Definisjon Av Lineær Ligning Av Første Orden
en differensialligning av typen
\
der \(a \ venstre (x\ høyre)\) og \ (f \ venstre (x \høyre)\) er kontinuerlige funksjoner av \(x,\) kalles en lineær ikke-homogen differensialligning av første orden. Vi vurderer to metoder for å løse lineære differensialligninger av første orden:
- bruke en integrerende faktor;
- metode for variasjon av en konstant.
Ved Hjelp Av En Integrerende Faktor
hvis en lineær differensialligning er skrevet i standardformen:
\
integrasjonsfaktoren er definert av formelen
\
Multiplikasjon av venstre side av ligningen ved å integrere faktoren \(u\left (x \ right)\) konverterer venstre side til derivatet av produktet \(y \ left( x \right) u\left (x \right).\)
den generelle løsningen av differensialligningen uttrykkes som følger:
\
hvor \(C\) er en vilkårlig konstant.
Metode For Variasjon Av En Konstant
denne metoden ligner på forrige tilnærming. Først er det nødvendig å finne den generelle løsningen av den homogene ligningen:
\
den generelle løsningen av den homogene ligningen inneholder en konstant av integrasjon \(C.\) vi erstatter konstanten \(C\) med en viss (fortsatt ukjent) funksjon \(C \ venstre (x \ høyre).\ ) Ved å erstatte denne løsningen i den ikke-homogene differensialligningen, kan vi bestemme funksjonen \(C \ venstre (x \ høyre).\)
den beskrevne algoritmen kalles metoden for variasjon av en konstant. Selvfølgelig fører begge metodene til samme løsning.
Initial Value Problem
hvis i tillegg til differensialligningen, er det også en innledende tilstand i form av \(y \ left ({{x_0}} \ right) = {y_0},\) et slikt problem kalles initial value problem (IVP) eller cauchy problem.
en bestemt løsning for EN IVP inneholder ikke konstanten \(C,\) som er definert ved substitusjon av den generelle løsningen i den opprinnelige tilstanden \(y \ left ({{x_0}} \ right) = {y_0}.\)
Løste Problemer
Klikk eller trykk på et problem for å se løsningen.
Eksempel 1
Løs ligningen \(y ‘ – y-x{e^x} \) \ (=0.\)
Eksempel 2
Løs differensialligningen \(xy ‘ = y + 2{x^3}.\)
Eksempel 3
Løs ligningen \(y ‘- 2y = x.\)
Eksempel 4
Løs differensialligningen \({x^2}y ‘ + xy + 2\) \ (=0.\)
Eksempel 5
Løs det opprinnelige verdiproblemet: \(y ‘ – y \ tan x\) \ (=\sin x,\) \(y \ venstre (0 \ høyre) = 1.\)
Eksempel 6
Løs differensialligningen (IVP) \(y’ + {\large\frac{3}{x}\normalsize}y \) \(= {\large\frac{2} {{x^2}}\normalsize}\) med den opprinnelige tilstanden \(y\venstre (1 \ høyre) = 2.\)
Eksempel 7
Finn den generelle løsningen av differensialligningen \(y = \ venstre ({2{y^4} + 2x} \høyre)y’.\)
Eksempel 1.
Løs ligningen \(y ‘ – y-x{e^x} \) \ (=0.\ )
Løsning.
vi omskriver denne ligningen i standardform:
\
vi vil løse denne ligningen ved hjelp av integrasjonsfaktoren
\
da er den generelle løsningen av den lineære ligningen gitt ved
\
Eksempel 2.
Løs differensialligningen \(xy ‘ = y + 2{x^3}.\ )
Løsning.
vi løser dette problemet ved å bruke metoden for variasjon av en konstant. Først finner vi den generelle løsningen av den homogene ligningen:
\
som kan løses ved å skille variablene:
\
hvor \(C\) er et positivt reelt tall.
nå erstatter vi \(C\) med en viss (fortsatt ukjent) funksjon \(C \ left (x \ right)\) og vil finne en løsning av den opprinnelige ikke-homogene ligningen i form:
\
da er derivatet gitt av
\^ \ prime } }={ C ‘ \left (x \right)x + C \ left (x \right).}\]
Å Erstatte dette i ligningen gir:
\ }={ C \ venstre (x \ høyre)x + 2{x^3},\;\;}}\Rightarrow
{{C’\venstre( x \høyre){x^2} + \avbryt{C\venstre (x \ høyre) x} } = {\avbryt{C \ venstre (x \høyre)x} + 2{x^3},\;\;}}\Rightarrow
{C’ \ venstre (x \høyre) = 2x.}
\]
ved integrasjon finner vi funksjonen \({C \ left (x \ right)}:\)
\
hvor \ ({c_1}\) er et vilkårlig reelt tall.
således er den generelle løsningen av den gitte ligningen skrevet i form
\