Cosa mostra:
Una dimostrazione semplice e convincente del teorema dell’asse intermedio. Considera un oggetto (una racchetta da tennis in questo caso) con tre momenti di principio disuguali di inerzia. Se la racchetta viene messa in rotazione attorno all’asse del momento maggiore o minore e successivamente non è soggetta a coppie esterne, il movimento risultante è stabile. Tuttavia, la rotazione attorno all’asse del principio intermedio momento di inerzia è instabile — la più piccola perturbazione cresce e l’asse di rotazione non rimane vicino all’asse di rotazione iniziale.
Come funziona:
L’inerzia di rotazione più bassa della racchetta da tennis è associata all’asse di rotazione che corre lungo la lunghezza del manico (asse z nell’illustrazione) ed è quindi più facile ruotarlo attorno a quell’asse. L’inerzia rotazionale più alta ha l’asse di rotazione perpendicolare al piano della racchetta e passante per il COM (asse y), e richiede la massima coppia per farlo girare attorno a quell’asse. Il terzo asse (asse x) si trova nel piano della racchetta, perpendicolare agli altri due assi, con un’inerzia rotazionale intermedia. La racchetta è messa in moto per ruotare su uno qualsiasi di questi tre assi semplicemente orientandola correttamente e lanciandola in aria. La rotazione successiva è totalmente stabile attorno all’asse che coinvolge l’inerzia rotazionale più bassa o più alta — la rotazione non è influenzata da qualsiasi movimento estraneo della mano che possa perturbare la rotazione pura. D’altra parte, la rotazione attorno all’asse intermedio è instabile e molto sensibile a qualsiasi movimento accidentale sugli altri due assi — la più piccola perturbazione cresce rapidamente e l’asse di rotazione cambia; ad esempio, la racchetta “si ribalta.”
Per dimostrare questo e rendere evidente l’instabilità, un lato della racchetta è coperto da nastro rosso e l’altro lato con nastro verde. Tenendo la racchetta per il manico, la si lancia in aria in modo tale da farla ruotare una volta attorno all’asse intermedio prima di riprenderla per il manico. Se si inizia con il lato rosso verso l’alto prima del lancio, verrà catturato con il lato verde verso l’alto (e viceversa). Non così per gli altri due assi.
Impostazione:
Il set-up è banale — basta fornire il docente con la racchetta.
Il teorema dell’asse intermedio è una conseguenza delle equazioni di Eulero per il moto privo di forza di un corpo rigido, ma non è affatto ovvio fisicamente e non abbiamo una comprensione intuitiva del moto di un corpo rigido con tre momenti di principio disuguali di inerzia. Ma siamo in buona compagnia. Ad esempio, John Mallinckrodt (CSU Pomona) racconta la storia di uno studente che chiede a Richard Feynman se esiste un modo intuitivo per comprendere il risultato; Feynman è andato in pensiero profondo per circa 10 o 15 secondi e ha risposto, ” no.”Se siete a conoscenza di un argomento di plausibilità perché ha senso che la rotazione non è stabile circa l’asse intermedio, fatecelo sapere! Nel frattempo, il problema 9.14 (p. 417) e l’esercizio 9.33 (p. 421) nel libro di David Morin, Meccanica classica, (Cambridge University Press, 2007) ti guideranno attraverso la matematica.