ved beregning av termisk ekspansjon er det nødvendig å vurdere om kroppen er fri til å utvide eller er begrenset. Hvis kroppen er fri til å ekspandere, kan ekspansjonen eller belastningen som følge av en økning i temperaturen enkelt beregnes ved å bruke den aktuelle Termiske Ekspansjonskoeffisienten.
hvis kroppen er begrenset slik at den ikke kan ekspandere, vil intern stress bli forårsaket (eller endret) av en temperaturendring. Dette stresset kan beregnes ved å vurdere belastningen som ville oppstå hvis kroppen var fri til å utvide og stresset som kreves for å redusere den belastningen til null, gjennom stress / belastningsforholdet preget av elastikken eller Youngs modul. I det spesielle tilfellet av faste materialer påvirker eksternt omgivelsestrykk vanligvis ikke størrelsen på et objekt, og det er vanligvis ikke nødvendig å vurdere effekten av trykkendringer.
Vanlige tekniske faste stoffer har vanligvis koeffisienter for termisk ekspansjon som ikke varierer betydelig over temperaturområdet der de er utformet for å brukes, så hvor ekstremt høy nøyaktighet ikke er nødvendig, kan praktiske beregninger baseres på en konstant, gjennomsnittlig verdi av ekspansjonskoeffisienten.
Lineær utvidelserediger
Lineær ekspansjon betyr endring i en dimensjon (lengde) i motsetning til endring i volum (volumetrisk ekspansjon).Til en første tilnærming er endringen i lengdemålinger av et objekt på grunn av termisk ekspansjon relatert til temperaturendring med en koeffisient av lineær termisk ekspansjon (CLTE). Det er den brøkdelte endringen i lengde per grad av temperaturendring. Forutsatt ubetydelig effekt av trykk, kan vi skrive:
α l = 1 l {\displaystyle \ alpha _{L}={\frac {1}{L}}\, {\frac {dL}{dT}}}
hvor l {\displaystyle l}
er en bestemt lengdemåling og d l / d t {\displaystyle dl / dT}
er endringshastigheten for den lineære dimensjonen per enhet endring i temperatur.
endringen i den lineære dimensjonen kan estimeres til å være:
Δ L l = α L Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta L}{L}}= \ alpha _{L} \ Delta t}
dette estimatet fungerer bra så lenge den lineære ekspansjonskoeffisienten ikke endres mye over endringen i temperatur Δ t {\displaystyle \ Delta T}
, og brøk endring i lengde er liten Δ l / L ≪ 1 {\displaystyle \ Delta L / l \ ll 1}
. Hvis en av disse betingelsene ikke holder, må den nøyaktige differensialligningen (ved hjelp av d l / d t {\displaystyle dl/dT}
) integreres.
effekter på belastningrediger
for faste materialer med en betydelig lengde, som stenger eller kabler, kan et estimat av mengden termisk ekspansjon beskrives ved materialbelastningen, gitt ved ϵ t h e r m a l {\displaystyle \ epsilon _{\mathrm {thermal} }}
og definert som: ϵ t h e r m a l = ( l i n a l − l i n i t i a l ) L i n i t i l {\displaystyle \ epsilon _{\mathrm {thermal} } ={\frac {(l_{\mathrm {final} } – l_ {\mathrm {initial} })}{l_{\mathrm {initial}}} }}}}
hvor L i n i t i a l {\displaystyle l_ {\mathrm {initial} }}
er lengden før temperaturendringen og l f i n a l {\displaystyle l_ {\mathrm {final} }}
er lengden etter endring av temperatur.
