Deformazione (fisica)

La deformazione è una misura della deformazione che rappresenta lo spostamento tra le particelle nel corpo rispetto a una lunghezza di riferimento.

Una deformazione generale di un corpo può essere espressa nella forma x = F(X) dove X è la posizione di riferimento dei punti materiali nel corpo. Tale misura non distingue tra movimenti rigidi del corpo (traduzioni e rotazioni) e cambiamenti nella forma (e dimensioni) del corpo. Una deformazione ha unità di lunghezza.

We could, for example, define strain to be

ε ≐ ∂ ∂ X ( x − X ) = F ′ − I , {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}’-{\boldsymbol {I}},}

where I is the identity tensor.Quindi i ceppi sono adimensionali e sono solitamente espressi come frazione decimale, percentuale o in notazione di parti per. I ceppi misurano quanto una determinata deformazione differisce localmente da una deformazione del corpo rigido.

Un ceppo è in generale una quantità di tensore. La comprensione fisica dei ceppi può essere acquisita osservando che un dato ceppo può essere scomposto in componenti normali e di taglio. La quantità di stiramento o compressione lungo gli elementi o le fibre della linea materiale è la deformazione normale e la quantità di distorsione associata allo scorrimento degli strati piani l’uno sull’altro è la deformazione del taglio, all’interno di un corpo deformante. Questo potrebbe essere applicato da allungamento, accorciamento, o variazioni di volume, o distorsione angolare.

Lo stato di deformazione in un punto materiale di un corpo continuo è definito come la totalità di tutte le variazioni di lunghezza di linee o fibre materiali, la deformazione normale, che passano attraverso quel punto e anche la totalità di tutte le variazioni dell’angolo tra coppie di linee inizialmente perpendicolari l’una all’altra, la deformazione di taglio, che si irradia da questo punto. Tuttavia, è sufficiente conoscere i componenti normali e di taglio dello sforzo su un insieme di tre direzioni reciprocamente perpendicolari.

Se c’è un aumento della lunghezza della linea del materiale, la tensione normale è chiamata tensione di trazione, altrimenti, se c’è riduzione o compressione nella lunghezza della linea del materiale, si chiama sforzo di compressione.

Strain measuresEdit

A seconda della quantità di deformazione, o deformazione locale, l’analisi della deformazione è suddivisa in tre teorie di deformazione:

• La teoria del ceppo finito, chiamata anche teoria del grande ceppo, teoria della grande deformazione, si occupa di deformazioni in cui sia le rotazioni che i ceppi sono arbitrariamente grandi. In questo caso, le configurazioni non deformate e deformate del continuum sono significativamente diverse e una chiara distinzione deve essere fatta tra loro. Questo è comunemente il caso di elastomeri, materiali plasticamente deformanti e altri fluidi e tessuti molli biologici.
• Teoria del ceppo infinitesimale, chiamata anche teoria del piccolo ceppo, teoria della piccola deformazione, teoria del piccolo spostamento o teoria del gradiente di piccolo spostamento in cui i ceppi e le rotazioni sono entrambi piccoli. In questo caso, le configurazioni non deformate e deformate del corpo possono essere considerate identiche. La teoria della deformazione infinitesimale viene utilizzata nell’analisi delle deformazioni di materiali che presentano un comportamento elastico, come i materiali trovati in applicazioni meccaniche e di ingegneria civile, ad esempio calcestruzzo e acciaio.
• Teoria di grande spostamento o grande rotazione, che presuppone piccoli ceppi ma grandi rotazioni e spostamenti.

In ciascuna di queste teorie il ceppo viene quindi definito in modo diverso. Il ceppo ingegneristico è la definizione più comune applicata ai materiali utilizzati nell’ingegneria meccanica e strutturale, che sono sottoposti a deformazioni molto piccole. D’altra parte, per alcuni materiali, ad esempio elastomeri e polimeri, sottoposti a grandi deformazioni, la definizione ingegneristica di deformazione non è applicabile, ad esempio ceppi ingegneristici tipici superiori all ‘ 1%, quindi sono necessarie altre definizioni più complesse di deformazione, come stretch, ceppo logaritmico, ceppo verde e ceppo Almansi.

