mind-bendy weirdness av tallet null, forklart

datamaskinen du leser denne artikkelen på akkurat nå kjører på en binær — strenger av nuller og de. Uten null ville moderne elektronikk ikke eksistere. Uten null er det ingen kalkulator, noe som betyr ingen moderne engineering eller automatisering. Uten null faller mye av vår moderne verden bokstavelig talt fra hverandre.

Menneskehetens oppdagelse av null var » en total game changer … det tilsvarer det amerikanske språket», sier Andreas Nieder, en kognitiv forsker ved Universitetet I Tü I Tyskland.

men for det store flertallet av vår historie forstod mennesker ikke tallet null. Det er ikke medfødt i oss. Vi måtte oppfinne det. Vi må lære det videre til neste generasjon.

Andre dyr, som aper, har utviklet seg til å forstå det rudimentære konseptet om ingenting. Og forskere rapporterte bare at selv små bierhjerner kan beregne null. Men det er bare mennesker som har beslaglagt zero og smidd det til et verktøy.

så la oss ikke ta null for gitt. Ingenting er fascinerende. Her er hvorfor.

hva er null, uansett?

Getty Images

vår forståelse av null er dyp når du vurderer dette faktum: Vi møter ikke ofte, eller kanskje noen gang, null i naturen.

Tall som en, to og tre har en motpart. Vi kan se en lys flash på. Vi kan høre to pip fra et bilhorn. Men null? Det krever at vi innser at fraværet av noe er en ting i seg selv.

«Null er i sinnet, men ikke i den sensoriske verden,» Sier Robert Kaplan, En Harvard matteprofessor og forfatter av en bok om null. Selv i de tomme delene av rommet, hvis du kan se stjerner, betyr det at du blir badet i deres elektromagnetiske stråling. I den mørkeste tomhet er det alltid noe. Kanskje en sann null-som betyr absolutt ingenting – kan ha eksistert i tiden før Big Bang. Men vi kan aldri vite.

likevel trenger null ikke å eksistere for å være nyttig. Faktisk kan vi bruke begrepet null til å utlede alle de andre tallene i universet.

Kaplan gikk meg gjennom en tankeøvelse som først ble beskrevet av matematikeren John von Neumann. Det er utrolig enkelt.

Tenk deg en boks med ingenting i den. Matematikere kaller denne tomme boksen » det tomme settet.»Det er en fysisk representasjon av null. Hva er inni den tomme boksen? Ingenting.

ta nå en annen tom boks, og legg den i den første.

Hvor mange ting er i den første boksen nå?

det er ett objekt i det. Sett deretter en annen tom boks inne i de to første. Hvor mange objekter inneholder den nå? To. Og det er slik «vi får alle telletallene fra null … fra ingenting,» Sier Kaplan. Dette er grunnlaget for vårt nummersystem. Null er en abstraksjon og en realitet på samme tid. «Det er ingenting som er,» som Kaplan sa. (På dette punktet i historien vil du kanskje ta en annen hit på din bong.)

han satte det i mer poetiske termer. «Null står som den fjerne horisonten vinker oss på måten horisonter gjør i malerier,» sier han. «Det forener hele bildet. Hvis du ser på null ser du ingenting. Men hvis du ser gjennom det, ser du verden. Det er horisonten.»

Når vi hadde null, har vi negative tall. Null hjelper oss å forstå at vi kan bruke matte til å tenke på ting som ikke har noen motstykke i en fysisk levd opplevelse; imaginære tall eksisterer ikke, men er avgjørende for å forstå elektriske systemer. Null hjelper oss også å forstå sin antitese, uendelig, i all sin ekstreme rarhet. (Visste du at en uendelig kan være større enn en annen?)

hvorfor null er så jævla nyttig i matte

Nulls innflytelse på vår matematikk i dag er todelt. One: Det er et viktig plassholdersiffer i vårt nummersystem. To: det er et nyttig tall i seg selv.

den første bruken av null i menneskets historie kan spores tilbake til rundt 5000 år siden, til det gamle Mesopotamia. Der ble det brukt til å representere fraværet av et siffer i en streng med tall.

her Er et eksempel på hva jeg mener: Tenk på tallet 103. Null i dette tilfellet står for » det er ingenting i tens-kolonnen.»Det er en plassholder som hjelper oss å forstå at dette tallet er ett hundre og tre og ikke 13.

