Définition d’Équation Linéaire du Premier Ordre
Une équation différentielle de type
\
où \(a\left(x\right)\) et \(f\left(x\right)\) sont des fonctions continues de \(x, \) est appelée équation différentielle linéaire non homogène du premier ordre. Nous considérons deux méthodes de résolution d’équations différentielles linéaires du premier ordre:
- En utilisant un facteur d’intégration;
- Méthode de variation d’une constante.
En utilisant un Facteur d’intégration
Si une équation différentielle linéaire est écrite sous la forme standard:
\
le facteur d’intégration est défini par la formule
\
La multiplication du côté gauche de l’équation par le facteur d’intégration \(u\left(x\right)\) convertit le côté gauche en la dérivée du produit \(y\left(x\right) u\left(x\right).\)
La solution générale de l’équation différentielle s’exprime comme suit:
\
où \(C\) est une constante arbitraire.
Méthode de variation d’une Constante
Cette méthode est similaire à l’approche précédente. Il faut d’abord trouver la solution générale de l’équation homogène:
\
La solution générale de l’équation homogène contient une constante d’intégration \(C.\) Nous remplaçons la constante \(C\) par une certaine fonction (encore inconnue) \(C\left(x\right).\) En substituant cette solution dans l’équation différentielle non homogène, nous pouvons déterminer la fonction \(C\left(x\right).\)
L’algorithme décrit est appelé méthode de variation d’une constante. Bien sûr, les deux méthodes conduisent à la même solution.
Problème de valeur initiale
Si en plus de l’équation différentielle, il existe également une condition initiale sous la forme de \(y\left({{x_0}} \right) = {y_0}, \) un tel problème est appelé problème de valeur initiale (IVP) ou problème de Cauchy.
Une solution particulière pour une IVP ne contient pas la constante \(C, \) qui est définie par substitution de la solution générale à la condition initiale \(y\left({{x_0}}\right) = {y_0}.\)
Problèmes résolus
Cliquez ou appuyez sur un problème pour voir la solution.
Exemple 1
Résolvez l’équation \(y’–y-x{e^x}\)\(= 0.\)
Exemple 2
Résolvez l’équation différentielle \(xy’ = y +2 {x^3}.\)
Exemple 3
Résolvez l’équation \(y’-2y = x.\)
Exemple 4
Résolvez l’équation différentielle \({x^2} y’+xy+2\)\(= 0.\)
Exemple 5
Résolvez le problème de valeur initiale : \(y’–y\tan x\)\(= \sin x, \)\(y\left(0\right) = 1.\)
Exemple 6
Résolvez l’équation différentielle (IVP) \(y’ + {\large\frac{3}{x}\normalsize}y\)\(= {\large\frac{2}{{{x^2}}}\normalsize}\) avec la condition initiale \(y\left(1\right) = 2.\)
Exemple 7
Trouvez la solution générale de l’équation différentielle \(y = \left({2{y^4} + 2x}\right)y’.\)
Exemple 1.
Résolvez l’équation \(y’–y-x{e^x}\)\(= 0.\)
Solution.
Nous réécrivons cette équation sous forme standard:
\
Nous allons résoudre cette équation en utilisant le facteur d’intégration
\
Alors la solution générale de l’équation linéaire est donnée par
\
Exemple 2.
Résolvez l’équation différentielle \(xy ‘ = y + 2 {x^3}.\)
Solution.
Nous allons résoudre ce problème en utilisant la méthode de variation d’une constante. Nous trouvons d’abord la solution générale de l’équation homogène:
\
qui peut être résolu en séparant les variables:
\
où \(C\) est un nombre réel positif.
Maintenant, nous remplaçons \(C\) par une certaine fonction (encore inconnue) \(C\left(x\right) \) et trouverons une solution de l’équation non homogène d’origine sous la forme:
\
Alors la dérivée est donnée par
\ ^\prime }} = {C’ \ left(x\right) x +C\ left(x\right).}\]
La substitution de ceci dans l’équation donne:
\ }={ C\ gauche (x\droite) x +2 { x^3},\;\;}}\ À droite
{{C’\ left(x\right) {x^2} + \cancel {C\ left(x\right) x}} = {\cancel {C\ left(x\right) x} +2 {x^3},\;\;}}\ Rightarrow
{C’\ left(x\right) = 2x.}
\]
Lors de l’intégration, nous trouvons la fonction \({C\left(x\right)}:\)
\
où \({C_1}\) est un nombre réel arbitraire.
Ainsi, la solution générale de l’équation donnée s’écrit sous la forme
\