Algemene observaties
waarschijnlijk de meest natuurlijke benadering van formele logica is door het idee van de geldigheid van een argument dat bekend staat als deductief. Een deductief argument kan ruwweg worden gekarakteriseerd als een argument waarin wordt beweerd dat een bepaalde stelling (de conclusie) strikt noodzakelijk volgt uit een andere stelling of stellingen (de premissen)—dat wil zeggen, dat het inconsistent of zelfinsprekend zou zijn om de premissen te beweren maar de conclusie te ontkennen.
wil een deductief argument erin slagen de waarheid van zijn conclusie vast te stellen, dan moet aan twee heel verschillende voorwaarden worden voldaan: ten eerste moet de conclusie werkelijk uit de premissen voortvloeien—dat wil zeggen dat de conclusie uit de premissen logisch correct moet worden afgeleid—en ten tweede moeten de premissen zelf waar zijn. Een argument dat aan beide voorwaarden voldoet wordt geluid genoemd. Van deze twee voorwaarden heeft de logicus als zodanig slechts betrekking op de eerste; de tweede, de vaststelling van de waarheid of de valsheid van de vooronderstellingen, is de taak van een speciale discipline of van gemeenschappelijke observatie passend bij het onderwerp van het argument. Wanneer de conclusie van een argument correct is af te leiden uit zijn premissen, wordt de gevolgtrekking van de premissen naar de conclusie gezegd dat (deductief) geldig is, ongeacht of de premissen waar of onwaar zijn. Andere manieren om het feit uit te drukken dat een gevolgtrekking deductief geldig is, zijn te zeggen dat de waarheid van de premissen een absolute garantie geeft (of zou geven) voor de waarheid van de conclusie of dat het een logische inconsistentie zou inhouden (in tegenstelling tot een loutere fout van de feiten) om te veronderstellen dat de premissen waar waren, maar de conclusie vals.
de deductieve gevolgtrekkingen waarop de formele logica betrekking heeft, zijn, zoals de naam al doet vermoeden, die waarvan de geldigheid niet afhangt van de kenmerken van hun onderwerp, maar van hun vorm of structuur. Dus, de twee gevolgtrekkingen (1) elke hond is een zoogdier. Sommige viervoeters zijn honden. ∴ Sommige viervoeters zijn zoogdieren. en (2) iedere anarchist gelooft in vrije liefde. Sommige leden van de regeringspartij zijn anarchisten. ∴ Sommige leden van de regeringspartij geloven in vrije liefde. verschillen in onderwerp en vereisen daarom verschillende procedures om de waarheid of valsheid van hun premissen te controleren. Maar hun geldigheid wordt gewaarborgd door wat ze gemeen hebben-namelijk dat het argument in elk van de vormen(3) Elke X is een Y. sommige Z ’s zijn X’ s. ∴ sommige Z ’s zijn Y’ s.
lijn (3) hierboven kan een inferentievorm worden genoemd, en (1) en (2) zijn dan instanties van die inferentievorm. De letters-X, Y en Z—in (3) markeren de plaatsen waar uitdrukkingen van een bepaald type kunnen worden ingevoegd. Voor dit doel gebruikte symbolen staan bekend als variabelen; hun gebruik is analoog aan dat van de x in de algebra, die de plaats aangeeft waar een cijfer kan worden ingevoegd. Een instantie van een inferentievorm wordt geproduceerd door alle variabelen daarin te vervangen door passende uitdrukkingen (d.w.z., degenen die zinvol zijn in de context) en door dit uniform te doen (d.w.z., door dezelfde uitdrukking te vervangen waar dezelfde variabele terugkeert). Het kenmerk van (3) dat garandeert dat elk exemplaar van het geldig zal zijn, is zijn constructie op een zodanige wijze dat elke uniforme manier om zijn variabelen te vervangen om de premissen waar te maken automatisch de conclusie ook waar maakt, of, met andere woorden, dat geen enkel exemplaar van het ware premissen kan hebben maar een valse conclusie. Op grond van deze functie, de vorm (3) wordt genoemd een geldige gevolgtrekking vorm. In tegenstelling, (4) Elke X is een Y. sommige Z ’s zijn Y’ s. ∴ sommige Z ’s zijn X’ s. is geen geldige gevolgtrekking vorm, want, hoewel instanties van het kan worden geproduceerd waarin premissen en conclusie zijn allemaal waar, instanties van het kan ook worden geproduceerd waarin de premissen zijn waar, maar de conclusie is vals—b.v., (5) elke hond is een zoogdier. Sommige gevleugelde wezens zijn zoogdieren. ∴ Sommige gevleugelde wezens zijn honden.
formele logica als studie houdt zich meer bezig met inferentievormen dan met specifieke gevallen ervan. Een van zijn taken is om onderscheid te maken tussen geldige en ongeldige inferentievormen en om de relaties die tussen geldige vormen bestaan te onderzoeken en te systematiseren.
