Deformáció (fizika)

a törzs a deformáció mértéke, amely a testben lévő részecskék közötti elmozdulást képviseli egy referenciahosszhoz viszonyítva.

a test általános deformációja kifejezhető x = F(X) formában, ahol X a test anyagpontjainak referenciapozíciója. Egy ilyen intézkedés nem tesz különbséget a merev testmozgások (fordítások és forgások) és a test alakjának (és méretének) megváltozása között. A deformációnak hosszegységei vannak.

We could, for example, define strain to be

ε ≐ ∂ ∂ X ( x − X ) = F ′ − I , {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}’-{\boldsymbol {I}},}

where I is the identity tensor.Ezért a törzsek dimenziómentesek, és általában tizedes törtként, százalékban vagy részenként vannak kifejezve. A törzsek azt mérik, hogy egy adott deformáció mennyire különbözik lokálisan a merev test deformációjától.

a törzs általában tenzormennyiség. Fizikai betekintést nyerhetünk a törzsekbe, ha megfigyeljük, hogy egy adott törzs normál és nyíró komponensekre bontható. Az anyagvonal-elemek vagy szálak mentén történő nyújtás vagy összenyomódás mértéke a normál törzs, a síkrétegek egymás fölé csúsztatásával járó torzítás mértéke pedig a nyírófeszültség, egy deformáló testen belül. Ezt meghosszabbítással, rövidítéssel vagy térfogatváltozással vagy szögtorzulással lehet alkalmazni.

a folytonos test egy anyagi pontján a törzs állapota az anyagvonalak vagy szálak hosszában bekövetkező összes változás összessége, az ezen a ponton áthaladó normál törzs, valamint az eredetileg egymásra merőleges vonalpárok közötti szög összes változásának összessége, az ebből a pontból sugárzó nyírófeszültség. Elegendő azonban a törzs normál és nyíróösszetevőinek ismerete három egymásra merőleges irányban.

ha az anyagvezeték hossza növekszik, akkor a normál törzset húzófeszültségnek nevezzük, ellenkező esetben, ha az anyagvezeték hossza csökken vagy összenyomódik, akkor azt nyomófeszültségnek nevezzük.

Törzsmérésekszerkesztés

a törzs mennyiségétől vagy a helyi deformációtól függően a deformáció elemzése három deformációs elméletre oszlik:

• a véges törzselmélet, más néven nagy törzselmélet, nagy deformációelmélet, olyan deformációkkal foglalkozik, amelyekben mind a forgások, mind a törzsek önkényesen nagyok. Ebben az esetben a kontinuum deformálatlan és deformálatlan konfigurációi jelentősen különböznek egymástól, és egyértelmű különbséget kell tenni közöttük. Ez általában az elasztomerek, a plasztikusan deformáló anyagok és más folyadékok, valamint a biológiai lágy szövetek esetében fordul elő.
• infinitezimális törzselmélet, más néven kis törzselmélet, kis deformációelmélet, kis elmozduláselmélet vagy kis elmozdulás-gradiens elmélet, ahol a törzsek és a forgások egyaránt kicsiek. Ebben az esetben a test deformálatlan és deformált konfigurációi azonosak lehetnek. Az infinitezimális alakváltozáselméletet a rugalmas viselkedést mutató anyagok deformációinak elemzésére használják, mint például a mechanikai és mélyépítési alkalmazásokban található anyagok, például a beton és az acél.
• nagy elmozdulás vagy nagy forgáselmélet, amely kis törzseket, de nagy forgásokat és elmozdulásokat feltételez.

ezen elméletek mindegyikében a törzset másként határozzák meg. A mérnöki törzs a leggyakoribb meghatározás, amelyet a gépiparban és a szerkezeti tervezésben használt anyagokra alkalmaznak, amelyek nagyon kis deformációknak vannak kitéve. Másrészt egyes anyagok, például az elasztomerek és polimerek esetében, amelyek nagy deformációknak vannak kitéve, a törzs MŰSZAKI meghatározása nem alkalmazható, például az 1% – nál nagyobb tipikus mérnöki törzsek, ezért a törzs más összetettebb meghatározására van szükség, mint például a stretch, a logaritmikus törzs, a zöld törzs és az Almansi törzs.

mérnöki feszültség

a Cauchy-törzs vagy mérnöki törzs a teljes deformációnak az anyagi test kezdeti méretéhez viszonyított arányában van kifejezve, amelyben az erőket kifejtik. A tengelyirányban terhelt anyag vonalelemének vagy szálának mérnöki normál törzsét vagy mérnöki kiterjesztési törzsét vagy névleges e törzsét a vonalelem vagy szálak eredeti L hosszának egységnyi hosszában bekövetkező változásként fejezzük ki. A normál törzs pozitív, ha az anyagszálak kifeszülnek, negatív, ha összenyomódnak. Így tehát