for de fleste faste stoffer er termisk ekspansjon proporsjonal med temperaturendringen:
ϵ t h e r m a l ∝ δ T {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {thermal} }\propto \delta t}
dermed kan endringen i enten belastningen eller temperaturen estimeres av:
ϵ t h e r m a l = α T {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {thermal} }=\alpha _{l}\Delta t}
hvor
Δ T = ( T f i n a l − t i n i t i a l ) {\displaystyle \delta t=(t_{\Mathrm {final} }-t_{\mathrm {initial} })}
er forskjellen på temperaturen mellom de to registrerte stammene, målt i grader Fahrenheit, grader Rankine, Grader Celsius eller kelvin, og α l {\displaystyle \ alpha _{L}}
er den lineære koeffisienten for termisk ekspansjon i «per grad Fahrenheit», «Per grad Rankine», «Per Grad Celsius» eller «per kelvin», betegnet med henholdsvis °F−1, R−1, °C−1 eller K−1. Innen kontinuumsmekanikk behandles termisk ekspansjon og dens effekter som egenstress og egenstress.
Arealutvidelserediger
arealets termiske ekspansjonskoeffisient relaterer endringen i et materials arealdimensjoner til en temperaturendring. Det er den brøkdelte endringen i området per grad av temperaturendring. Ignorerer press, kan vi skrive:
α A = 1 A d a d {\displaystyle \ alpha _{a}={\frac {1}{a}}\,{\frac {dA}{dT}}}
hvor a {\displaystyle a}}
er noe område av interesse for objektet, og d a / d t {\displaystyle dA / dT}
er endringshastigheten for dette området per enhet endring i temperatur.
endringen i området kan estimeres som:
Δ A a = α A Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta A}{a}}= \ alpha _{a} \ Delta t}
denne ligningen fungerer bra så lenge områdeutvidelseskoeffisienten ikke endres mye over endringen i temperatur Δ t {\displaystyle \ Delta T}
, og brøkendringen i området er liten Δ A / A ≪ 1 {\displaystyle \ Delta A/a\ll 1}
. Hvis en av disse betingelsene ikke holder, må ligningen integreres.
volumutvidelserediger
for et fast stoff kan vi ignorere effekten av trykk på materialet, og den volumetriske termiske ekspansjonskoeffisienten kan skrives:
α V = 1 v d V d t {\displaystyle \alpha _{V}={\frac {1}{V}}\,{\frac {dV}{dT}}}
hvor v {\displaystyle v}}
er volumet av materialet, og d V / d t {\displaystyle dv/dT}
er endringshastigheten for det volumet med temperatur.
Dette betyr at volumet av et materiale endres med noe fast brøkbeløp. For eksempel kan en stålblokk med et volum på 1 kubikkmeter utvide til 1,002 kubikkmeter når temperaturen økes med 50 K. Dette er en utvidelse på 0,2%. Hvis vi hadde en blokk av stål med et volum på 2 kubikkmeter, så under de samme forholdene, ville det ekspandere til 2.004 kubikkmeter, igjen en utvidelse på 0,2%. Den volumetriske ekspansjonskoeffisienten vil være 0,2% for 50 K, eller 0,004% K−1.
hvis vi allerede kjenner ekspansjonskoeffisienten, kan vi beregne volumendringen
Δ V v = α V=Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}} = \alpha _{v}\Delta T}
Der Δ V / V {\displaystyle \delta v/v}
er brøkendringen i volum (f. eks. 0,002) og Δ T {\displaystyle \ Delta T}
er temperaturendringen (50 °C).
eksemplet ovenfor antar at ekspansjonskoeffisienten ikke endret seg da temperaturen endret seg og volumøkningen er liten i forhold til det opprinnelige volumet. Dette er ikke alltid sant, men for små temperaturendringer er det en god tilnærming. Hvis den volumetriske ekspansjonskoeffisienten endres vesentlig med temperatur, eller volumøkningen er signifikant, må ovennevnte ligning integreres:
ln ( V + Δ V-V ) = ∫ T T f α) V ( T ) d T {\displaystyle \ln \left({\frac {V+\Delta V}{V}}\right)=\int _{T_{i}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,dT}
Δ V V = exp ( ∫ T T f α) V ( T ) d T ) − 1 {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\exp \left(\int _{T_{i}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,dT\rett)-1}
der α V ( T ) {\displaystyle \alpha _{V}(T)}
er den volumetriske ekspansjonskoeffisienten som en funksjon av temperatur T, og t i {\displaystyle t_{i}}
, T f {\displaystyle t_{f}}
er henholdsvis de innledende og endelige temperaturene.
