(F. Finn Utily, en ö nära Stavanger, Norge, 5 augusti 1802; D. Froland, Norge, 6 April 1829)
matematik.
Abels far, s Jacobren Georg Abel, var en luthersk minister och själv son till en minister. Han var en begåvad och mycket ambitiös teolog, utbildad vid Köpenhamns universitet, som vid den tiden var den enda institutionen i Förenade kungariket Danmark-Norge. Han hade gift sig med Ane Marie Simonson, dotter till en rik köpman och redare i staden Risgubbir, på södra kusten. Finn UZY var den första församlingen för pastor Abel; det var liten och toilsome, bestående av flera öar. Paret hade sju barn, sex söner och en dotter; Niels Henrik var deras andra barn.
år 1804 utnämndes Georg Abel till efterträdare till sin far i församlingen Gjerstad, nära Risgubbir. Den politiska situationen i Norge var spänd. På grund av sin allians med Danmark hade landet kastats in i Napoleonskrig på Frankrikes sida, och en brittisk blockad av kusten skapade utbredd hungersnöd. Pastor Abel var framträdande i den nationalistiska rörelsen och arbetade för skapandet av separata Norska institutioner—särskilt ett universitet och en nationell bank—om inte för direkt oberoende. I slutet av fredsfördraget i Kiel avstod Danmark Norge till Sverige. Norrmännen gjorde uppror och skrev sin egen konstitution, men efter ett kort och meningslöst krig mot svenskarna under Bernadotte tvingades de söka vapenstillestånd. En fackförening med Sverige accepterades, och Abels far blev en av medlemmarna i den extraordinära Stortinget som kallades hösten 1814 för att skriva den nödvändiga revideringen av den nya konstitutionen.
Niels Henrik Abel och hans bröder fick sin första instruktion från sin far, men 1815 skickades Abel och hans äldre bror till Katedralskolan i Christiania (Oslo). Detta var en gammal skola som många offentliga tjänstemän i provinsen skickade sina barn till; vissa stipendier fanns tillgängliga. Domkyrkan skolan hade varit utmärkt, men var då på en låg ebb, eftersom de flesta av dess goda lärare hade accepterat positioner vid det nya universitetet, som började undervisning i 1813.
Abel var bara tretton år gammal när han lämnade hemmet, och det verkar troligt att försämrat familjeliv påskyndade hans avgång. Under de första åren var hans betyg bara tillfredsställande; då minskade kvaliteten på hans arbete. Hans bror gick ännu värre; han började visa tecken på psykisk sjukdom och måste äntligen skickas hem.
år 1817 ägde en händelse rum på skolan som var avsedd att förändra Abels liv. Matematikläraren misshandlade en av eleverna, som dog kort därefter, möjligen som en följd av straffet. Läraren avskedades summariskt och hans plats togs av Bernt Michael Holmboe, som bara var sju år äldre än Abel. Holmboe fungerade också som assistent till Christoffer Hansteen, professor i astronomi och den ledande forskaren vid universitetet.
det tog inte Holmboe lång tid att upptäcka unga Abels extraordinära förmåga i matematik. Han började med att ge honom speciella problem och rekommendera böcker utanför skolplanen. De två började sedan studera Eulers kalkyltexter och senare De franska matematikernas verk, särskilt Lagrange och Laplace. Så snabbt var Abels framsteg att han snart blev den riktiga läraren. Från anteckningsböcker bevarade i biblioteket vid universitetet i Oslo ser man att även i dessa tidiga dagar var han redan särskilt intresserad av algebraisk ekvationsteori. När han slutade skolan var han bekant med det mesta av den viktiga matematiska litteraturen. Holmboe var så glad över det matematiska geniet att han hade upptäckt att skolans rektor fick honom att moderera sina uttalanden om Abel i rekordboken. Men professorerna vid universitetet var väl informerade av Holmboe om den lovande unga mannen och gjorde sin personliga bekantskap. Förutom Hansteen, som också undervisade i tillämpad matematik, fanns det bara en professor i matematik. S askorbren Rasmussen, en före detta lärare vid katedralen skolan. Rasmussen, en vänlig man, var inte en produktiv forskare; hans tid togs till stor del upp av uppgifter som tilldelades honom av regeringen, särskilt i hans tjänst som administratör för New Bank of Norway.
