que las premisas y la conclusión son todas verdaderas, también se pueden producir casos en los que las premisas son verdaderas pero la conclusión es falsa, por ejemplo, (5) Cada perro es un mamífero. Algunas criaturas aladas son mamíferos. creatures Algunas criaturas aladas son perros.
La lógica formal como estudio se refiere a las formas de inferencia en lugar de a instancias particulares de ellas. Una de sus tareas es discriminar entre formas de inferencia válidas e inválidas y explorar y sistematizar las relaciones que se mantienen entre las válidas.
La idea de una forma de inferencia válida está estrechamente relacionada con la de una forma de proposición válida. Una forma de proposición es una expresión de la cual las instancias (producidas como antes por reemplazos apropiados y uniformes para variables) no son inferencias de varias proposiciones a una conclusión, sino proposiciones tomadas individualmente, y una forma de proposición válida es aquella para la que todas las instancias son proposiciones verdaderas. Un ejemplo simple es (6) Nada es tanto una X como una no-X. La lógica formal se refiere a las formas de proposición, así como a las formas de inferencia. De hecho, se puede hacer que el estudio de las formas de proposición incluya el de las formas de inferencia de la siguiente manera: que las premisas de cualquier forma de inferencia dada (tomadas en conjunto) se abrevien con alfa (α) y su conclusión con beta (β). Entonces, la condición indicada anteriormente para la validez de la forma de inferencia «α, por lo tanto β» equivale a decir que ninguna instancia de la forma de proposición «α y no-β» es verdadera, es decir, que cada instancia de la forma de proposición(7) No ambas: α y no—β es verdadera, o que la línea (7), completamente explicada, por supuesto, es una forma de proposición válida. Sin embargo, el estudio de las formas de proposición no puede acomodarse de manera similar bajo el estudio de las formas de inferencia, y por razones de exhaustividad, es habitual considerar la lógica formal como el estudio de las formas de proposición. Debido a que el manejo lógico de las formas de proposición es en muchos sentidos análogo al manejo matemático de las fórmulas numéricas, los sistemas que construye a menudo se llaman cálculos.
Gran parte del trabajo de un lógico procede a un nivel más abstracto que el de la discusión anterior. Incluso una fórmula como (3) anterior, aunque no se refiere a ningún tema específico, contiene expresiones como «todo» y «es a», que se considera que tienen un significado definido, y las variables están destinadas a marcar los lugares para expresiones de un tipo particular (aproximadamente, sustantivos comunes o nombres de clase). Sin embargo, es posible—y para algunos fines es esencial—estudiar fórmulas sin atribuirles incluso este grado de significado. La construcción de un sistema de lógica, de hecho, implica dos procesos distinguibles: una consiste en establecer un aparato simbólico, un conjunto de símbolos, reglas para encadenarlos en fórmulas y reglas para manipular estas fórmulas; la segunda consiste en atribuir ciertos significados a estos símbolos y fórmulas. Si sólo se hace lo primero, se dice que el sistema no es interpretado o es puramente formal; si también se hace lo segundo, se dice que el sistema es interpretado. Esta distinción es importante, porque los sistemas de lógica resultan tener ciertas propiedades con independencia de cualquier interpretación que se les pueda dar. Un sistema axiomático de lógica puede tomarse como ejemplo, es decir, un sistema en el que ciertas fórmulas no probadas, conocidas como axiomas, se toman como puntos de partida, y otras fórmulas (teoremas) se prueban con la fuerza de éstas. Como aparecerá más adelante (ver Axiomatización de PC), la cuestión de si una secuencia de fórmulas en un sistema axiomático es una prueba o no depende únicamente de qué fórmulas se toman como axiomas y de cuáles son las reglas para derivar teoremas de axiomas, y no en absoluto de qué significan los teoremas o axiomas. Además, un sistema no interpretado dado es en general capaz de ser interpretado igualmente bien de varias maneras diferentes; por lo tanto, al estudiar un sistema no interpretado, uno está estudiando la estructura que es común a una variedad de sistemas interpretados. Normalmente, un lógico que construye un sistema puramente formal tiene una interpretación particular en mente, y su motivo para construirla es la creencia de que cuando se le da esta interpretación, las fórmulas del sistema podrán expresar verdaderos principios en algún campo del pensamiento; sin embargo, por las razones anteriores, entre otras, por lo general se ocupará de describir las fórmulas y establecer las reglas del sistema sin hacer referencia a la interpretación, e indicará por separado la interpretación que tiene en mente.
Muchas de las ideas utilizadas en la exposición de la lógica formal, incluidas algunas que se mencionan anteriormente, plantean problemas que pertenecen a la filosofía en lugar de a la lógica misma. Los ejemplos son: ¿Cuál es el análisis correcto de la noción de verdad? ¿Qué es una proposición y cómo se relaciona con la oración por la que se expresa? ¿Hay algún tipo de razonamiento sólido que no sea ni deductivo ni inductivo? Afortunadamente, es posible aprender a hacer lógica formal sin tener respuestas satisfactorias a tales preguntas, al igual que es posible hacer matemáticas sin responder preguntas pertenecientes a la filosofía de las matemáticas como: ¿Son los números objetos reales o construcciones mentales?