Definizione di Equazione Lineare del Primo Ordine
Un’equazione differenziale del tipo
\
dove \(a\left( x \right)\) e \(f\left( x \right)\) sono funzioni continue di \(x\) è definita lineare disomogenei equazione differenziale del primo ordine. Consideriamo due metodi per risolvere equazioni differenziali lineari del primo ordine:
- Utilizzando un fattore di integrazione;
- Metodo di variazione di una costante.
Utilizzando un Fattore d’Integrazione
Se una equazione differenziale lineare è scritto in forma standard:
\
il fattore d’integrazione è definita dalla formula
\
Moltiplicando il lato sinistro dell’equazione per il fattore integrante \(u\left( x \right)\) converte il lato sinistro in la derivata del prodotto di \(y\left( x \right) u\left( x \right).\)
La soluzione generale dell’equazione differenziale è espressa come segue:
\
dove \(C\) è una costante arbitraria.
Metodo di variazione di una costante
Questo metodo è simile all’approccio precedente. Innanzitutto è necessario trovare la soluzione generale dell’equazione omogenea:
\
La soluzione generale dell’equazione omogenea contiene una costante di integrazione \(C.\) Sostituiamo la costante \(C\) con una certa funzione(ancora sconosciuta) \(C\left (x \right).\) Sostituendo questa soluzione nell’equazione differenziale non omogenea, possiamo determinare la funzione \(C\left( x \right).\)
L’algoritmo descritto è chiamato il metodo di variazione di una costante. Naturalmente, entrambi i metodi portano alla stessa soluzione.
Problema del valore iniziale
Se oltre all’equazione differenziale, esiste anche una condizione iniziale sotto forma di \(y\left( {{x_0}} \right) = {y_0},\) tale problema è chiamato problema del valore iniziale (IVP) o problema di Cauchy.
Una soluzione particolare per un IVP non contiene la costante \(C,\) che è definita dalla sostituzione della soluzione generale nella condizione iniziale \(y\left( {{x_0}} \right) = {y_0}.\)
Problemi risolti
Fare clic o toccare un problema per visualizzare la soluzione.
Esempio 1
Risolvi l’equazione \(y – – y-x{e^x}\) \ (= 0.\)
Esempio 2
Risolvere l’equazione differenziale \(xy ‘ = y + 2{x^3}.\)
Esempio 3
Risolvi l’equazione \(y – – 2y = x.\)
Esempio 4
Risolvere l’equazione differenziale \({x^2} y ‘ + xy + 2\) \ (=0.\)
Esempio 5
Risolvi il problema del valore iniziale: \(y ‘ – y \ tan x \) \ (=\sin x,\)\(y \left( 0 \ right) = 1.\)
Esempio 6
Risolvere l’equazione differenziale (IVP) \(y’ + {\large\frac{3}{x}\normalsize}y \) \(= {\large\frac{2}{{{x^2}}}\normalsize}\) con la condizione iniziale \(y\left( 1 \right) = 2.\)
Esempio 7
Trova la soluzione generale dell’equazione differenziale \(y = \ left ({2{y^4} + 2x} \right)y’.\)
Esempio 1.
Risolvi l’equazione \(y – – y-x{e^x}\) \ (=0.\ )
Soluzione.
Riscriviamo questa equazione in forma standard:
\
Risolveremo questa equazione usando il fattore di integrazione
\
Quindi la soluzione generale dell’equazione lineare è data da
\
Esempio 2.
Risolvi l’equazione differenziale \(xy ‘ = y + 2{x^3}.\ )
Soluzione.
Risolveremo questo problema utilizzando il metodo di variazione di una costante. Per prima cosa troviamo la soluzione generale dell’equazione omogenea:
\
che può essere risolto separando le variabili:
\
dove \(C\) è un numero reale positivo.
Ora sostituiamo \(C\) con un certo (ancora sconosciuto) funzione di \(C\left( x \right)\) e trovare una soluzione originale disomogenei equazione nella forma:
\
Quindi la derivata è data da
\^\prime } }={ C’\left( x \right)x + C\left( x \right).}\]
Sostituendo questa equazione dà:
\ }={ C\left( x \right)x + 2{x^3},\;\;}}\Rightarrow
{{C’\left( x \right){x^2} + \cancel{C\left( x \right)x} }={ \cancel{C\left( x \right)x} + 2{x^3},\;\;}}\Rightarrow
{C’\left( x \right) = 2x.}
\]
Dopo l’integrazione, troviamo la funzione \({C \ left (x \ right)}:\)
\
dove \({C_1}\) è un numero reale arbitrario.
Quindi, la soluzione generale di una data equazione è scritta nella forma
\