under sitt sista år i skolan attackerade Abel med ungdomens kraft och oförskämdhet problemet med lösningen av den quintiska ekvationen. Detta problem hade varit enastående sedan Del Ferro, Tartaglia, Cardano och Ferrari Under första hälften av sextonde århundradet. Abel trodde att han hade lyckats hitta lösningen, men i Norge fanns ingen som kunde förstå hans argument, och det fanns inte heller någon vetenskaplig tidskrift där de kunde publiceras. Hansteen vidarebefordrade tidningen till den danska matematikern Ferdinand Degen och begärde att den skulle publiceras av danska Akademin.
Degen kunde inte upptäcka något fel i argumenten, Men begärde att Abel illustrerar sin metod med ett exempel. Degen fann också ämnet något sterilt och föreslog att Abel riktade sin uppmärksamhet mot ett ämne ”vars utveckling skulle få de största konsekvenserna för analys och mekanik. Jag hänvisar till de elliptiska transcendentalerna . En seriös utredare med lämpliga kvalifikationer för forskning av detta slag skulle inte på något sätt begränsas till de många vackra egenskaperna hos dessa mest anmärkningsvärda funktioner, men kunde upptäcka en Magellansundet som leder in i stora utbredningar av ett enormt analytiskt hav” (brev till Hansteen).
Abel började konstruera sina exempel på lösningen av femte gradens ekvation, men upptäckte till sin bestörtning att hans metod inte var korrekt. Han följde också degens förslag om elliptiska transcendentaler, och det är troligt att han inom ett par år i huvudsak hade slutfört sin teori om elliptiska funktioner.
år 1818 omvaldes pastor Abel till Stortinget, efter ett misslyckat bud 1816. Men hans politiska karriär slutade i tragedi. Han gjorde våldsamma ogrundade anklagelser mot andra representanter och hotades med anklagelse. Detta, tillsammans med hans berusning, gjorde honom till Pressens rumpa. Han återvände hem i skam, en desillusionerad man. Både han och hans fru led av alkoholism, och förhållandena vid prästgården och i församlingen blev skandalösa. Det ansågs allmänt som en lättnad när han dog 1820. Hans änka lämnades under mycket stränga omständigheter, med en liten pension som knappt var tillräcklig för att försörja henne och hennes många barn.
den penniless Abel gick in på universitetet hösten 1821. Han fick ett ledigt rum på universitetets sovsal och fick tillstånd att dela det med sin yngre bror Peder. Men den nya institutionen hade inga gemenskapsmedel, och några av professorerna tog det ovanliga måttet att stödja den unga matematikern ur sina egna löner. Han var gäst i deras hus och blev särskilt lockad till hansteens hem och till fru Hansteen och hennes systrar.
Abels första uppgift vid universitetet var att uppfylla kraven för den preliminära examen, Candidatus Philosophiae. När detta uppnåddes, efter ett år, var Abel helt ensam i sina studier. Det fanns inga avancerade kurser i matematik och fysik, men detta verkar inte ha varit ett handikapp; i ett brev från Paris lite senare uppgav han att han hade läst praktiskt taget allt i matematik, viktigt eller obetydligt.
han ägnade sin tid åt avancerad forskning och hans ansträngningar fick en stark drivkraft när Hansteen startade en vetenskaplig tidskrift, Magazin för Naturvidenskaben. År 1823 publicerade denna tidskrift Abels första artikel, på norska, en studie av funktionella ekvationer. Matematiskt var det inte viktigt. inte heller var hans andra lilla papper. Prenumeranterna på tidningen hade dock blivit lovade en populär recension, och Hansteen, förmodligen efter kritik, kände sig tvungen att be om ursäkt för karaktären av dessa papper: ”således tror jag att tidningen förutom vetenskapliga material också bör främja verktygen som tjänar för deras analys. Det kommer att räknas till vår kredit att vi har gett den lärda allmänheten en möjlighet att bekanta sig med ett verk från denna begåvade och skickliga författares penna” (Magazin, 1 ). Abel nästa papper,” OPL Avsugning afet Par Opgaver ved Bjoelp av bestemte Integraler ”(”lösning av vissa problem med hjälp av bestämda integraler”), är av betydelse i historien om matematik, eftersom den innehåller den första lösningen av en integrerad ekvation. Papperet, som gick obemärkt vid den tiden, delvis för att det var på norska, behandlar det mekaniska problemet med rörelsen av en masspunkt på en kurva under påverkan av gravitation. Under vintern 1822-1823 komponerade Abel också ett längre arbete med integration av funktionella uttryck. Papperet överlämnades till university Collegium i hopp om att det organet skulle hjälpa till med publiceringen. manuskriptet har försvunnit, men det verkar troligt att några av de resultat som erhållits i det ingår i några av Abels senare papper.
