ao calcular a expansão térmica é necessário considerar se o corpo é livre para se expandir ou está restringido. Se o corpo estiver livre para se expandir, a expansão ou tensão resultante de um aumento de temperatura pode ser simplesmente calculada usando o coeficiente de Expansão Térmica aplicável.
se o corpo é restringido de modo que ele não pode expandir, então o estresse interno será causado (ou alterado) por uma mudança de temperatura. Esta tensão pode ser calculada considerando a tensão que ocorreria se o corpo estivesse livre para se expandir e a tensão necessária para reduzir essa tensão a zero, através da relação tensão/tensão caracterizada pelo módulo elástico ou jovem. No caso especial de materiais sólidos, a pressão exterior ambiente geralmente não afeta sensivelmente o tamanho de um objeto e por isso não é geralmente necessário considerar o efeito de mudanças de pressão.
Comuns de engenharia de sólidos, geralmente, têm coeficientes de expansão térmica que não variam significativamente ao longo do intervalo de temperaturas onde eles são projetados para ser usado, então, para onde extremamente alta precisão não é necessária, prática, os cálculos podem ser com base em uma constante, a média, o valor do coeficiente de expansão.
Linear expansionEdit
expansão Linear significa mudança numa dimensão (comprimento) em oposição à mudança no volume (expansão volumétrica).Para uma primeira aproximação, a mudança nas medições de comprimento de um objeto devido à expansão térmica está relacionada à mudança de temperatura por um coeficiente de expansão térmica linear (CLTE). É a variação fracional no comprimento por grau de mudança de temperatura. Assumindo um efeito negligenciável de pressão, podemos escrever:
α L = 1 L d L d T {\displaystyle \alpha _{L}={\frac {1}{L}}\,{\frac {dL}{dT}}}
onde L {\displaystyle L}
é um caso particular de medição de comprimento e d L / d T {\displaystyle dL/dT}
é a taxa de mudança de dimensão linear por unidade de mudança na temperatura.
pode estimar-se que a alteração da dimensão linear é:
∆ L = α L ∆ T {\displaystyle {\frac {\Delta L}{L}}=\alpha _{L}\Delta T}
Esta estimativa funciona bem enquanto o linear, coeficiente de expansão não muda muito com a mudança de temperatura ∆ T {\displaystyle \Delta T}
, e a variação relativa do comprimento é pequeno ∆ L / L ≪ 1 {\displaystyle \Delta L/L\ll 1}
. Se qualquer destas condições não se mantiver, deve ser integrada a equação diferencial exacta (utilizando D L / d t {\displaystyle dL/dT}
). Efeitos sobre os materiais sólidos com um comprimento significativo, como varetas ou cabos, uma estimativa da quantidade de expansão térmica pode ser descrita pela tensão do material, dada por:} }}
e definido como: ϵ t h e r m e l = ( L f i n a l L i n i t i a l ) L i n i t i a l {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {térmica} }={\frac {(L_{\mathrm {final} }-L_{\mathrm {inicial} })}{L_{\mathrm {inicial} }}}}
onde L i n i t i a l {\displaystyle L_{\mathrm {inicial} }}
é o comprimento antes da mudança de temperatura e L f i n a l {\displaystyle L_{\mathrm {final} }}
é o comprimento após a mudança de temperatura.
Para a maioria dos sólidos, a dilatação térmica é proporcional à mudança de temperatura:
ϵ t h e r m a l ∝ Δ T {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {térmica} }\propto \Delta T}
Assim, a alteração ou a pressão ou a temperatura pode ser estimada por:
ϵ t h e r m e l = α L ∆ T {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {térmica} }=\alpha _{L}\Delta T}
onde
∆ T = ( T f i n a l − T i n i t i a l ) {\displaystyle \Delta T=(T_{\mathrm {final} }-T_{\mathrm {inicial} })}
é a diferença de temperatura entre as duas gravado cepas, medido em graus Fahrenheit, graus Rankine, graus Celsius ou kelvin,e α L {\displaystyle \alpha _{L}}
é o coeficiente linear de expansão térmica em “por grau Fahrenheit”, “por grau Rankine”, “por grau Celsius”, ou “por kelvin”, denotado por °F−1, R−1, °C−1 ou K−1, respectivamente. No campo da mecânica contínua, a expansão térmica e seus efeitos são tratados como eigenstrain e eigenstress.
área expansionEdit
a área coeficiente de expansão térmica relaciona a mudança nas dimensões da área de um material a uma mudança de temperatura. É a mudança fracional na área por grau de mudança de temperatura. Ignorando a pressão, podemos escrever:
α = 1 A d A d T {\displaystyle \alpha _{A}={\frac {1}{A}}\,{\frac {dA}{dT}}}
onde Um {\displaystyle Um}
é alguma área de interesse no objeto, e d / d T {\displaystyle dA/dT}
é a taxa de mudança de área por unidade de mudança na temperatura.
a alteração na área pode ser estimada como:
Δ A A = α ∆ T {\displaystyle {\frac {\Delta A}{A}}=\alpha _{A}\Delta T}
Essa equação funciona bem, desde que a área de coeficiente de expansão não muda muito com a mudança de temperatura ∆ T {\displaystyle \Delta T}
, e a variação relativa na área é pequena Δ A / A ≪ 1 {\displaystyle \Delta de Um/A\ll 1}
. Se uma destas condições não se mantiver, a equação deve ser integrada.