E = 6 = L L = L-L L {\displaystyle \ e={\Frac {\Delta L}{L}}={\frac {l-L}{L}}}

ahol e a mérnöki normál törzs, L a szál eredeti hossza, l pedig a szál végső hossza. A törzs mértékét gyakran milliomod részben vagy mikrostrainekben fejezik ki.

a valódi nyírási törzs meghatározása a szög változása (radiánban) két anyagvonal elem között, amelyek kezdetben merőlegesek egymásra a deformálatlan vagy kezdeti konfigurációban. A mérnöki nyírófeszültség az adott szög érintőjeként van meghatározva, és megegyezik a deformáció maximális hosszával osztva az erő alkalmazási síkjának merőleges hosszával, ami néha megkönnyíti a számítást.

Stretch ratioEdit

a stretch ratio vagy a extension ratio egy differenciális vonalelem extenziós vagy normál feszültségének mértéke, amely meghatározható a deformálatlan konfigurációnál vagy a deformált konfigurációnál. Ez az anyagvonal l véghosszának és L kezdeti hosszának aránya.

{\displaystyle \ \ lambda = {\frac {l}{L}}}

a kiterjesztési Arány közelítőleg

E = l-L L = 6-1 {\displaystyle \ e={\frac {l-L}{L}} = \ lambda -1}

ez az egyenlet azt jelenti, hogy a normál törzs nulla, így nincs deformáció, ha a nyújtás egyenlő az egységgel.

a nyújtási arányt olyan anyagok elemzésére használják, amelyek nagy deformációkat mutatnak, például elasztomerek, amelyek képesek fenntartani a 3 vagy 4 nyújtási arányt, mielőtt meghibásodnának. Másrészt a hagyományos mérnöki anyagok, például a beton vagy az acél, sokkal alacsonyabb nyújtási arány mellett meghibásodnak.

True strainEdit

a logaritmikus törzstől (ún. true strain vagy Hencky strain). Növekményes törzs (Ludwik)

\ = \ l l {\displaystyle \ \ Delta \varepsilon = {\frac {\Delta L} {l}}}

a logaritmikus törzset ennek az inkrementális törzsnek az integrálásával kapjuk meg:

∫ δ ε = ∫ L l δ l l ε = ln ⁡ ( l, L ) = ln ⁡ ( λ ) = ln ⁡ ( 1 + e ) = e − e 2 2 + e 3 3 − ⋯ {\displaystyle \ {\begin{igazítva}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \\\end{igazítva}}}

ahol e a mérnöki törzs. A logaritmikus törzs biztosítja a végső törzs helyes mérését, amikor a deformáció lépésekben történik, figyelembe véve a törzs útjának hatását.

Zöld törzs

a zöld törzs meghatározása::

xhamsterg = 12 (L2 − L2l2) = 12 (xhamster2 − 1 ) {\displaystyle \ \varepsilon _ {G}={\tfrac {1}{2}}\balra ({\frac {l^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\jobbra)={\tfrac {1}{2}} (\lambda ^{2}-1)}

almansi strainEdit

az Euler-Almansi törzs definíciója:

e = 12 ( l 2 − L 2 l 2 ) = 12 ( 1 − 1 2 ) {\displaystyle \ \varepsilon _{e}={\tfrac {1}{2}}\bal({\frac {l^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\jobb)={\tfrac {1}{2}}\balra(1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\jobbra)}

normál és nyírófeszültség [szerkesztés]

a törzseket normál vagy nyírási kategóriába sorolják. A normál törzs merőleges az elem felületére, a nyírófeszültség pedig párhuzamos vele. Ezek a meghatározások összhangban vannak a normál stressz és a nyírófeszültség meghatározásaival.

Normal strainEdit

egy izotróp anyag esetében, amely betartja Hooke törvényét, a normál stressz normális törzset okoz. A normál törzsek tágulást okoznak.

tekintsünk egy kétdimenziós, végtelenül kis méretű, téglalap alakú anyagelemet, amelynek méretei DX dy, amely deformáció után rombusz alakú. A deformációt az u elmozdulási mező írja le. A geometria a szomszédos ábra van