tidigt på sommaren 1823 fick Abel en gåva på 100 daler från Professor Rasmussen för att finansiera en resa till Köpenhamn för att träffa Degen och de andra danska matematikerna. Hans brev till Holmboe avslöjar den matematiska inspiration som han fick. Han stannade i sin farbrors hus och gjorde här bekanta med sin framtida fianc kubane, Christine Kemp.
när han återvände till Oslo tog Abel återigen upp frågan om lösningen av den kvintiska ekvationen. Den här gången tog han omvänd syn och lyckades lösa det århundraden gamla problemet genom att bevisa omöjligheten av ett radikalt uttryck som representerar en lösning av den allmänna femte eller högre gradens ekvation. Abel insåg fullt ut vikten av hans resultat, så han lät publicera det på egen bekostnad av en lokal skrivare. För att nå en stor publik skrev han det på franska: ”avhandling om algebraiska ekvationer där vi visar omöjligheten att lösa den allmänna ekvationen för femte graden.”För att spara kostnader komprimerades hela broschyren till sex sidor. Den resulterande kortheten gjorde det förmodligen svårt att förstå; i alla fall fanns det ingen reaktion från någon av de utländska matematikerna—inklusive den stora C. F. Gauss, till vilken en kopia skickades.
det hade blivit klart att Abel inte längre kunde leva på professorernas stöd. Hans ekonomiska problem hade ökat genom hans engagemang med Christine Kemp. som hade kommit till Norge som guvernant för barnen i en familj som bodde nära Oslo.
Abel ansökte om resebidrag, och efter några förseningar beslutade regeringen att Abel skulle få ett litet stipendium för att studera språk vid universitetet för att förbereda honom för resor utomlands. Han skulle då få ett bidrag på 600 daler för två års utländsk studie.
Abel var besviken över förseningen men studerade plikttroget språk, särskilt franska, och använde sin tid för att förbereda ett stort antal papper som skulle presenteras för utländska matematiker. Under sommaren 1825 lämnade han tillsammans med fyra vänner. alla hade också för avsikt att förbereda sig för framtida vetenskapliga karriärer: en av dem blev senare professor i medicin och de tre andra blev geologer. Abel vänner alla planerade att åka till Berlin, medan Abel, på Hansteen råd, var att tillbringa sin tid i Paris, då världens främsta centrum för matematik. Abel fruktade dock att vara ensam och bestämde sig också för att åka till Berlin, även om han väl visste att han skulle drabbas av hans beskyddare.
Abels sinnesförändring visade sig vara ett lyckosamt beslut. När han passerade genom Köpenhamn fick Abel veta att Degen hade dött, men han säkrade ett rekommendationsbrev från en av de andra danska matematikerna till Privy Councilor August Leopold Crelle. Crelle var en mycket inflytelserik ingenjör, intensivt intresserad av matematik men inte själv en stark matematiker.
när Abel först uppmanade Crelle, hade han vissa svårigheter att göra sig förstådd. Men efter ett tag erkände Crelle de ovanliga egenskaperna hos sin unga besökare. De två blev livslånga vänner. Abel gav honom en kopia av sin broschyr om quintic equation, men Crelle erkände att det var obegripligt för honom och rekommenderade att Abel skrev en utökad version av den. De pratade om matematikens dåliga tillstånd i Tyskland. I ett brev till Hansteen, daterat från Berlin, 5 December 1825, skrev Abel:
när jag uttryckte förvåning över det faktum att det inte fanns någon matematisk tidskrift, som i Frankrike, sade han att han länge hade för avsikt att redigera en, och skulle för närvarande föra sin plan till verkställighet. Detta projekt är nu organiserat, och det till min stora glädje, för jag ska ha en plats där jag kan få några av mina artiklar tryckta. Jag har redan förberett fyra av dem, som kommer att visas i det första numret.
