La rareza flexible del número cero, explicada

La computadora en la que estás leyendo este artículo en este momento se ejecuta en cadenas binarias de ceros y unos. Sin cero, la electrónica moderna no existiría. Sin cero, no hay cálculo, lo que significa que no hay ingeniería moderna ni automatización. Sin cero, gran parte de nuestro mundo moderno se desmorona literalmente.

El descubrimiento de zero por parte de la humanidad fue » un cambio total en el juego … equivalente a aprender un idioma en Estados Unidos», dice Andreas Nieder, científico cognitivo de la Universidad de Tubinga en Alemania.

Pero durante la gran mayoría de nuestra historia, los humanos no entendieron el número cero. No es innato en nosotros. Tuvimos que inventarlo. Y tenemos que seguir educando a la próxima generación.

Otros animales, como los monos, han evolucionado para comprender el concepto rudimentario de la nada. Y los científicos acaban de informar que incluso los diminutos cerebros de abeja pueden calcular cero. Pero son solo los humanos los que se han apoderado de Zero y lo han convertido en una herramienta.

Así que no demos cero por sentado. Nada es fascinante. He aquí por qué.

¿Qué es cero, de todos modos?

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Nuestra comprensión del cero es profunda si consideramos este hecho: No encontramos a menudo, o tal vez nunca, el cero en la naturaleza.

Los números como uno, dos y tres tienen una contraparte. Podemos ver una luz encendida. Podemos oír dos pitidos de la bocina de un coche. Pero cero? Requiere que reconozcamos que la ausencia de algo es una cosa en sí misma.

» El cero está en la mente, pero no en el mundo sensorial», dice Robert Kaplan, profesor de matemáticas de Harvard y autor de un libro sobre el cero. Incluso en los confines vacíos del espacio, si puedes ver estrellas, significa que estás siendo bañado por su radiación electromagnética. En el vacío más oscuro, siempre hay algo. Tal vez un verdadero cero, es decir, la nada absoluta, pudo haber existido en el tiempo antes del Big Bang. Pero nunca lo sabremos.

Sin embargo, cero no tiene que existir para ser útil. De hecho, podemos usar el concepto de cero para derivar todos los demás números del universo.

Kaplan me guió a través de un ejercicio de pensamiento descrito por primera vez por el matemático John von Neumann. Es engañosamente simple.

Imagine una caja sin nada en ella. Los matemáticos llaman a esta caja vacía «el conjunto vacío».»Es una representación física de cero. ¿Qué hay dentro de la caja vacía? Nada.

Ahora toma otra caja vacía y colócala en la primera.

¿Cuántas cosas hay en la primera caja ahora?

Hay un objeto en él. Luego, pon otra caja vacía dentro de las dos primeras. Cuántos objetos contiene ahora? Dos. Y así es como «derivamos todos los números de conteo de cero from de la nada», dice Kaplan. Esta es la base de nuestro sistema numérico. Cero es una abstracción y una realidad al mismo tiempo. «Es la nada que es,» como dijo Kaplan. (En este punto de la historia, es posible que desee recibir otro golpe en su pipa de agua.)

Luego lo puso en términos más poéticos. «Zero se erige como el horizonte lejano que nos llama en la forma en que los horizontes lo hacen en las pinturas», dice. «Unifica toda la imagen. Si miras a cero, no ves nada. Pero si miras a través de él, ves el mundo. Es el horizonte.»

Una vez que tenemos cero, tenemos números negativos. Zero nos ayuda a entender que podemos usar las matemáticas para pensar en cosas que no tienen contrapartida en una experiencia física vivida; los números imaginarios no existen, pero son cruciales para comprender los sistemas eléctricos. Zero también nos ayuda a entender su antítesis, el infinito, en toda su rareza extrema. (¿Sabías que un infinito puede ser más grande que otro?)

Por qué zero es tan útil en matemáticas

La influencia de Zero en nuestras matemáticas de hoy es doble. Uno: Es un dígito marcador de posición importante en nuestro sistema numérico. Dos: Es un número útil por derecho propio.

