az elsőrendű lineáris egyenlet meghatározása
típusú differenciálegyenlet
\
ahol \(a \ left(x \right)\) és \(F\left(x \right)\) \(x,\) folytonos függvényei, azt elsőrendű lineáris nemhomogén differenciálegyenletnek nevezzük. Az elsőrendű lineáris differenciálegyenletek megoldásának két módszerét vesszük figyelembe:
- integráló tényező használata;
- állandó variációs módszer.
integráló tényező alkalmazásával
ha lineáris differenciálegyenletet írnak standard formában:
\
az integráló tényezőt a képlet határozza meg
\
az egyenlet bal oldalának Megszorozása az integráló tényezővel \(u \ left(x \right)\) a bal oldalt a \(y\left( x \right) u\left (x \right) termék származékává alakítja.\)
a differenciálegyenlet általános megoldását a következőképpen fejezzük ki:
\
ahol \(C\) tetszőleges állandó.
állandó variációs módszer
ez a módszer hasonló az előző megközelítéshez. Először meg kell találni a homogén egyenlet általános megoldását:
\
a homogén egyenlet általános megoldása integrációs állandót tartalmaz \(C.\) A \(C\) állandót egy bizonyos (még ismeretlen) függvényre cseréljük \(C\bal( x \jobb).\ ) Ha ezt a megoldást behelyettesítjük a nem homogén differenciálegyenletbe, meghatározhatjuk a \(C\left( x \right) függvényt.\)
a leírt algoritmust egy állandó variációs módszerének nevezzük. Természetesen mindkét módszer ugyanazt a megoldást eredményezi.
kezdeti érték probléma
ha a differenciálegyenlet mellett van egy kezdeti feltétel is \(y\left( {{x_0}} \right) = {y_0},\) az ilyen problémát kezdeti érték problémának (IVP) vagy Cauchy problémának nevezzük.
egy IVP-re adott megoldás nem tartalmazza a \(C,\) állandót, amelyet az általános megoldás kezdeti feltételbe történő helyettesítésével határozunk meg \(y\left( {{x_0}} \right) = {y_0}.\)
megoldott problémák
kattintson vagy koppintson egy problémára a megoldás megtekintéséhez.
1. példa
oldja meg a \(y’ – y – x{e^x} \) \(= 0 egyenletet.\)
2. példa
oldja meg a differenciálegyenletet \(xy ‘ = y + 2{x^3}.\)
3. példa
oldja meg a \(y’ – 2Y = x egyenletet.\)
4. példa
oldja meg a differenciálegyenletet \({x^2}y’ + xy + 2 \) \(= 0.\)
5. példa
oldja meg a kezdeti érték problémát: \(y’ – y\tan x \) \(= \sin x,\) \(y\left( 0 \right) = 1.\)
6. példa
oldja meg az (IVP) \(y’ + {\large\frac{3}{x}\normalsize}y \) \(= {\large\frac{2}{{{x^2}}}\normalsize}\) differenciálegyenletet a kezdeti feltétellel \(y\left( 1 \right) = 2.\)
7. példa
keresse meg a differenciálegyenlet általános megoldását \(y = \left( {2{y^4} + 2x} \right)y’.\)
példa 1.
oldja meg a \(y’ – y – x{e^x} \) \(= 0 egyenletet.\)
megoldás.
ezt az egyenletet standard formában írjuk át:
\
ezt az egyenletet az integráló tényező segítségével oldjuk meg
\
ezután a lineáris egyenlet általános megoldását az adja meg
\
példa 2.
oldja meg a differenciálegyenletet \(xy ‘ = y + 2{x^3}.\)
megoldás.
ezt a problémát egy állandó variációs módszerével oldjuk meg. Először megtaláljuk a homogén egyenlet általános megoldását:
\
amit a változók elválasztásával lehet megoldani:
\
ahol \(C\) pozitív valós szám.
most kicseréljük a \(C\) – t egy bizonyos (még ismeretlen) \(C\left( x \right)\) függvényre, és megtaláljuk az eredeti nemhomogén egyenlet megoldását a következő formában:
\
ezután a deriváltot
\^\prime } }={ C’\left( x \right)x + C\left( x \right) adja meg.}\]
ennek helyettesítése az egyenletbe:
\ }={ C \ bal( x \ jobb) x + 2{x^3},\;\;}}\Rightarrow
{{C ‘\ left (x \right){x^2} + \ cancel{C \ left (x \right)x} } = {\cancel{C \ left (x \right)x} + 2{x^3},\;\;}}\Rightarrow
{C’ \ left (x \right) = 2x.}
\]
az integráció után megtaláljuk a \({C\left (x \ right)}:\)
\
ahol \({c_1}\) tetszőleges valós szám.
így az adott egyenlet általános megoldását a következő formában írjuk
\