de mind-buigende vreemdheid van het getal nul, uitgelegd

de computer waarop u dit artikel nu leest, draait op een binaire — strings van nullen en enen. Zonder nul zou moderne elektronica niet bestaan. Zonder nul is er geen calculus, wat geen moderne techniek of automatisering betekent. Zonder nul valt veel van onze moderne wereld letterlijk uit elkaar. De ontdekking van zero door de mensheid was “een totale game changer … equivalent aan het leren van taal in de VS”, zegt Andreas Nieder, een cognitief wetenschapper aan de Universiteit van Tübingen in Duitsland.

maar voor het overgrote deel van onze geschiedenis begrepen de mensen het getal nul niet. Het is niet aangeboren in ons. We moesten het uitvinden. En we moeten het blijven onderwijzen aan de volgende generatie. Andere dieren, zoals apen, hebben zich ontwikkeld om het rudimentaire concept van niets te begrijpen. Wetenschappers meldden net dat zelfs kleine bijenhersenen nul kunnen berekenen. Maar het zijn alleen mensen die zero in beslag hebben genomen en het tot gereedschap hebben gesmeed.

dus laten we nul niet als vanzelfsprekend beschouwen. Niets is fascinerend. Dit is waarom.

Wat is eigenlijk nul?

Getty Images

ons begrip van nul is diepgaand als je dit feit in ogenschouw neemt: We komen niet vaak, of misschien ooit, nul in de natuur tegen.

getallen zoals één, twee en drie hebben een tegenhanger. We zien één lampje branden. We horen twee piepjes van een autotoeter. Maar nul? Het vereist dat we erkennen dat de afwezigheid van iets een ding is in en van zichzelf.”Zero is in the mind, but not in the sensory world,” zegt Robert Kaplan, hoogleraar wiskunde aan Harvard en auteur van een boek over zero. Zelfs in de lege ruimte, als je sterren kunt zien, betekent dat dat je baadt in hun elektromagnetische straling. In de donkerste leegte is er altijd iets. Misschien bestaat er in de tijd voor de oerknal een ware nul — wat absoluut niets betekent—. Maar we kunnen het nooit weten.

niettemin hoeft nul niet te bestaan om bruikbaar te zijn. In feite kunnen we het concept van nul gebruiken om alle andere getallen in het universum af te leiden.

Kaplan leidde me door een gedachteoefening die voor het eerst werd beschreven door de wiskundige John von Neumann. Het is bedrieglijk eenvoudig.

stel je een doos voor met niets erin. Wiskundigen noemen deze lege doos ” de lege verzameling.”Het is een fysieke representatie van nul. Wat zit er in de lege doos? Niets.

neem nu nog een leeg vakje en plaats het in het eerste vakje.

hoeveel dingen staan er nu in het eerste kader?

er zit één object in. Zet dan nog een lege doos in de eerste twee. Hoeveel objecten bevat het nu? Twee. En dat is hoe “we alle telnummers afleiden uit nul … uit niets”, zegt Kaplan. Dit is de basis van ons nummersysteem. Nul is een abstractie en een realiteit tegelijk. “Het is het niets dat is,” zoals Kaplan zei. (Op dit punt in het verhaal, wil je misschien nog een klap op je bong.)

hij zette het vervolgens in meer poëtische termen. “Zero staat als de verre horizon wenkt ons op de manier waarop horizons doen in schilderijen,” zegt hij. “Het verenigt het hele plaatje. Als je naar nul kijkt zie je niets. Maar als je er doorheen kijkt, zie je de wereld. Het is de horizon.”

zodra we nul hadden, hebben we negatieve getallen. Nul helpt ons te begrijpen dat we wiskunde kunnen gebruiken om na te denken over dingen die geen tegenhanger hebben in een fysiek geleefde ervaring; denkbeeldige getallen bestaan niet, maar zijn cruciaal voor het begrijpen van elektrische systemen. Zero helpt ons ook zijn antithese te begrijpen, oneindigheid, in al zijn extreme vreemdheid. (Wist je dat de ene oneindigheid groter kan zijn dan de andere?)

waarom nul zo verdomd nuttig is in wiskunde

de invloed van nul op onze wiskunde is vandaag de dag tweevoudig. Eén: het is een belangrijk cijfer in ons nummersysteem. Twee: het is een nuttig getal op zich.

het eerste gebruik van nul in de menselijke geschiedenis kan worden teruggevoerd tot ongeveer 5.000 jaar geleden, tot het oude Mesopotamië. Daar werd het gebruikt om de afwezigheid van een cijfer in een reeks getallen weer te geven.

