The mind-bendy weirdness of the number zero, explained

Il computer su cui stai leggendo questo articolo in questo momento funziona su stringhe binarie di zeri e uno. Senza zero, l’elettronica moderna non esisterebbe. Senza zero, non c’è calcolo, il che significa nessuna ingegneria moderna o automazione. Senza zero, gran parte del nostro mondo moderno cade letteralmente a pezzi.

Scoperta dell’umanità di zero è stato “un cambio di gioco totale … equivalente a noi imparare la lingua”, dice Andreas Nieder, uno scienziato cognitivo presso l’Università di Tubinga in Germania.

Ma per la stragrande maggioranza della nostra storia, gli umani non hanno capito il numero zero. Non è innato in noi. Abbiamo dovuto inventarlo. E dobbiamo continuare a insegnarlo alla prossima generazione.

Altri animali, come le scimmie, si sono evoluti per comprendere il concetto rudimentale di nulla. E gli scienziati hanno appena riferito che anche piccoli cervelli di api possono calcolare zero. Ma sono solo gli umani che hanno afferrato zero e lo hanno forgiato in uno strumento.

Quindi non diamo zero per scontato. Niente è affascinante. Ecco perché.

Che cosa è zero, comunque?

Getty Images

La nostra comprensione dello zero è profonda se si considera questo fatto: non incontriamo spesso, o forse mai, lo zero in natura.

Numeri come uno, due e tre hanno una controparte. Possiamo vedere una luce flash su. Possiamo sentire due segnali acustici da un clacson. Ma zero? Ci richiede di riconoscere che l’assenza di qualcosa è una cosa in sé e per sé.

“Lo zero è nella mente, ma non nel mondo sensoriale”, dice Robert Kaplan, professore di matematica ad Harvard e autore di un libro sullo zero. Anche nel vuoto dello spazio, se riesci a vedere le stelle, significa che sei immerso nella loro radiazione elettromagnetica. Nel vuoto più oscuro, c’è sempre qualcosa. Forse un vero zero — che significa nulla assoluto — potrebbe essere esistito nel tempo prima del Big Bang. Ma non potremo mai saperlo.

Tuttavia, zero non deve esistere per essere utile. In effetti, possiamo usare il concetto di zero per derivare tutti gli altri numeri nell’universo.

Kaplan mi ha guidato attraverso un esercizio di pensiero descritto per la prima volta dal matematico John von Neumann. È ingannevolmente semplice.

Immagina una scatola senza nulla. I matematici chiamano questa casella vuota ” il set vuoto.”È una rappresentazione fisica di zero. Cosa c’è dentro la scatola vuota? Niente.

Ora prendi un’altra scatola vuota e posizionala nella prima.

Quante cose sono nella prima casella ora?

C’è un oggetto in esso. Quindi, metti un’altra scatola vuota all’interno dei primi due. Quanti oggetti contiene ora? Due. Ed è così che “ricaviamo tutti i numeri di conteggio da zero from dal nulla”, dice Kaplan. Questa è la base del nostro sistema numerico. Zero è un’astrazione e una realtà allo stesso tempo. “È il nulla che è”, come ha detto Kaplan. (A questo punto della storia, si consiglia di prendere un altro colpo sul vostro bong.)

Ha poi messo in termini più poetici. “Zero è come l’orizzonte lontano che ci chiama sul modo in cui gli orizzonti fanno nei dipinti”, dice. “Unifica l’intero quadro. Se guardi zero non vedi nulla. Ma se si guarda attraverso di essa, si vede il mondo. E ‘ l’orizzonte.”

Una volta che abbiamo avuto zero, abbiamo numeri negativi. Zero ci aiuta a capire che possiamo usare la matematica per pensare a cose che non hanno controparte in un’esperienza vissuta fisica; i numeri immaginari non esistono ma sono cruciali per comprendere i sistemi elettrici. Zero ci aiuta anche a capire la sua antitesi, l’infinito, in tutta la sua estrema stranezza. (Lo sapevate che un infinito può essere più grande di un altro?)

Perché zero è così dannatamente utile in matematica

L’influenza di Zero sulla nostra matematica oggi è duplice. Uno: È una cifra segnaposto importante nel nostro sistema numerico. Due: È un numero utile a sé stante.