Isotropiske materialerrediger
for isotropiske materialer er den volumetriske termiske ekspansjonskoeffisienten tre ganger den lineære koeffisienten:
α V = 3 α l {\displaystyle \alpha _{V}=3\alpha _{L}}
dette forholdet oppstår fordi volumet består av tre gjensidig ortogonale veibeskrivelse. Således, i et isotrop materiale, for små differensialendringer, er en tredjedel av den volumetriske ekspansjonen i en enkelt akse. Som et eksempel, ta en kube av stål som har sider av lengde L. Den opprinnelige volumet V = L 3 {\displaystyle V=L^{3}}
og det nye volumet, etter en temperatur økning, vil være V + Δ) V = ( L + Δ L ) 3 = L 3 + 3 L 2 Δ L + 3 Δ L L 2 + Δ L 3 ≈ L 3 + 3 L 2 Δ L = V + 3 V Δ L L . {\displaystyle V+\Delta V=(L+ \ Delta L)^{3}=L^{3} + 3l^{2}\Delta L+3L\Delta L^{2} + \Delta l^{3}\ca L^{3} + 3L^{2} \ Delta L=V+3V {\Delta l \ over l}.}
vi kan lett ignorere vilkårene som endring I L er en liten mengde som på kvadrering blir mye mindre.
Så
Δ V V = 3 Hryvnias L l = 3 α L Δ {\displaystyle {\Frac {\Delta V}{V}} = 3 {\Delta l \ over l} = 3 \ alfa _ {L}\Delta T.}
ovennevnte tilnærming gjelder for små temperatur-og dimensjonsendringer (det vil si Når Δ t {\displaystyle \ Delta T}
Og Δ l {\displaystyle \Delta L}
er små); men det holder ikke hvis vi prøver å gå frem og tilbake mellom volumetriske og lineære koeffisienter ved å bruke større verdier Av Δ T {\displaystyle \ Delta T}
. I dette tilfellet må det tredje begrepet (og noen ganger til og med fjerde sikt) i uttrykket ovenfor tas i betraktning.
tilsvarende er områdets termiske ekspansjonskoeffisient to ganger den lineære koeffisienten:
α A = 2 α l {\displaystyle \alpha _{a}=2\alpha _{L}}
dette forholdet kan bli funnet på en måte som ligner det i det lineære eksemplet ovenfor, og bemerker at arealet av et ansikt på kuben bare Er L 2 {\displaystyle l^{2}}
. De samme hensyn må også tas når det gjelder store verdier Av Δ T {\displaystyle \Delta T}
.
Enkelt sagt, hvis lengden på et fast stoff utvides fra 1 m til 1,01 m, utvides området fra 1 m2 til 1,0201 m2 og volumet utvides fra 1 m3 til 1,030301 m3.
Anisotrope materialerrediger
Materialer med anisotrope strukturer, slik som krystaller (med mindre enn kubisk symmetri, for eksempel martensitiske faser) og mange kompositter, vil generelt ha forskjellige lineære ekspansjonskoeffisienter α l {\displaystyle \ alpha _{L}}
i forskjellige retninger. Som et resultat fordeles den totale volumetriske ekspansjonen ulikt mellom de tre aksene. Hvis krystallsymmetrien er monoklinisk eller triclinisk, er selv vinklene mellom disse aksene utsatt for termiske endringer. I slike tilfeller er det nødvendig å behandle termisk ekspansjonskoeffisient som en tensor med opptil seks uavhengige elementer. En god måte å bestemme elementene i tensoren på er å studere utvidelsen ved røntgendiffraksjonspulveret. Den termiske ekspansjonskoeffisienten tensor for materialene som har kubisk symmetri (for eksempel FCC, BCC) er isotrop.