Ok, du tenker kanskje, » dette er grunnleggende .»Men de gamle Romerne visste ikke dette. Husker Du Hvordan Romerne skrev ut sine tall? 103 I Romertall ER CIII. Tallet 99 ER XCIX. du prøver å legge TIL CIII + XCIX. det er absurd. Plassholder notasjon er det som tillater oss å enkelt legge til, trekke fra, og ellers manipulere tall. Plassholder notasjon er det som tillater oss å trene kompliserte matematiske problemer på et ark.

hvis null bare hadde vært et plassholdersiffer, ville det vært et dypt verktøy i seg selv. Men for rundt 1500 år siden (eller kanskje enda tidligere), i India, ble null sitt eget nummer, noe som ikke betyr noe. De gamle Mayaene, I Mellom-Amerika, utviklet også uavhengig null i deres talesystem rundt begynnelsen av den felles æra.

I det syvende århundre, Den Indiske matematikeren Brahmagupta skrev ned hva som er anerkjent som den første skriftlige beskrivelse av aritmetikk av null:

når null legges til et tall eller trekkes fra et tall, forblir tallet uendret; og et tall multiplisert med null blir null.

Null spredte seg sakte over Midtøsten før De nådde Europa, og sinnet til matematikeren Fibonacci på 1200-tallet, som populariserte det» arabiske » tallsystemet vi alle bruker i dag.

Derfra eksploderte nytten av null. Tenk på en graf som plotter en matematisk funksjon som starter ved 0,0. Denne nå allestedsnærværende metoden for grafikk ble først oppfunnet i det 17. århundre etter at null spredte Seg Til Europa. Det århundret så også et helt nytt felt av matematikk som avhenger av null: kalkulator.

du kan huske fra videregående eller høyskolematikk at den enkleste funksjonen i kalkulus tar et derivat. Et derivat er bare skråningen av en linje som krysser med et enkelt punkt på en graf.

for å beregne hellingen til et enkelt punkt, trenger du vanligvis et sammenligningspunkt: rise over run. Hva Isaac Newton og Gottfried Leibniz oppdaget da De oppfant kalkulus er at beregning av den skråningen på et enkelt punkt innebærer å komme enda nærmere, nærmere og nærmere – men aldri faktisk-dividere med null.

«Alle uendelige prosesser svinger rundt, danser rundt, begrepet null,» Sier Robert Kaplan. Whoa.

hvorfor er null så dyp som en menneskelig ide?

Vi er ikke født med en forståelse av null. Vi må lære det, og det tar tid.

Elizabeth Brannon er en hjerneforsker Ved Duke University som studerer hvordan både mennesker og dyr representerer tall i deres sinn. Hun forklarer at selv når barn yngre enn 6 forstår at ordet «null» betyr «ingenting», har de fortsatt det vanskelig å forstå den underliggende matematikken. «Når du spør hvilket tall som er mindre, null eller en, tenker de ofte på en som det minste tallet,» Sier Brannon. «Det er vanskelig å lære at null er mindre enn en.»

I eksperimenter vil Brannon ofte spille et spill med 4-åringer. Hun legger ut et par kort på et bord eller en skjerm. Og hvert kort vil ha en rekke objekter på den. Ett kort vil ha to prikker, for eksempel. En annen vil ha tre. Her er et eksempel på hva de kan se.

Trender I Kognitiv Vitenskap

Hun vil bare be barna om å velge kortet med færrest antall objekter. Når et kort med ingenting på det er parret med et kort med ett objekt på det, vil mindre enn halvparten av barna få svaret riktig.

Trender I Kognitiv Vitenskap

Så hva skjer for å få alt til å klikke?