hier is een voorbeeld van wat ik bedoel: denk aan het getal 103. De nul staat in dit geval voor ” er staat niets in de kolom tienen.”Het is een tijdelijke aanduiding, die ons helpt te begrijpen dat dit getal honderd drie is en niet 13.

ok, je zou kunnen denken, ” Dit is basic.”Maar de oude Romeinen wisten dit niet. Weet je nog hoe Romeinen hun nummers schreven? 103 in Romeinse cijfers is CIII. Het getal 99 is XCIX. je probeert CIII + XCIX toe te voegen. Het is absurd. Placeholder notatie is wat ons in staat stelt om eenvoudig getallen toe te voegen, af te trekken en anderszins te manipuleren. Placeholder notatie is wat ons in staat stelt om ingewikkelde wiskundige problemen op een vel papier uit te werken.

als nul gewoon een plaatshouder was gebleven, zou het op zich een diepgaand hulpmiddel zijn geweest. Maar zo ‘ n 1500 jaar geleden (of misschien zelfs eerder) werd in India nul zijn eigen getal, wat niets betekende. De oude Maya ‘ s in Midden-Amerika ontwikkelden ook onafhankelijk nul in hun getallenstelsel rond de dageraad van de gemeenschappelijke era.

In de zevende eeuw schreef de Indiase wiskundige Brahmagupta wat wordt erkend als de eerste schriftelijke beschrijving van de rekenkunde van nul:

wanneer nul aan een getal wordt toegevoegd of van een getal wordt afgetrokken, blijft het getal onveranderd; en een getal vermenigvuldigd met nul wordt nul.Zero verspreidde zich langzaam over het Midden-Oosten voordat hij Europa bereikte, en de geest van de wiskundige Fibonacci in de jaren 1200, die het “Arabische” cijfersysteem populariseerde dat we vandaag de dag allemaal gebruiken.

vanaf daar ontplofte het nut van zero. Denk aan een grafiek die een wiskundige functie vanaf 0,0 plots. Deze nu alomtegenwoordige methode van grafieken werd pas voor het eerst uitgevonden in de 17e eeuw nadat zero zich verspreidde naar Europa. Die eeuw zag ook een heel nieuw gebied van de wiskunde dat afhangt van nul: calculus.

u herinnert zich misschien dat de eenvoudigste functie in de calculus het nemen van een afgeleide is. Een afgeleide is gewoon de helling van een lijn die snijdt met een enkel punt op een grafiek.

om de helling van een enkel punt te berekenen, hebt u meestal een vergelijkingspunt nodig: stijging over run. Wat Isaac Newton en Gottfried Leibniz ontdekten toen ze calculus uitvonden, is dat het berekenen van die helling op een enkel punt betekent dat je nog dichter, dichter en dichter komt — maar nooit echt — deelt door nul.”Alle oneindige processen draaien rond, dansen rond, de notie van nul,” zegt Robert Kaplan. Whoa.

Waarom is nul zo diepgaand als een menselijk idee?

we zijn niet geboren met een begrip van nul. We moeten het leren, en het kost tijd. Elizabeth Brannon is een neurowetenschapper aan de Duke University die onderzoekt hoe zowel mensen als dieren getallen vertegenwoordigen in hun geest. Ze legt uit dat zelfs als kinderen jonger dan 6 jaar begrijpen dat het woord “nul” betekent “niets”, ze nog steeds een harde tijd begrijpen van de onderliggende wiskunde. “Als je vraagt welk getal kleiner is, nul of één, zien ze er vaak één als het kleinste getal”, zegt Brannon. “Het is moeilijk te leren dat nul kleiner is dan één.”

in experimenten zal Brannon vaak een spel spelen met 4-jarigen. Ze legt een paar kaarten op een tafel of scherm. En elke kaart zal een aantal objecten op het hebben. Een kaart heeft bijvoorbeeld twee stippen. Een ander heeft er drie. Hier is een voorbeeld van wat ze zouden kunnen zien.

Trends in Cognitive Science

ze zal de kinderen gewoon vragen om de kaart te kiezen met het minste aantal objecten. Wanneer een kaart met niets op het is gekoppeld met een kaart met een object op het, minder dan de helft van de kinderen zal het antwoord goed te krijgen.