Journal f reine und angewandte Mathematik, eller Crelle ’ s Journal, som det är allmänt känt, var den ledande tyska matematiska tidskriften under artonhundratalet. Den första volymen ensam innehåller sju artiklar av Abel och följande volymer innehåller många fler, de flesta av dem av framstående betydelse i matematikens historia. Bland de första är den expanderade versionen av beviset på omöjligheten av lösningen av den allmänna kvintiska ekvationen av radikaler. Här utvecklar Abel den nödvändiga algebraiska bakgrunden, inklusive en diskussion om algebraiska fältförlängningar. Abel var vid denna tid inte medveten om att han hade en föregångare, den italienska matematikern Paolo Ruffini. Men i ett postumt papper om ekvationerna som kan lösas av radikaler Abel stater: ”Den enda framför mig, om jag inte misstar mig, som har försökt bevisa omöjligheten med den algebraiska lösningen av de allmänna ekvationerna är matematikern Ruffini, men hans papper är så komplicerat att det är mycket svårt att bedöma riktigheten i hans argument. Det verkar för mig att det inte alltid är tillfredsställande.”Resultatet brukar kallas Abel-Ruffini-satsen.
efter Abels avgång från Oslo ägde en händelse rum som orsakade honom mycket oro. Rasmussen hade funnit sin professur i matematik för betungande i kombination med sina offentliga uppgifter. Han avgick, och kort därefter röstade fakulteten för att rekommendera att Holmboe utses för att fylla vakansen. Abels norska vänner tyckte att handlingen var mycket orättvis, och Abel själv kände förmodligen på samma sätt. Ändå skrev han ett varmt gratulationsbrev till sin tidigare lärare, och de var goda vänner. Men det är uppenbart att Abel från detta ögonblick oroade sig för sin framtid och sitt förestående äktenskap; det fanns ingen vetenskaplig ställning i sikte för honom i sitt hemland.
under vintern i Berlin bidrog Abel till Crelle ’ s Journal; bland de anmärkningsvärda tidningarna finns en om generaliseringen av binomialformeln och en annan om integrationen av kvadratrotuttryck. Men en av hans huvudsakliga matematiska problem var bristen på stringens i samtida matematik. Han nämnde det upprepade gånger i brev till Holmboe. I en av dessa, daterad den 16 januari 1826, skrev han:
mina ögon har öppnats på det mest överraskande sättet. Om du bortser från de allra enklaste fallen finns det i all matematik inte en enda oändlig serie vars summa har bestämts strikt. Med andra ord står de viktigaste delarna av matematiken utan grund. Det är sant att det mesta är giltigt, men det är mycket förvånande. Jag kämpar för att hitta orsaken till det, ett mycket intressant problem.
ett resultat av denna kamp var hans klassiska papper om kraftserier som innehåller många allmänna satser och också, som en tillämpning, den stränga bestämningen av summan av binomialserien för godtyckliga verkliga eller komplexa exponenter.
under den tidiga våren 1826 kände Abel sig tvungen att fortsätta till sin ursprungliga destination, Paris. Crelle hade lovat att följa med honom, och på vägen avsåg de att stanna i G. Tyvärr hindrade affärstrycket Crelle från att lämna Berlin. Samtidigt planerade Abels norska vänner en geologisk utflykt genom Centraleuropa, och återigen ovilliga att separeras från dem gick han med i gruppen. De reste med buss genom Böhmen, Österrike, norra Italien och Alperna. Abel nådde inte Paris förrän i juli, låg på medel efter den dyra resan.
besöket i Paris var att visa sig vara en besvikelse. Universitetsferierna hade precis börjat när Abel anlände, återvände, han fann att de var avskilda och svåra att närma sig; det var bara i förbigående som han träffade Legendre, vars huvudsakliga intresse för hans ålderdom var elliptiska integraler, Abels egen specialitet. För presentation till den franska vetenskapsakademin hade Abel reserverat ett papper som han ansåg sitt mästerverk. Det handlade om summan av integraler av en given algebraisk funktion. Abels sats säger att en sådan summa kan uttryckas som ett fast nummer p av dessa integraler, med integrationsargument som är algebraiska funktioner i de ursprungliga argumenten. Det minsta antalet p är släktet för den algebraiska funktionen, och detta är den första förekomsten av denna grundläggande kvantitet. Abels sats är en stor generalisering av Eulers relation till elliptiska integraler.