Andreas Nieder, den kognitive forskeren Fra Tyskland, hypoteser at det er fire psykologiske trinn for å forstå null, og hvert trinn er mer kognitivt komplisert enn det før det.

mange dyr kan komme gjennom de tre første trinnene. Men den siste fasen, den vanskeligste, er «reservert for oss mennesker,» Sier Nieder.

den første er en bare å ha den enkle sensoriske opplevelsen av stimulus som går av og på. Dette er den enkle evnen til å legge merke til et lys flimrende på og av. Eller en lyd som slår på og av.

den andre er atferdsforståelse. På dette stadiet kan ikke bare dyr gjenkjenne mangel på stimulans, de kan reagere på det. Når en person har gått tom for mat, vet de å gå og finne mer.

det tredje trinnet er å gjenkjenne at null, eller en tom beholder, er en verdi mindre enn en. Dette er vanskelig, selv om et overraskende antall dyr, inkludert honningbier og aper, kan gjenkjenne dette faktum. Det er forståelse «at ingenting har en kvantitativ kategori,» Sier Nieder.

det fjerde stadiet tar fravær av en stimulans og behandler som det som et symbol og et logisk verktøy for å løse problemer. Ingen dyr utenfor mennesker, sier han,» uansett hvor smart, » forstår at null kan være et symbol.

Men selv velutdannede mennesker kan fortsatt snuble litt når de tenker på null. Studier har vist at voksne tar litt lenger tid å gjenkjenne tallet null sammenlignet med andre tall. Og Når Brannons pick-the-lowest-number-card-eksperiment gjentas med voksne, tar De litt lengre tid når de bestemmer mellom null og en, enn når man sammenligner null til et større tall.

det antyder at null, selv for voksne, tar en ekstra innsats av hjernekraft til å behandle.

Hva annet kan ikke forstå noe?

Getty Images/EyeEm

Vi kan ikke bli født med evnen til å forstå null. Men vår evne til å lære det kan ha dype evolusjonære røtter, som noen ny vitenskap viser oss.

det fjerde trinnet i å tenke på null – som tenker på null som et symbol-kan være unikt for mennesker. Men et overraskende antall dyr kan komme til trinn tre: å erkjenne at null er mindre enn en.

selv bier kan gjøre det.

Scarlett Howard, Doktorgradsstudent Ved Royal Melbourne Institute of Technology, publiserte nylig et eksperiment i Vitenskap som er nesten identisk Med Det Brannon gjorde med barn. Biene valgte den tomme siden 60 til 70 prosent av tiden. Og de var betydelig bedre til å diskriminere et stort antall, som seks, fra null, enn de var i å diskriminere en fra null. Akkurat som barna.

dette er imponerende, med tanke på at «vi har denne store pattedyrhjernen, men bier har en hjerne som er så liten veier mindre enn et milligram,» Sier Howard. Hennes forskergruppe håper å forstå hvordan bier gjør disse beregningene i deres sinn, med målet om en dag å bruke disse innsiktene til å bygge mer effektive datamaskiner.

i lignende eksperimenter har forskere vist at aper kan gjenkjenne det tomme settet (og er ofte bedre på det enn 4 år gamle mennesker). Men det faktum at bier kan gjøre det er litt fantastisk, vurderer hvor langt de er borte fra oss på livets evolusjonære trær. «Den siste felles forfader mellom oss og biene levde for 600 millioner år siden, noe Som er en evighet i evolusjonære tider,» Sier Nieder.

vi mennesker har kanskje bare kommet for å forstå null som et tall for 1500 år siden. Hva forsøkene på bier og aper viser oss er at det ikke bare er arbeidet med vår oppfinnsomhet. Det er også kanskje det kulminerende arbeidet med evolusjonen.

det er fortsatt store mysterier om null. For En Sier Nieder «vi vet nesten ingenting» om hvordan hjernen fysisk behandler den. Og vi vet ikke hvor mange dyr som kan forstå ideen om ingenting som en mengde.

men hva matematikk har tydelig vist oss er at når vi undersøker ingenting, er vi nødt til å finne noe.