Filtro ingegneristicomodifica

Il ceppo di Cauchy o deformazione ingegneristica è espresso come il rapporto tra la deformazione totale e la dimensione iniziale del corpo materiale in cui vengono applicate le forze. La deformazione normale di ingegneria o la deformazione estensionale di ingegneria o la deformazione nominale e di un elemento o di una fibra di materiale caricato assialmente è espressa come la variazione di lunghezza ΔL per unità della lunghezza originale L dell’elemento o delle fibre di linea. Il ceppo normale è positivo se le fibre del materiale sono allungate e negativo se sono compresse. Abbiamo, dunque,

e = Δ L L = l − L L {\displaystyle \ e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {l-L}{L}}}

dove e è l’ingegneria sforzo normale, L è la lunghezza della fibra e l è la lunghezza finale della fibra. Le misure di deformazione sono spesso espresse in parti per milione o microstreni.

La deformazione di taglio vera è definita come la variazione dell’angolo (in radianti) tra due elementi della linea di materiale inizialmente perpendicolari tra loro nella configurazione non deformata o iniziale. La deformazione del taglio ingegneristico è definita come la tangente di quell’angolo ed è uguale alla lunghezza della deformazione al suo massimo divisa per la lunghezza perpendicolare nel piano di applicazione della forza che a volte rende più facile il calcolo.

Stretch ratioEdit

Il stretch ratio o extension ratio è una misura della deformazione estensionale o normale di un elemento di linea differenziale, che può essere definita nella configurazione non deformata o nella configurazione deformata. È definito come il rapporto tra la lunghezza finale l e la lunghezza iniziale L della linea materiale.

λ = l {\displaystyle \ \lambda ={\frac {l}{L}}}

L’estensione rapporto è di circa metalmeccanica tensione

e = l − L L = λ − 1 {\displaystyle \ e={\frac {l-L}{L}}=\lambda -1}

Questa equazione implica che la tensione normale è pari a zero, in modo che non vi è alcuna deformazione quando il tratto è uguale all’unità.

Il rapporto di allungamento viene utilizzato nell’analisi di materiali che presentano grandi deformazioni, come gli elastomeri, che possono sostenere rapporti di allungamento di 3 o 4 prima che falliscano. D’altra parte, i materiali di ingegneria tradizionali, come il calcestruzzo o l’acciaio, falliscono a rapporti di allungamento molto più bassi.

True strainEdit

Il ceppo logaritmico ε, chiamato anche ceppo vero o ceppo Hencky. Considerando un incremento di deformazione (Ludwik)

δ ε = δ l l {\displaystyle \ \delta \varepsilon ={\frac {\delta l}{l}}}

la deformazione logaritmica è ottenuta integrando questo sforzo incrementale:

∫ δ ε = ∫ L L δ l l ε = ln ⁡ ( l ) = ln ⁡ ( λ ) = ln ⁡ ( 1 + e ) = e − e 2 2 + e 3 3 − ⋯ {\displaystyle \ {\begin{aligned}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+t)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \\\end{aligned}}}

dove e è il ceppo di ingegneria. La deformazione logaritmica fornisce la misura corretta della deformazione finale quando la deformazione avviene in una serie di incrementi, tenendo conto dell’influenza del percorso di deformazione.

Filtro verdeedit

Il ceppo verde è definito come:

ε G = 1 2 l 2 L 2 L 2 ) = 1 2 ( λ 2 − 1 ) {\displaystyle \ \varepsilon _{G}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)}

Almansi strainEdit

Eulero-Almansi ceppo è definito come

ε E = 1 2 l 2 L 2 l 2 ) = 1 2 ( 1 − 1 λ 2 ) {\displaystyle \ \varepsilon _{E}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{l^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}

Normale e di taglio strainEdit

I ceppi sono classificati come normali o di taglio. Un ceppo normale è perpendicolare alla faccia di un elemento e un ceppo di taglio è parallelo ad esso. Queste definizioni sono coerenti con quelle di stress normale e stress da taglio.

Filtro normaleedit

Per un materiale isotropico che obbedisce alla legge di Hooke, uno stress normale causerà uno sforzo normale. I ceppi normali producono dilatazioni.

