Muodonmuutos (fysiikka)

Katso myös: jännitysmittarit ja Venymisnopeus

kanta on muodonmuutoksen mitta, joka kuvaa kappaleen hiukkasten välistä siirtymää suhteessa viitepituuteen.

kappaleen yleinen muodonmuutos voidaan ilmaista muodossa x = F (X), jossa X on kappaleen materiaalipisteiden vertailuasento. Tällainen toimenpide ei tee eroa jäykän kappaleen liikkeiden (käännökset ja kiertoliikkeet) ja kehon muodon (ja koon) muutosten välillä. Muodonmuutoksella on pituusyksiköitä.

We could, for example, define strain to be

ε ≐ ∂ ∂ X ( x − X ) = F ′ − I , {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}’-{\boldsymbol {I}},}

${\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}'-{\boldsymbol {I}},$

where I is the identity tensor.Näin ollen kannat ovat dimensiottomia ja ilmaistaan yleensä desimaaliosana, prosentteina tai osissa-merkintää kohti. Kannat mittaavat, kuinka paljon tietty muodonmuutos eroaa paikallisesti jäykän kappaleen muodonmuutoksesta.

kanta on yleensä tensorisuure. Fyysinen näkemys kannoista voidaan saada havainnoimalla, että tietty kanta voidaan hajottaa normaaleiksi ja leikkaaviksi osiksi. Venytyksen tai puristuksen määrä materiaalilinjan alkuaineita tai kuituja pitkin on normaali kanta, ja särön määrä, joka liittyy tasokerrosten liukumiseen toistensa yli, on leikkausjännitys, joka muodostuu muotoaan muuttavasta kappaleesta. Tätä voitiin soveltaa venymällä, lyhentämällä tai tilavuusmuutoksilla tai kulmavääristymällä.

kantatila kontinuumikappaleen aineellisessa pisteessä määritellään kaikkien materiaaliviivojen tai kuitujen pituusmuutosten, kyseisen pisteen kautta kulkevan normaalin kannan kokonaisuudeksi ja myös tästä pisteestä säteilevän janaparien välisen kulman kaikkien muutosten kokonaisuudeksi, leikkauskannaksi. Riittää kuitenkin, että tuntee kannan normaalit ja leikkaavat komponentit kolmen keskenään kohtisuoran suunnan joukolla.

jos materiaaliviivan pituus kasvaa, normaalia venymää kutsutaan vetolujuudeksi, muuten, jos materiaaliviivan pituudessa tapahtuu pelkistymistä tai puristumista, sitä kutsutaan puristusliikkeeksi.

Venymämittarit
Engineering strainEdit
Stretch ratioEdit
True strainEdit
Green strainEdit
Almansi straineedit
normaali ja leikkaus strainsedit
normaali strainEdit
Shear strainEdit
metriset tensoredit

Venymämittarit

venymän tai paikallisen muodonmuutoksen määrästä riippuen muodonmuutoksen analyysi jaetaan kolmeen muodonmuutosteoriaan:

äärellinen kanta-teoria, jota kutsutaan myös nimellä suuri kanta-teoria, suuri muodonmuutosteoria, käsittelee muodonmuutoksia, joissa sekä rotaatiot että kannat ovat mielivaltaisen suuria. Tällöin jatkumon muodostamattomat ja epämuodostuneet kokoonpanot ovat merkittävästi erilaisia ja niiden välille on tehtävä selvä ero. Tämä pätee yleisesti elastomeereihin, plastisesti muotoutuviin materiaaleihin ja muihin nesteisiin ja biologisiin pehmytkudoksiin.
äärettömän pieni kanta-teoria, jota kutsutaan myös nimellä pieni kanta-teoria, pieni muodonmuutosteoria, pieni siirtymä-teoria tai pieni siirtymä-gradienttiteoria, jossa kannat ja rotaatiot ovat molemmat pieniä. Tällöin kehon muuttumattomat ja epämuodostuneet kokoonpanot voidaan olettaa identtisiksi. Äärettömän pientä kantateoriaa käytetään elastista käyttäytymistä ilmentävien materiaalien muodonmuutosten analysoinnissa, kuten kone-ja maanrakennussovelluksissa, kuten betonissa ja teräksessä.
Suurkiertoteoria eli suurkiertoteoria, jossa oletetaan pieniä kantoja mutta suuria rotaatioita ja siirtymiä.

kussakin näistä teorioista kanta määritellään sitten eri tavalla. Tekninen kanta on yleisin määritelmä, jota sovelletaan kone-ja rakennetekniikassa käytettäviin materiaaleihin, joihin kohdistuu hyvin pieniä muodonmuutoksia. Toisaalta joihinkin materiaaleihin, esim.elastomeereihin ja polymeereihin, joille on tehty suuria muodonmuutoksia, ei voida soveltaa kannan teknistä määritelmää, esim. tyypilliset yli 1%: n tekniset kannat, joten vaaditaan muita monimutkaisempia kannan määritelmiä, kuten venytys, logaritminen kanta, vihreä kanta ja Almansi-kanta.