Abel tillbringade sina första månader i Paris och slutförde sin stora memoar; det är en av hans längsta artiklar och innehåller en bred teori med tillämpningar. Det var fram till Academy of Sciences den 30 oktober 1826, under rubriken ”Mémoire sur une propriété générale d’ une classe trés-étendue de fonctions transcendantes.”Cauchy och Legendre utsågs till domare, Cauchy var ordförande. Ett antal unga män hade fått snabb åtskillnad när de fick sina verk accepterade av Akademin, och Abel väntade på domarnas rapport. Ingen rapport kom dock fram; den utfärdades faktiskt inte förrän Abels död tvingade sitt utseende. Cauchy verkar ha varit skyldig; han hävdade senare att manuskriptet var oläsligt.
Abels kommande två månader i Paris var dystra; han hade lite pengar och få bekanta. Han träffade P. G. L. Dirichlet, hans junior med tre år och redan en välkänd matematiker, genom ett papper i akademin sponsrad av Legendre. En annan bekant var fr Otuhd Otugric Saigey, redaktör för scientific revue Ferrusac ’s Bulletin, för vilken Abel skrev några artiklar, särskilt om sina egna artiklar i Crelle’ s Journal. Efter jul spenderade han sina sista resurser för att betala sin biljett till Berlin.
strax efter hans återkomst till Berlin. Abel blev sjuk; han verkar ha drabbats av den första attacken av tuberkulosen som senare skulle hävda sitt liv. Han lånade lite pengar från Holmboe, och Crelle hjälpte förmodligen honom. Abel längtade efter att återvända till Norge men kände sig tvungen att stanna utomlands tills hans stipendieperiod hade löpt ut. Crelle försökte hålla honom i Berlin tills han kunde hitta en position för honom vid ett tyskt universitet; under tiden erbjöd han honom redaktionen för sin dagbok.
Abel arbetade flitigt på ett nytt papper: ”Recherches sur les fonctions elliptiques.”hans mest omfattande publikation(125 sidor i Oeuvres complipt exceptional). I detta arbete omvandlade han radikalt teorin om elliptiska integraler till teorin om elliptiska funktioner genom att använda sina inversa funktioner som i det mest elementära fallet motsvarar dualiteten
de elliptiska funktionerna blir därmed en stor och naturlig generalisering av de trigonometriska funktionerna; i kölvattnet av Abels arbete skulle de utgöra ett av de favoritforskningsämnena i matematik under artonhundratalet. Abel hade redan utvecklat det mesta av teorin som student i Oslo, så han kunde presentera teorin om elliptiska funktioner med en stor detaljrikedom, inklusive dubbel periodicitet, utvidgningar i oändliga serier och produkter och additionssatser. Teorin ledde till uttryck för funktioner av en multipel av argumentet med samtidig bestämning av ekvationerna för fraktionerade argument och deras lösning av radikaler, mycket på det sätt som Gauss hade behandlat de cyklotomiska ekvationerna: Abels brev till Holmboe (från Paris i December 1826 och från Berlin den 4 mars 1827) indikerar att han var särskilt fascinerad av en bestämning av villkoret för att ett lemniscate skulle kunna delas i lika delar med hjälp av kompass och linjal, analogt med Gauss konstruktion av vanliga polygoner. Den sista delen handlar om den så kallade teorin om komplex multiplikation, senare så viktig i algebraisk talteori.