Si consideri un elemento materiale bidimensionale, infinitesimale, rettangolare con dimensioni dx × dy, che, dopo la deformazione, assume la forma di un rombo. La deformazione è descritta dal campo di spostamento u. Dalla geometria della figura abbiamo

l e n g t h ( A, B ) = d x {\displaystyle \mathrm {lunghezza} (AB)=dx\,}

e

l e n g t h ( a, b ) = ( d x + ∂ u x ∂ x d-x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x d-x ) 2 = d x 2 ( 1 + ∂ u x ∂ x ) 2 + d x 2 ( ∂ u y ∂ x ) 2 = d x ( 1 + ∂ u x ∂ x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x ) 2 ≈ d x ( 1 + ∂ u x ∂ x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {lunghezza} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\a destra)^{2}}}\\&={\sqrt {dx^{2}\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+dx^{2}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&\ca dx\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)\end{aligned}}\,\!}

Per piccolo spostamento gradienti di piazza della derivata di u y {\displaystyle u_{y}}

sono trascurabili e abbiamo l e n g t h ( a, b ) ≈ d x + ∂ u x ∂ x d x {\displaystyle \mathrm {lunghezza} (ab)\ca dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}

La tensione normale in direzione x, rettangolare elemento è definito da

ε x = estensione in lunghezza = l e n g t h ( a, b ) − l e n g t h ( A, B ) l e n g t h ( A, B ) = ∂ u x ∂ x {\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\text{extension}}{\text{lunghezza}}}={\frac {\mathrm {lunghezza} (ab)-\mathrm {lunghezza} (AB)}{\mathrm {lunghezza} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}

allo stesso modo, la tensione normale in y e z, e per sapere diventa

ε y = ∂ u y ∂ y , e z = ∂ u z ∂ z {\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.!}

Taglio strainEdit

sforzo di Taglio

γ o ε

unità

1, o radiante

γ = τ/G

ingegneria sforzo di taglio (yxy) è definito come la variazione di angolo tra le linee AC e AB. Pertanto,

γ x y = α + β {\displaystyle \ gamma _{xy}=\alfa +\beta \,\!}

Dalla geometria della figura, abbiamo

tan ⁡ α = ∂ u y ∂ x d x d x + ∂ u x ∂ x d x = ∂ u y ∂ x 1 + ∂ u x ∂ x tan β = ∂ u x ∂ y d y d y + ∂ u y ∂ y d y = ∂ u x ∂ y 1 + ∂ u y ∂ y {\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}\end{aligned}}}

Per piccoli spostamenti gradienti abbiamo

∂ u x ∂ x ≪ 1 ; ∂ u y ∂ y ≪ 1 {\displaystyle {\cfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~~{\cfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}\ll 1}

Per le piccole rotazioni, cioè α e β sono ≪ 1 abbiamo tan α ≈ α, tan β ≈ β. Quindi,

α ≈ ≈ u y x x; β ≈ ≈ u x y y {\displaystyle \ alpha \ approx {\cfrac {\u_ parziale{y}} {\x parziale}}~;~ ~ \ beta \ approx {\cfrac {\u_ parziale{x}} {\y parziale}}}

quindi

γ x y = α + β = u u y x x + u u x {y {\displaystyle \ gamma _ {xy}= \ alfa + \ beta = {\frac {\u_ parziale {y}} {\x parziale}} + {\frac {\u_ parziale {x}} {\y parziale}}\,\! Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.!

Scambiando x e y e ux e uy, si può dimostrare che yxy = yyx.

allo stesso modo, per la yz e xz-aerei, abbiamo

γ y z = g z y = ∂ u y ∂ z + ∂ u z ∂ y , γ z x = g x z = ∂ u z ∂ x + ∂ u x ∂ z {\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\,\!}

I componenti tensoriali di deformazione del tensore di deformazione infinitesimale possono quindi essere espressi usando la definizione di deformazione ingegneristica, γ, come

ε _ _ = = {\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}=\left=\left\,\!}

Metric tensorEdit

Un campo di deformazione associato a uno spostamento è definito, in qualsiasi punto, dal cambiamento di lunghezza dei vettori tangenti che rappresentano le velocità delle curve parametrizzate arbitrariamente che passano attraverso quel punto. Una base geometrica risultato, a causa di Fréchet, von Neumann e la Giordania, afferma che, se le lunghezze dei vettori tangenti soddisfano gli assiomi di una norma e regola del parallelogramma legge, quindi la lunghezza di un vettore è la radice quadrata del valore della forma quadratica associata, dalla polarizzazione formula, con una definita positiva bilineare mappa chiamato tensore metrico.