Engineering strainEdit

Cauchyn KanTa tai engineering strain ilmaistaan täydellisen muodonmuutoksen suhteena sen materiaalikappaleen alkumittaan, johon voimat kohdistetaan. Materiaaliviivaelementin tai kuidun aksiaalisesti kuormittuneen insinöörin normaali KanTa tai insinöörin laajaulotteinen KanTa tai nimellinen kanta e ilmaistaan viivaelementin tai kuitujen alkuperäisen pituuden l yksikköä kohti mitatun pituuden muutoksena ΔL. Normaali kanta on positiivinen, jos materiaalikuidut venyvät ja negatiivinen, jos ne puristuvat. Näin saadaan

e = Δ l l = l-l L {\displaystyle \ e={\frac {\Delta L}{L}} = {\frac {l-L}{L}}}

$\ e={\frac {\Delta L}{L}} = {\frac {l-L}{L}}$

missä e on tekniikan normaali kanta, L on kuidun alkuperäinen pituus ja l on kuidun lopullinen pituus. Kannan mittarit ilmaistaan usein miljoonasosina tai mikrotreeneinä.

todellinen leikkauskanta määritellään kahden toisiinsa nähden kohtisuorassa olevan materiaaliviivan kulman muuttumisena (radiaaneina) undeformed-eli alkukonfiguraatiossa. Engineering leikkaus kanta on määritelty tangentti, että kulma, ja on yhtä suuri kuin pituus muodonmuutoksen sen suurin jaettuna kohtisuorassa pituus tasolla voima soveltaminen, joka joskus helpottaa laskea.

Stretch ratioEdit

stretch ratioedit tai extension ratio on differentiaaliviivaelementin extensionaalisen tai normaalin venymän mitta, joka voidaan määritellä joko muuttumattomassa konfiguraatiossa tai deformoidussa konfiguraatiossa. Se määritellään materiaaliviivan lopullisen pituuden l ja alkuperäisen pituuden L suhteena.

λ = l L {\displaystyle \ \ lambda = {\frac {l}{L}}}

$\ \lambda = {\frac {l}{L}}$

laajennussuhde on likimain verrannollinen insinöörikantaan

e = l-L l = λ-1 {\displaystyle \ e={\frac {l-l}{l}} = \lambda -1}

$\ e={\frac {l-L}{L}} = \lambda -1$

tämä yhtälö tarkoittaa, että normaali kanta on nolla, joten muodonmuutosta ei tapahdu, kun venymä on yhtä suuri kuin ykseys.

venymäsuhdetta käytetään analysoitaessa materiaaleja, joissa esiintyy suuria muodonmuutoksia, kuten elastomeerejä, jotka voivat ylläpitää venymissuhteita 3 tai 4 ennen kuin ne pettävät. Toisaalta perinteiset insinöörimateriaalit, kuten betoni tai teräs, pettävät paljon pienemmillä venymissuhteilla.

True strainEdit

the logaritminen kanta ε, jota kutsutaan myös true-kannaksi tai Henckyn kannaksi. Ottaen huomioon inkrementaalisen kannan (Ludwik)

δ ε = δ l l {\displaystyle \ \delta \varepsilon = {\frac {\delta l}{l}}}

$\ \delta \varepsilon = {\frac {\delta l}{l}}$

logaritminen kanta saadaan integroimalla tämä inkrementaalinen kanta:

∫ δ ε = ∫ l l δ l l ε = Ln ⁡ ( l l ) = Ln ⁡ ( λ ) = Ln ⁡ ( 1 + e ) = e − e 2 2 + e 3 3 − ⋯ {\displaystyle \ {\begin{aligned}\int \Delta \varepsilon &=\int _{l}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\Ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\Ln(\Lambda )\\&=\Ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \\\end{tasattu}}}

$\ {\begin{aligned}\int \Delta \varepsilon = \int _{l}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\varepsilon =\ln\left ({\frac {l}{l}}\right)=\Ln (\lambda)\\=\ln(1+e) \\=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdotit \\\end{täsmennetty}}$

missä e on tekninen kanta. Logaritminen kanta antaa lopullisen kannan oikean mitan, kun muodonmuutos tapahtuu portaittain, ottaen huomioon kannan polun vaikutuksen.