l e n g t h ( A B ) = d x {\displaystyle \mathrm {hossz} (AB)=dx\,}

s

l e n g t h ( a b ) = ( d x + ∂ u x ∂ x d x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x d x ) 2 = d x 2 ( 1 + ∂ u x ∂ x ) 2 + d x 2 ( ∂ u y ∂ x ) 2 = d x ( 1 + ∂ u x ∂ x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x ) 2 ≈ d x ( 1 + ∂ u x ∂ x ) {\displaystyle {\begin{igazítva}\mathrm {hossz} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx \ jobb)^{2}}}\\&={\sqrt {DX^{2} \ Bal (1 + {\frac {\részleges u_{x}} {\részleges x}} \ jobb)^{2} + dx^{2} \ bal ({\frac {\részleges u_{y}} {\részleges x}} \ jobb)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\bal(1+{\frac {\részleges u_{x}}{\részleges x}}\jobb)^{2}+\bal ({\frac {\részleges u_{y}} {\részleges x}} \ jobb)^{2}}}\\&\KB DX \ bal(1 + {\frac {\részleges u_{x}} {\részleges x}} \ jobb)\vége{igazított}}\,\!}

nagyon kis elmozdulási gradiensek esetén az u y {\displaystyle u_{y deriváltjának négyzete}}

elhanyagolhatóak, és van L e N g T h ( A b) DX + {\u x x \d x {\displaystyle\mathrm {hossz} (ab) \KB dx+{\frac {\részleges u_ {x}} {\részleges x}}dx}

a téglalap alakú elem x-irányában a normál törzset

határozza meg 6 x = kiterjesztés eredeti hossz = l e n g t h ( a B ) − L E N G t h ( a b ) l e n g t h ( a B ) = ∂ u x ∂ x {\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\text{kiterjesztését}}{\text{eredeti hosszúság}}}={\frac {\mathrm {hossz} (ab)-\mathrm {hossz} (AB)}{\mathrm {hossz} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}

Hasonlóképpen, a normál törzs az y – z-irányban válik

ε y = ∂ u y ∂ y , ε z = ∂ u z ∂ z {\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}} {\részleges y}} \ quad, \ qquad \ varepsilon _ {z}={\frac {\részleges u_{z}} {\részleges z}}\,\!}

nyírási törzsszerkesztés

nyírási törzs

GmbH vagy

SI egység

1, vagy radián

6364>

a mérnöki nyírófeszültség (YXY) meghatározása az AC és AB vonalak közötti szögváltozás. Ezért

\ X y = \ + \ {\displaystyle \ gamma _ {xy}= \ alpha + \ beta\,\!}

a geometria az ábra, mi

tan ⁡ α = ∂ u y ∂ x d x d x + ∂ u x ∂ x d x = ∂ u y ∂ x 1 + ∂ u x ∂ x tan ⁡ β = ∂ u x ∂ y d y d y + ∂ u y ∂ y d y = ∂ u x ∂ y 1 + ∂ u y ∂ y {\displaystyle {\begin{igazítva}\tan \alfa &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \béta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\részleges u_{x}}{\részleges y}}{1+{\tfrac {\részleges u_{y}}{\részleges y}}}} \ vég{igazítva}}}

a kis elmozdulási gradienseknél

= u x {x}} {\x}} \ll 1~;~~{\cfrac {\részleges u_ {y}} {\részleges y}}\ll 1~; ~ ~ {\cfrac {\részleges u_ {y}} {\részleges y}} 1}

a kis forgások, azaz a (Z) és (Z) A (Z) és (Z) A (Z) A (Z) és (Z) A (Z) A (Z) 1. Ezért

\ u y \ x; \ u x \ y {\displaystyle \ Alpha \ KB {\cfrac {\részleges u_{y}} {\részleges X}}~; ~ ~ \ Beta \ kb {\cfrac {\részleges u_{x}} {\részleges y}}}

így

γ x y = α + β = ∂ u y ∂ x + ∂ u x ∂ y {\displaystyle \gamma _{xy}=\alfa +\béta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\,\!}

X és y, valamint ux és uy felcserélésével kimutatható, hogy yxy = yyx.

Hasonlóképpen, az yz – s xz-sík, van

γ y z = γ z, y = ∂ u y ∂ z + ∂ u z ∂ y , γ z, x = γ x, z = ∂ u z ∂ x + ∂ u x ∂ z {\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\,\!}

az infinitezimális törzstenzor tenzor nyírófeszültség – összetevőit ezután a mérnöki törzsdefinícióval, a xhamsterrel fejezzük ki, mint

_ _ = = {\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}=\left=\left\,\!}

metrikus tenzoredit

az elmozduláshoz társított törzsmezőt bármely ponton meghatározza az azon a ponton áthaladó önkényesen paraméterezett görbék sebességét képviselő érintő Vektorok hosszának változása. Alapvető geometriai eredmény miatt Fréchet, Neumann Jordan, kimondja, hogy, ha a hossza a tangens vektorok megfelelnek az axiómák egy norma, a paralelogramma törvény, akkor a hossza a vektor a négyzetgyök az érték a másodfokú formában kapcsolódó, a polarizáció képlet, egy pozitív definit bilineáris térkép úgynevezett metrikus tenzor.