Trends in de cognitieve wetenschap

dus wat gebeurt er om het allemaal te laten klikken? Andreas Nieder, de cognitieve wetenschapper uit Duitsland, stelt dat er vier psychologische stappen zijn om nul te begrijpen, en elke stap is cognitiever gecompliceerd dan de voorgaande.

veel dieren kunnen door de eerste drie stappen. Maar de laatste fase, de moeilijkste, is “gereserveerd voor ons mensen”, zegt Nieder.

de eerste is een eenvoudige zintuiglijke ervaring van stimulus die aan en uit gaat. Dit is de eenvoudige mogelijkheid om een licht te zien flikkeren aan en uit. Of een geluid dat aan en uit gaat.

de tweede is gedragsbegrip. In dit stadium kunnen dieren niet alleen een gebrek aan stimulus herkennen, ze kunnen er ook op reageren. Als iemand geen voedsel meer heeft, weten ze meer te vinden.

in de derde fase wordt erkend dat nul, of een lege container, een waarde kleiner is dan één. Dit is lastig, hoewel een verrassend aantal dieren, waaronder honingbijen en apen, dit feit kunnen herkennen. Het is begrijpen “dat niets een kwantitatieve categorie heeft”, zegt Nieder.

de vierde fase is het nemen van de afwezigheid van een stimulus en het behandelen als een symbool en een logisch instrument om problemen op te lossen. Geen enkel dier buiten de mens, zegt hij, “het maakt niet uit hoe slim,” begrijpt dat nul een symbool kan zijn.

maar zelfs goed opgeleide mensen kunnen nog steeds een beetje struikelen als ze aan nul denken. Studies hebben aangetoond dat volwassenen een paar momenten langer duren om het getal nul te herkennen in vergelijking met andere cijfers. En wanneer Brannon ‘ s pick-the-lowest-number-card experiment wordt herhaald met volwassenen, duurt het iets langer bij het kiezen tussen nul en één, dan bij het vergelijken van nul met een groter getal.

dat suggereert dat nul, zelfs voor volwassenen, een extra inspanning van hersencapaciteit vergt om te verwerken.

wat kan er nog meer niets begrijpen?

Getty Images/EyeEm

we zijn misschien niet geboren met het vermogen om nul te begrijpen. Maar ons vermogen om het te leren kan diepe evolutionaire wortels hebben, zoals sommige nieuwe wetenschap ons laat zien.

de vierde stap in het denken aan nul — dat is het denken aan nul als symbool-kan uniek zijn voor mensen. Maar een verrassend aantal dieren kan stap drie bereiken: erkennen dat nul kleiner is dan één.

zelfs bijen kunnen het. Scarlett Howard, een promovendus aan het Royal Melbourne Institute of Technology, publiceerde onlangs een experiment in de wetenschap dat bijna identiek is aan wat Brannon deed met kinderen. De bijen kozen 60 tot 70 procent van de tijd voor de blanco pagina. Ze waren beduidend beter in het onderscheiden van een groot aantal, zoals zes, van nul, dan in het onderscheiden van één van nul. Net als de kinderen.

dit is indrukwekkend, gezien het feit dat “we hebben dit grote zoogdierbrein, maar bijen hebben een brein dat zo klein is weegt minder dan een milligram”, zegt Howard. Haar onderzoeksgroep hoopt te begrijpen hoe bijen deze berekeningen in hun hoofd doen, met als doel om die inzichten ooit te gebruiken om efficiëntere computers te bouwen.

in soortgelijke experimenten hebben onderzoekers aangetoond dat apen de lege verzameling kunnen herkennen (en er vaak beter in zijn dan 4-jarige mensen). Maar het feit dat bijen het kunnen is verbazingwekkend, gezien hoe ver ze van ons verwijderd zijn op de evolutionaire bomen van het leven. “De laatste gemeenschappelijke voorouder tussen ons en de bijen leefde ongeveer 600 miljoen jaar geleden, wat een eeuwigheid is in evolutionaire tijden”, zegt Nieder.

wij mensen begrijpen misschien pas 1500 jaar geleden nul. Wat de experimenten met bijen en apen ons laten zien is dat het niet alleen het werk is van onze vindingrijkheid. Het is misschien ook het hoogtepunt van de evolutie.

er zijn nog steeds grote mysteries over nul. Nieder zegt: “we weten nauwelijks iets” over hoe de hersenen het fysiek verwerken. En we weten niet hoeveel dieren het idee van niets als kwantiteit kunnen begrijpen.

maar wat wiskunde ons duidelijk heeft laten zien is dat wanneer we niets onderzoeken, we gebonden zijn om iets te vinden.

miljoenen keren naar Vox om te begrijpen wat er in het nieuws gebeurt. Onze missie is nog nooit zo belangrijk geweest als op dit moment: kracht geven door begrip. Financiële bijdragen van onze lezers zijn een cruciaal onderdeel van het ondersteunen van ons resource-intensieve werk en helpen ons om onze journalistiek vrij te houden voor iedereen. Help ons ons werk gratis te houden voor iedereen door het maken van een financiële bijdrage van zo weinig als $3.