Volume expansionEdit
Para um sólido, podemos ignorar os efeitos da pressão sobre o material, e a volumétrica coeficiente de expansão térmica pode ser escrito:
α V = 1 V d V d T {\displaystyle \alpha _{V}={\frac {1}{V}}\,{\frac {dV}{dT}}}
onde V {\displaystyle V}
é o volume do material e a d V / d T {\displaystyle dV/dT}
é a taxa de mudança de volume com a temperatura.
isto significa que o volume de um material muda por alguma quantidade fracionada fixa. Por exemplo, um bloco de aço com um volume de 1 metro cúbico pode expandir-se para 1,002 metros cúbicos quando a temperatura é elevada em 50 K. esta é uma expansão de 0,2%. Se tivéssemos um bloco de aço com um volume de 2 metros cúbicos, então sob as mesmas condições, ele se expandiria para 2.004 metros cúbicos, novamente uma expansão de 0,2%. O coeficiente de expansão volumétrica seria de 0,2% para 50 K, ou 0,004% K−1.
Se nós já sabemos que o coeficiente de dilatação, então podemos calcular a alteração no volume
Δ V V = α V ∆ T {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\alpha _{V}\Delta T}
onde Δ V / V {\displaystyle \Delta V/V}
é a variação relativa de volume (por exemplo, 0.002) e Δ T {\displaystyle \Delta T}
é a mudança na temperatura (50 °C).
o exemplo acima assume que o coeficiente de expansão não mudou à medida que a temperatura mudou e o aumento do volume é pequeno em comparação com o volume original. Isto nem sempre é verdade, mas para pequenas mudanças de temperatura, é uma boa aproximação. Se o coeficiente de expansão volumétrica mudar sensivelmente com a temperatura, ou se o aumento do volume for significativo, então a equação acima terá de ser integrada:
ln ( V + ∆ V V ) = ∫ T i T f α V ( T ) d T {\displaystyle \ln \left({\frac {V+\Delta V}{V}}\right)=\int _{T_{i}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,dT}
Δ V V = exp ( ∫ T i T f α V ( T ) d T ) − 1 {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\exp \left(\int _{T_{i}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,dT\right)-1}
onde α V ( T ) {\displaystyle \alpha _{V}(T)}
é o coeficiente de expansão volumétrica em função da temperatura T, e T i {\displaystyle T_{i}}
, T f {\displaystyle T_{f}}
são a inicial e a temperatura final, respectivamente.
Isotrópico materialsEdit
Para materiais isotrópicos volumétrica coeficiente de expansão térmica é de três vezes o coeficiente linear:
α V = 3 α L {\displaystyle \alpha _{V}=3\alpha _{L}}
Esta relação surge porque o volume é composto de três mutuamente ortogonais direções. Assim, em um material isotrópico, para pequenas mudanças diferenciais, um terço da expansão volumétrica está em um único eixo. Como um exemplo, pegue um cubo de aço, que tem lados de comprimento L. O original de volume será V = L 3 {\displaystyle V=L^{3}}
e o novo volume, depois de um aumento de temperatura, será V + ∆ V = ( L + ∆ L ) 3 = L 3 + 3 L 2 Δ L + 3 L ∆ L 2 + Δ L 3 ≈ L 3 + 3 L 2 ∆ L = V + 3 V Δ L L . {\displaystyle V+\Delta V=(L+\Delta L)^{3}=L^{3}+3L^{2}\Delta L+3L\Delta L^{2}+\Delta L^{3}\approx L^{3}+3L^{2}\Delta L=V+3V{\Delta L \over L}.}
podemos facilmente ignorar os termos como a mudança em L é uma pequena quantidade que na quadratura fica muito menor.
So
Δ v = 3 Δ L = 3 α L Δ T. {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=3{\Delta L \over L}=3\alpha _{L}\Delta T.}
acima aproximação válida para pequenas de temperatura e alterações dimensionais (ou seja, quando ∆ T {\displaystyle \Delta T}
e Δ L {\displaystyle \Delta L}
são pequenos); mas ele não espera, se estamos tentando ir e voltar entre volumétrica e linear de coeficientes a utilizar maiores valores de ∆ T {\displaystyle \Delta T}
. Neste caso, o terceiro termo (e por vezes mesmo o quarto termo) na expressão acima deve ser tido em conta.
da mesma forma, a área de coeficiente de expansão térmica é duas vezes o coeficiente linear:
α = 2 α L {\displaystyle \alpha _{A}=2\alpha _{L}}
Esta relação pode ser encontrada em uma forma similar ao linear exemplo acima, observando que a área de uma face do cubo é apenas L 2 {\displaystyle L^{2}}
. Além disso, as mesmas considerações devem ser feitas ao lidar com grandes valores de Δ t {\displaystyle \Delta T}
.
Put more simply, if the length of a solid expanss from 1 m to 1,01 m then the area expanss from 1 m2 to 1,0201 m2 and the volume expanss from 1 m3 to 1,030301 m3.
Anisotrópica materialsEdit
Materiais com anisotrópica estruturas, tais como cristais (com menos de simetria cúbica, por exemplo martensíticos fases), e em muitos compostos, geralmente têm diferentes expansão linear de coeficientes α L {\displaystyle \alpha _{L}}
em diferentes direções. Como resultado, a expansão volumétrica total é distribuída de forma desigual entre os três eixos. Se a simetria cristalina é monoclinica ou triclínica, mesmo os ângulos entre estes eixos estão sujeitos a mudanças térmicas. Nesses casos, é necessário tratar o coeficiente de expansão térmica como um tensor com até seis elementos independentes. Uma boa maneira de determinar os elementos do tensor é estudar a expansão por difração de pó de raios-X. O tensor do coeficiente de expansão térmica para os materiais que possuem simetria cúbica (por exemplo, FCC, BCC) é isotrópico.