nauw verwant aan het idee van een geldige inferentievorm is die van een geldige propositievorm. Een propositievorm is een uitdrukking waarvan de instanties (zoals voorheen geproduceerd door geschikte en uniforme vervangingen voor variabelen) geen gevolgtrekkingen zijn van verschillende proposities tot een conclusie, maar eerder individuele proposities, en een geldige propositievorm is er een waarvoor alle instanties echte proposities zijn. Een eenvoudig voorbeeld is (6) niets is zowel een X als een niet-X. formele logica houdt zich zowel bezig met propositievormen als met inferentievormen. De studie van propositievormen kan in feite worden gemaakt om die van inferentievormen op de volgende manier op te nemen: laat de vooronderstellingen van een gegeven inferentievorm (samen genomen) worden afgekort door Alfa (α) en zijn conclusie door bèta (β). Dan komt de hierboven genoemde voorwaarde voor de geldigheid van de inferentievorm “α, dus β” erop neer dat geen instantie van de propositie vorm “α en niet-β” waar is—dat wil zeggen dat elke instantie van de propositie vorm(7) niet zowel: α en niet-β waar is—of dat regel (7), volledig gespeld, natuurlijk een geldige propositie vorm is. De studie van propositievormen kan echter niet op dezelfde wijze worden ondergebracht bij de studie van gevolgvormen, en daarom is het om redenen van volledigheid gebruikelijk om de formele logica te beschouwen als de studie van propositievormen. Omdat de hantering van propositievormen door een logicus in veel opzichten analoog is aan de hantering van numerieke formules door een wiskundige, worden de systemen die hij construeert vaak calculi genoemd.
veel van het werk van een logicus verloopt op een abstracter niveau dan dat van de voorgaande discussie. Zelfs een formule zoals (3) hierboven, hoewel deze niet verwijst naar een specifiek onderwerp, bevat expressies zoals “elke” en “is a”, waarvan wordt gedacht dat ze een bepaalde betekenis hebben, en de variabelen zijn bedoeld om de plaatsen te markeren voor uitdrukkingen van een bepaalde soort (grofweg gewone zelfstandige naamwoorden of klassenamen). Het is echter mogelijk—en voor sommige doeleinden is het essentieel—om formules te bestuderen zonder zelfs deze mate van betekenis eraan te hechten. De bouw van een systeem van logica, in feite, omvat twee onderscheiden processen: de ene bestaat uit het opzetten van een symbolisch apparaat—een set van symbolen, regels om deze samen te voegen tot formules, en regels voor het manipuleren van deze formules; de tweede bestaat uit het hechten van bepaalde betekenissen aan deze symbolen en formules. Als alleen het eerste wordt gedaan, wordt gezegd dat het systeem ongeinterpreteerd is, of puur formeel; als het laatste ook wordt gedaan, wordt gezegd dat het systeem wordt geïnterpreteerd. Dit onderscheid is belangrijk, omdat systemen van de logica blijken te hebben bepaalde eigenschappen geheel onafhankelijk van eventuele interpretaties die op hen kan worden geplaatst. Een axiomatisch systeem van logica kan als voorbeeld worden genomen-dat wil zeggen, een systeem waarin bepaalde niet bewezen formules, bekend als axioma ‘ s, als uitgangspunt worden genomen, en verdere formules (stellingen) worden bewezen op de sterkte van deze. Zoals later zal blijken (zie onder Axiomatisatie van PC), hangt de vraag of een reeks formules in een axiomatisch systeem al dan niet een bewijs is alleen af van welke formules als axioma ’s worden genomen en van wat de regels zijn voor het afleiden van stellingen uit axioma’ s, en helemaal niet van wat de stellingen of axioma ‘ s betekenen. Bovendien is een gegeven niet-geïnterpreteerd systeem in het algemeen in staat om op een aantal verschillende manieren even goed te worden geïnterpreteerd; vandaar dat men bij het bestuderen van een niet-geïnterpreteerd systeem de structuur bestudeert die gemeenschappelijk is voor een verscheidenheid van geïnterpreteerde systemen. Normaal gesproken heeft een logicus die een zuiver formeel systeem construeert wel een bepaalde interpretatie in gedachten, en zijn motief voor het construeren ervan is de overtuiging dat wanneer deze interpretatie wordt gegeven, de formules van het systeem in staat zullen zijn om ware principes uit te drukken op een bepaald gebied van denken.; maar onder andere om bovenstaande redenen zal hij er gewoonlijk voor zorgen om de formules en regels van het systeem te beschrijven zonder verwijzing naar interpretatie en om als een afzonderlijke zaak de interpretatie aan te geven die hij in gedachten heeft.
veel van de ideeën die in de uiteenzetting van de formele logica worden gebruikt, waaronder enkele die hierboven zijn genoemd, roepen problemen op die eerder tot de filosofie dan tot de logica zelf behoren. Voorbeelden zijn: Wat is de juiste analyse van het begrip waarheid? Wat is een propositie, en hoe is het gerelateerd aan de zin waarmee het wordt uitgedrukt? Zijn er bepaalde vormen van gezond redeneren die noch deductief noch inductief zijn? Gelukkig is het mogelijk om formele logica te leren doen zonder bevredigende antwoorden op dergelijke vragen, net zoals het mogelijk is om wiskunde te doen zonder vragen te beantwoorden die behoren tot de filosofie van de wiskunde, zoals: zijn getallen echte objecten of mentale constructies?