Los primeros usos del cero en la historia humana se remontan a hace unos 5.000 años, a la antigua Mesopotamia. Allí, se usaba para representar la ausencia de un dígito en una cadena de números.

Aquí hay un ejemplo de lo que quiero decir: Piense en el número 103. El cero en este caso significa » no hay nada en la columna de las decenas.»Es un marcador de posición, que nos ayuda a entender que este número es de ciento tres y no de 13.

Bien, podrías estar pensando, » esto es básico.»Pero los antiguos romanos no lo sabían. ¿Recuerdas cómo escribían los romanos sus números? 103 en números romanos es CIII. El número 99 es XCIX. Intenta agregar CIII + XCIX. Es absurdo. La notación de marcador de posición es lo que nos permite sumar, restar y manipular números fácilmente. La notación de marcador de posición es lo que nos permite resolver problemas matemáticos complicados en una hoja de papel.

Si el cero hubiera permanecido simplemente como un dígito de marcador de posición, habría sido una herramienta profunda por sí sola. Pero hace alrededor de 1.500 años (o tal vez incluso antes), en la India, cero se convirtió en su propio número, lo que significa nada. Los antiguos mayas, en América Central, también desarrollaron de forma independiente el cero en su sistema numérico alrededor de los albores de la era común.

En el siglo VII, el matemático indio Brahmagupta escribió lo que se reconoce como la primera descripción escrita de la aritmética de cero:

Cuando se suma cero a un número o se resta de un número, el número permanece sin cambios; y un número multiplicado por cero se convierte en cero.

Zero se extendió lentamente por Medio Oriente antes de llegar a Europa, y la mente del matemático Fibonacci en los años 1200, que popularizó el sistema de numeración «árabe» que todos usamos hoy en día.

A partir de ahí, la utilidad de cero explotó. Piense en cualquier gráfico que trace una función matemática a partir de 0,0. Este método de representación gráfica, ahora omnipresente, solo se inventó por primera vez en el siglo XVII después de la propagación cero a Europa. Ese siglo también vio un campo completamente nuevo de las matemáticas que depende de cero: el cálculo.

Es posible que recuerdes de las matemáticas de la escuela secundaria o de la universidad que la función más simple en el cálculo es tomar una derivada. Una derivada es simplemente la pendiente de una recta que se cruza con un solo punto en un gráfico.

Para calcular la pendiente de un solo punto, generalmente necesita un punto de comparación: subir sobre correr. Lo que Isaac Newton y Gottfried Leibniz descubrieron cuando inventaron el cálculo es que calcular esa pendiente en un solo punto implica estar cada vez más cerca, más y más cerca, pero en realidad nunca, dividiendo por cero.

«Todos los procesos infinitos giran, bailan, la noción de cero», dice Robert Kaplan. Whoa.

¿Por qué zero es tan profundo como idea humana?

No nacemos con un entendimiento de cero. Tenemos que aprenderlo, y lleva tiempo.

Elizabeth Brannon es una neurocientífica de la Universidad de Duke que estudia cómo los seres humanos y los animales representan números en sus mentes. Ella explica que incluso cuando los niños menores de 6 años entienden que la palabra «cero» significa «nada», todavía tienen dificultades para comprender las matemáticas subyacentes. «Cuando se pregunta qué número es más pequeño, cero o uno, a menudo piensan que uno es el número más pequeño», dice Brannon. «Es difícil aprender que cero es más pequeño que uno.»

En experimentos, Brannon a menudo juega un juego con niños de 4 años. Pondrá un par de cartas en una mesa o pantalla. Y cada carta tendrá un número de objetos en ella. Una carta tendrá dos puntos, por ejemplo. Otro tendrá tres. Aquí hay un ejemplo de lo que podrían ver.

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Simplemente pedirá a los niños que elijan la tarjeta con el menor número de objetos. Cuando una tarjeta sin nada en ella se combina con una tarjeta con un objeto en ella, menos de la mitad de los niños obtendrán la respuesta correcta.

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Entonces, ¿qué sucede para hacer que todo haga clic?