Green strainEdit

Pääartikkeli: äärellinen kantateoria

vihreä kanta määritellään seuraavasti:

ε G = 1 2 (l 2-L 2 L 2) = 1 2 (λ 2 − 1) {\displaystyle \ \varepsilon _{G}={\tfrac {1}{2}}\left ({\frac {L^{2} – L^{2}}{L^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)}

$\ \varepsilon _{G}={\tfrac {1}{2}}\left ({\frac {L^{2} - L^{2}}{L^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}} (\lambda ^{2}-1)$

Almansi straineedit

Pääartikkeli: Äärellinen kantateoria

Euler-Almansi − kanta on määritelty seuraavasti:

ε E = 1 2 ( L 2 − L 2 L 2 ) = 1 2 ( 1-1 λ 2 ) {\displaystyle \ \varepsilon _{E}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {L^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\Left(1 – {\frac {1}{\Lambda ^{2}}}\right)}

$\ \varepsilon _{E}={\tfrac {1}{2}}\left ({\frac {L^{2} - L^{2}}{l^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left (1 - {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)$

normaali ja leikkaus strainsedit

äärettömän pienen materiaalin kaksiulotteinen geometrinen muodonmuutos elementti.

kannat luokitellaan joko normaaleiksi tai kerimäisiksi. Normaali kanta on kohtisuorassa alkuaineen pintaa vastaan, ja leikkauskanta on sen suuntainen. Nämä määritelmät ovat yhdenmukaisia normaalin stressin ja leikkausjännityksen määritelmien kanssa.

normaali strainEdit

Hooken lakia noudattavalle isotrooppiselle ainekselle normaali rasitus aiheuttaa normaalin rasituksen. Normaalit kannat tuottavat laajentumia.

tarkastellaan kaksiulotteista, äärettömän pientä, suorakulmaista materiaalielementtiä, jonka mitat ovat DX × dy ja joka muodonmuutoksen jälkeen muuttuu rombukseksi. Muodonmuutosta kuvaa siirtymäkenttä u. Alkaen geometria viereisessä kuvassa meillä on

l e n g t h ( A B ) = d x {\displaystyle \mathrm {pituus} (AB)=dx\,}

$\mathrm {pituus} (AB)=dx\,$

l e n g t h ( a b ) = ( d x + ∂ u x ∂ x d x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x d x ) 2 = d x 2 ( 1 + ∂ u x ∂ x ) 2 + d x 2 ( ∂ u y ∂ x ) 2 = k x ( 1 + ∂ u x ∂ x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x ) 2 ≈ d x ( 1 + ∂ u x ∂ x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {pituus} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\osittainen u_{x}}{\osittainen x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\osittainen u_{y}}{\osittainen x}}dx\right)^{2}}}\\&={\sqrt {DX^{2}\left (1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+dx^{2}\left ({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2} + \left ({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&\approx DX\left (1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)\end{aligned}}\,\!}

${\begin {aligned}\mathrm {length} (ab)={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\={\sqrt {DX^{2}\left (1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+dx^{2}\left ({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\=dx~{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2} + \left ({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\\approx DX\left (1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)\end{aligned}}\,\!$

hyvin pienille siirtymägradienteille u y {\displaystyle u_{y derivaatan neliö}}

$u_{y}$

ovat merkityksettömiä ja meillä on L E n g t h ( A b ) ≈ D x + ∂ u x ∂ x D x {\displaystyle \mathrm {length} (ab)\approx DX+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}

$\mathrm {length} (ab)\approx DX+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx$

normaali kanta suorakulmaisen elementin X-suunnassa on määritelty kaavalla

ε X = extension original length = L E n g t H ( A B ) − L E n g t h ( a b ) l e n g t h ( a b) ∂ u x ∂ x {\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\text{extension}}{\text{original length}}} = {\frac {\mathrm {length} (ab) – \mathrm {length} (AB)} {\mathrm {length} (AB)}={\frac {\partial u_{x}} {\partial x}}}

$\varepsilon _{x}={\frac {\text{extension}}{\text{original length}}} = {\frac {\mathrm {length} (ab) - \mathrm {length} (AB)} {\mathrm {length} (AB)}={\frac {\partial u_{x}} {\partial x}}$

vastaavasti y – ja z-suunnissa normaalista kannasta tulee

ε Y = ∂ u y ∂ y, ε z = ∂ u z ∂ z {\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}} {\partial y}} \ quad, \qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\,\!}