I primi usi dello zero nella storia umana possono essere fatti risalire a circa 5.000 anni fa, all’antica Mesopotamia. Lì, è stato usato per rappresentare l’assenza di una cifra in una stringa di numeri.

Ecco un esempio di ciò che intendo: Pensa al numero 103. Lo zero in questo caso sta per ” non c’è nulla nella colonna decine.”È un segnaposto, che ci aiuta a capire che questo numero è centotré e non 13.

Va bene, si potrebbe pensare, ” questo è di base.”Ma gli antichi Romani non lo sapevano. Ti ricordi come i romani hanno scritto i loro numeri? 103 in numeri romani è CIII. Il numero 99 è XCIX. Provi ad aggiungere CIII + XCIX. È assurdo. La notazione segnaposto è ciò che ci consente di aggiungere, sottrarre e manipolare facilmente i numeri. La notazione segnaposto è ciò che ci consente di risolvere complicati problemi matematici su un foglio di carta.

Se zero fosse rimasto semplicemente una cifra segnaposto, sarebbe stato uno strumento profondo da solo. Ma circa 1.500 anni fa (o forse anche prima), in India, zero divenne il proprio numero, non significa nulla. Anche gli antichi Maya, nell’America centrale, svilupparono indipendentemente lo zero nel loro sistema di numeri intorno agli albori dell’era volgare.

Nel settimo secolo, il matematico indiano Brahmagupta annotò quella che è riconosciuta come la prima descrizione scritta dell’aritmetica dello zero:

Quando zero viene aggiunto a un numero o sottratto da un numero, il numero rimane invariato; e un numero moltiplicato per zero diventa zero.

Zero si diffuse lentamente in tutto il Medio Oriente prima di raggiungere l’Europa, e la mente del matematico Fibonacci nel 1200, che rese popolare il sistema numerico “arabo” che tutti usiamo oggi.

Da lì, l’utilità di zero è esplosa. Pensa a qualsiasi grafico che traccia una funzione matematica a partire da 0,0. Questo metodo ormai onnipresente di grafica è stato inventato solo nel 17 ° secolo dopo la diffusione dello zero in Europa. Quel secolo vide anche un nuovo campo della matematica che dipende da zero: il calcolo.

Potresti ricordare dalla matematica del liceo o del college che la funzione più semplice nel calcolo sta prendendo una derivata. Una derivata è semplicemente la pendenza di una linea che si interseca con un singolo punto su un grafico.

Per calcolare la pendenza di un singolo punto, di solito è necessario un punto di confronto: rise over run. Ciò che Isaac Newton e Gottfried Leibniz hanno scoperto quando hanno inventato il calcolo è che calcolare quella pendenza in un singolo punto comporta sempre più vicino, più vicino e più vicino — ma mai in realtà — dividendo per zero.

“Tutti i processi infiniti ruotano intorno, ballano intorno, la nozione di zero”, dice Robert Kaplan. Whoa.

Perché zero è così profondo come un’idea umana?

Non siamo nati con una comprensione di zero. Dobbiamo impararlo, e ci vuole tempo.

Elizabeth Brannon è una neuroscienziata della Duke University che studia come sia gli esseri umani che gli animali rappresentano i numeri nelle loro menti. Spiega che anche quando i bambini di età inferiore ai 6 anni capiscono che la parola “zero” significa “niente”, hanno ancora difficoltà a cogliere la matematica sottostante. “Quando chiedi quale numero è più piccolo, zero o uno, spesso pensano a uno come il numero più piccolo”, dice Brannon. “È difficile imparare che zero è più piccolo di uno.”

Negli esperimenti, Brannon giocherà spesso una partita con bambini di 4 anni. Metterà fuori un paio di carte su un tavolo o uno schermo. E ogni carta avrà un numero di oggetti su di esso. Una carta avrà due punti, per esempio. Un altro ne avrà tre. Ecco un esempio di ciò che potrebbero vedere.

Tendenze nelle scienze cognitive

Chiederà semplicemente ai bambini di scegliere la carta con il minor numero di oggetti. Quando una carta con niente su di esso è accoppiato con una carta con un oggetto su di esso, meno della metà dei bambini otterrà la risposta giusta.

Tendenze nelle scienze cognitive

Quindi cosa succede per fare tutto clic?