Andreas Nieder, el científico cognitivo de Alemania, plantea la hipótesis de que hay cuatro pasos psicológicos para entender cero, y cada paso es más complicado cognitivamente que el anterior.

Muchos animales pueden superar los tres primeros pasos. Pero la última etapa, la más difícil, está «reservada para nosotros, los humanos», dice Nieder.

La primera es simplemente tener la experiencia sensorial simple de un estímulo que se enciende y se apaga. Esta es la simple capacidad de notar una luz parpadeando encendida y apagada. O un ruido que se enciende y se apaga.

El segundo es la comprensión del comportamiento. En esta etapa, los animales no solo pueden reconocer la falta de un estímulo, sino que pueden reaccionar a él. Cuando un individuo se ha quedado sin comida, sabe que debe ir a buscar más.

La tercera etapa es reconocer que cero, o un contenedor vacío, es un valor menor que uno. Esto es complicado, aunque un número sorprendente de animales, incluidas abejas melíferas y monos, pueden reconocer este hecho. Es entender «que nada tiene una categoría cuantitativa», dice Nieder.

La cuarta etapa es tomar la ausencia de un estímulo y tratarlo como un símbolo y una herramienta lógica para resolver problemas. Ningún animal fuera de los humanos, dice, «no importa cuán inteligente sea», entiende que el cero puede ser un símbolo.

Pero incluso los humanos bien educados pueden tropezar un poco cuando piensan en cero. Los estudios han demostrado que los adultos tardan unos momentos más en reconocer el número cero en comparación con otros números. Y cuando el experimento de la tarjeta de selección de números más bajos de Brannon se repite con adultos, tardan un poco más en decidir entre cero y uno, que al comparar cero con un número más grande.

Eso sugiere que zero, incluso para los adultos, requiere un esfuerzo adicional de poder cerebral para procesarlo.

¿Qué más puede entender nada?

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Es posible que no nazcamos con la capacidad de entender cero. Pero nuestra capacidad de aprenderlo puede tener profundas raíces evolutivas, como nos muestra alguna nueva ciencia.

El cuarto paso para pensar en el cero, es decir, pensar en el cero como un símbolo, puede ser exclusivo de los seres humanos. Pero un número sorprendente de animales puede llegar al paso tres: reconocer que cero es menos de uno.

Incluso las abejas pueden hacerlo.

Scarlett Howard, estudiante de doctorado en el Royal Melbourne Institute of Technology, publicó recientemente un experimento en Ciencia que es casi idéntico al que Brannon hizo con niños. Las abejas escogieron la página en blanco entre el 60 y el 70 por ciento de las veces. Y eran significativamente mejores en discriminar un gran número, como seis, de cero, que en discriminar uno de cero. Igual que los niños.

Esto es impresionante, teniendo en cuenta que «tenemos este gran cerebro de mamíferos, pero las abejas tienen un cerebro tan pequeño que pesa menos de un miligramo», dice Howard. Su grupo de investigación espera entender cómo las abejas hacen estos cálculos en sus mentes, con el objetivo de un día usar esos conocimientos para construir computadoras más eficientes.

En experimentos similares, los investigadores han demostrado que los monos pueden reconocer el conjunto vacío (y a menudo lo hacen mejor que los humanos de 4 años). Pero el hecho de que las abejas puedan hacerlo es algo asombroso, considerando lo lejos que están de nosotros en los árboles evolutivos de la vida. «El último ancestro común entre nosotros y las abejas vivió hace unos 600 millones de años, lo que es una eternidad en los tiempos evolutivos», dice Nieder.

Nosotros, los humanos, podríamos haber llegado a entender el cero como un número hace 1.500 años. Lo que los experimentos con abejas y monos nos muestran es que no es solo el trabajo de nuestro ingenio. También es, quizás, el trabajo culminante de la evolución.

Todavía hay grandes misterios sobre cero. Por un lado, Nieder dice «casi no sabemos nada» sobre cómo el cerebro lo procesa físicamente. Y no sabemos cuántos animales pueden captar la idea de la nada como una cantidad.

Pero lo que las matemáticas nos han mostrado claramente es que cuando no investigamos nada, estamos obligados a encontrar algo.