$\varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\,\!$

Shear strainEdit

Shear strained

Yleiset symbolit

γ tai ε

SI-yksikkö

1 tai radiaani

Derivoinnit kohteesta
muut suureet

γ = τ/g

engineering shear strain (yxy) määritellään viivojen AC ja AB välisen kulman muutoksena. Siksi

γ x y = α + β {\displaystyle \gamma _{xy} = \alpha + \beta \,\!}

$\gamma _{xy} = \alpha + \beta \,\!$

valitse geometria luku, olemme

tan ⁡ α = ∂ u y ∂ x d x d x + ∂ u x ∂ x k x = ∂ u y ∂ x 1 + ∂ u x ∂ x tan ⁡ β = ∂ u x ∂ y d y d y + ∂ u y ∂ y d y = ∂ u x ∂ y 1 + ∂ u y ∂ y {\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\osittainen u_{y}}{\osittainen x}}dx}{dx+{\tfrac {\osittainen u_{x}}{\osittainen x}}dx}}={\frac {\tfrac {\osittainen u_{y}}{\osittainen x}}{1+{\tfrac {\osittainen u_{x}}{\osittainen x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\osittainen u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\osittainen u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}\end{aligned}}}

${\begin{aligned}\tan \alpha ={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{DX+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}\\\tan \beta ={\frac {{\tfrac {\partial u_{X}} {\partial y}} dy} {dy+{\tfrac {\partial u_{y}} {\partial y}} dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{X}} {\partial y}} {1+{\tfrac {\partial u_{y}} {\partial y}}}}\end{aligned}}$

pienille siirtymäkaltevuuksille meillä on

∂ u x ∂ x ≪ 1; ∂ u y ∂ y ≪ 1 {\displaystyle {\cfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~~{\cfrac {\partial u_{y}} {\partial y}}\ll 1}

${\cfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~~{\cfrac {\partial u_{y}} {\partial y}}\ll 1$

pienille rotaatioille eli α ja β ovat ≪ 1 meillä on Tan α ≈ α, tan β ≈ β. Näin ollen

α ≈ ∂ u y ∂ x; β ≈ ∂ u x ∂ y {\displaystyle \alpha \approx {\cfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}~;~~\beta \approx {\cfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}}

$\alpha \approx {\cfrac {\partial u_ {y}} {\partial x}}~;\beta \ approx {\cfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}$

näin

γ x y = α + β = ∂ u y ∂ x + ∂ u x ∂ y {\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha + \beta = {\frac {\partial u_{y}}{\partial x}} + {\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\,\!}

$\gamma _{xy} =\alpha +\beta = {\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\,\!$

X: n ja y: n sekä ux: n ja uy: n keskinäisellä vaihdolla voidaan osoittaa, että yxy = yyx.

Vastaavasti yz – ja xz-tasossa, olemme

γ y z = γ z y = ∂ u y ∂ z + ∂ u z ∂ y , γ z x = γ x z = ∂ u z ∂ x + ∂ u x ∂ z {\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{hb}={\frac {\osittainen u_{y}}{\osittainen z}}+{\frac {\osittainen u_{z}}{\partial y}}\quad\qquad \gamma _{el}=\gamma _{xz}={\frac {\osittainen u_{z}}{\osittainen x}}+{\frac {\osittainen u_{x}}{\osittainen z}}\,\!}

$\gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}} {\\osittainen z}}\,\!$

infinitesimaalisen kannan tensorin tensoriset leikkauskannan komponentit voidaan sitten ilmaista käyttäen engineerisen kannan määritelmää γ, as

ε _ _ = = {\displaystyle {\alleviivaus {\alleviivaus {\boldsymbol {\varepsilon }}} = \left = \left\,\!}

${\alleviivaa {\alleviivaa {\boldsymbol {\varepsilon}}} =\left = \left\,\!$

metriset tensoredit

pääartikkeli: äärellinen kantateoria § muodonmuutostensorit kaarevissa koordinaateissa

siirtymiseen liittyvä jännityskenttä määritellään missä tahansa pisteessä niiden tangenttivektorien pituuden muutoksella, jotka edustavat kyseisen pisteen kautta kulkevien mielivaltaisten parametrisoitujen käyrien nopeuksia. A basic geometrinen tulos, koska Fréchet, von Neumann ja Jordania, todetaan, että jos pituudet, tangentti vektorit täyttävät aksioomat, normi ja parallelogram laki, niin pituus, vektori on neliöjuuri, arvo, quadratic muodossa liittyvät, jonka polarisaatio kaava, jossa positiivinen definite bilinear kartta kutsutaan metrinen tensor.