Andreas Nieder, lo scienziato cognitivo tedesco, ipotizza che ci siano quattro passi psicologici per capire zero, e ogni passo è più cognitivamente complicato di quello precedente.

Molti animali possono superare i primi tre passaggi. Ma l’ultimo stadio, il più difficile, è “riservato a noi umani”, dice Nieder.

Il primo è semplicemente avere la semplice esperienza sensoriale dello stimolo che si accende e si spegne. Questa è la semplice capacità di notare un leggero sfarfallio acceso e spento. O un rumore che si accende e si spegne.

Il secondo è la comprensione comportamentale. In questa fase, non solo gli animali possono riconoscere la mancanza di uno stimolo, ma possono reagire ad esso. Quando un individuo è a corto di cibo, sanno di andare a trovare di più.

La terza fase è riconoscere che zero, o un contenitore vuoto, è un valore inferiore a uno. Questo è difficile, anche se un numero sorprendente di animali, tra cui api da miele e scimmie, in grado di riconoscere questo fatto. Sta capendo “che nulla ha una categoria quantitativa”, dice Nieder.

Il quarto stadio è prendere l’assenza di uno stimolo e trattarlo come un simbolo e uno strumento logico per risolvere i problemi. Nessun animale al di fuori degli umani, dice, “non importa quanto intelligente”, capisce che zero può essere un simbolo.

Ma anche gli esseri umani ben istruiti possono ancora inciampare un po ‘ quando pensano a zero. Gli studi hanno dimostrato che gli adulti impiegano alcuni istanti in più per riconoscere il numero zero rispetto ad altri numeri. E quando l’esperimento di Brannon pick-the-lowest-number-card viene ripetuto con gli adulti, prendono un po ‘ più tempo quando si decide tra zero e uno, rispetto a quando si confronta zero con un numero maggiore.

Ciò suggerisce che zero, anche per gli adulti, richiede uno sforzo extra di potenza cerebrale per elaborare.

Cos’altro non può capire nulla?

Getty Images/EyeEm

Potremmo non essere nati con la capacità di capire zero. Ma la nostra capacità di impararlo può avere profonde radici evolutive, come ci mostra una nuova scienza.

Il quarto passo nel pensare a zero — cioè pensare a zero come simbolo — può essere unico per gli esseri umani. Ma un numero sorprendente di animali può arrivare al passo tre: riconoscere che zero è meno di uno.

Anche le api possono farlo.

Scarlett Howard, una dottoranda al Royal Melbourne Institute of Technology, ha recentemente pubblicato un esperimento su Science che è quasi identico a quello che Brannon ha fatto con i bambini. Le api hanno scelto la pagina vuota 60 a 70 per cento del tempo. Ed erano significativamente migliori nel discriminare un gran numero, come sei, da zero, che nel discriminare uno da zero. Proprio come i bambini.

Questo è impressionante, considerando che “abbiamo questo grande cervello di mammiferi ma le api hanno un cervello così piccolo che pesa meno di un milligrammo”, dice Howard. Il suo gruppo di ricerca spera di capire come le api fanno questi calcoli nelle loro menti, con l’obiettivo di un giorno utilizzando quelle intuizioni per costruire computer più efficienti.

In esperimenti simili, i ricercatori hanno dimostrato che le scimmie possono riconoscere il set vuoto (e sono spesso migliori rispetto agli umani di 4 anni). Ma il fatto che le api possano farlo è piuttosto sorprendente, considerando quanto sono lontani da noi sugli alberi evolutivi della vita. “L’ultimo antenato comune tra noi e le api visse circa 600 milioni di anni fa, che è un’eternità nei tempi evolutivi”, dice Nieder.

Noi umani potremmo essere arrivati a capire zero come un numero solo 1.500 anni fa. Quello che gli esperimenti su api e scimmie ci mostrano è che non è solo il lavoro del nostro ingegno. È anche, forse, il lavoro culminante dell’evoluzione.

Ci sono ancora grandi misteri su zero. Per uno, Nieder dice “non sappiamo quasi nulla” su come il cervello lo elabora fisicamente. E non sappiamo quanti animali possano cogliere l’idea del nulla come una quantità.

Ma ciò che la matematica ci ha chiaramente mostrato è che quando non indaghiamo nulla, siamo tenuti a trovare qualcosa.