Abel återvände till Oslo den 20 maj 1827 för att finna att situationen hemma var så dyster som han hade fruktat. Han hade ingen position i utsikter, ingen gemenskap och ett överflöd av skulder. Hans ansökan om att få sitt stipendium förlängt avslogs av finansdepartementet, men universitetet gav modigt honom ett litet stipendium ur sina magra medel. Denna åtgärd kritiserades av avdelningen, som reserverade rätten att få det belopp som dras av från eventuell framtida lön han kan få.
Abel ’ s fianc jacobe hittade en ny position med vänner till Abels familj, familjen till ägaren till ett järnverk i Froland, nära Arendal. Under hösten bodde Abel i Oslo genom att handleda skolpojkar och förmodligen med hjälp av vänner . Vid det nya året blev situationen ljusare. Hansteen, en pionjär inom geomagnetiska studier, fick ett stort bidrag i två år för att undersöka jordens magnetfält i outforskat Sibirien. Under tiden blev Abel hans ersättare både vid universitetet och vid norska militärakademin.
den första delen av ”Recherches” publicerades i Crelle ’ s Journal i September 1827, och Abel slutförde den andra delen under vintern. Han bodde isolerat i Oslo; det fanns inget paket post under vintern, och han hade ingen aning om det intresse hans memoarer hade skapat bland europeiska matematiker. Han visste inte heller att en konkurrent hade dykt upp inom elliptiska funktioner förrän tidigt 1828, då Hansteen visade honom septemberutgåvan av Astronomische Nachrichten. I denna tidskrift meddelade en ung tysk matematiker, K. G. J. Jacobi, utan bevis några resultat angående transformationsteorin för elliptiska integraler. Abel lade snabbt till en anteckning i manuskriptet till den andra delen av ”Recherches”, som visar hur Jacobis resultat var konsekvensen av hans egen.
Abel var mycket medveten om att ett lopp var till hands. Han avbröt ett stort papper om teorin om ekvationer som skulle innehålla bestämningen av alla ekvationer som kan lösas av radikaler: den del som publicerades innehöll teorin om de ekvationer som nu kallas Abelian. Han skrev sedan i snabb följd en serie artiklar om elliptiska funktioner. Den första var ”Solution d’ un probleme g auctubn auctural concernant la transformation des fonctions elliptiques.”Detta, hans direkta svar på Jacobi, publicerades i Astronomische Nachrichten; de andra dök upp i Crelle’ s Journal. För övrigt, Abel utarbetat en bok-längd memoarer, ”pr Kubuskis d’ une TH kubuskorie des fonctions elliptiques,” som publicerades efter hans död. Jacobi, å andra sidan, skrev bara korta meddelanden som inte avslöjade hans metoder; dessa var reserverade för hans bok, Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829).
mycket har skrivits om den tidiga teorin om elliptiska funktioner. Det verkar inte finnas någon tvekan om att Abel var i besittning av ideerna flera år före Jacobi. Å andra sidan är det också ett etablerat faktum att Gauss, även om han inte publicerade något, hade upptäckt principerna för elliptiska funktioner långt före antingen Abel eller Jacobi.
de europeiska matematikerna såg med fascination konkurrensen mellan de två unga matematikerna. Legendre märkte Jacobis meddelanden och fick också ett brev från honom. Vid ett möte i den franska akademin i November 1827 berömde han den nya matematiska stjärnan; talet reproducerades i tidningarna och Legendre skickade klippningen till Jacobi. I sitt svar påpekade Jacobi, efter att ha uttryckt sitt tack, Abels ”Recherches” och dess allmänna resultat. Legendre svarade: ”genom dessa verk kommer ni två att placeras i klassen av de främsta analytikerna i vår tid.”Han uttryckte också sin besvikelse över Jacobis publiceringsmetod och blev irriterad när Jacobi erkände att han för att få några av sina resultat var tvungen att lita på Abels tidning. Vid denna tid började Abel också en korrespondens med Legendre och hällde ut sina tankar till honom.
allt som de europeiska matematikerna visste om Abels tillstånd i Norge Var att han bara hade en tillfällig position och nyligen hade tvingats att undervisa skolpojkar för att försörja sig. Huvudkällan till deras information var Crelle, som ständigt använde sitt inflytande för att försöka få ett möte för Abel vid ett nytt vetenskapligt institut som skulle skapas i Berlin. Framstegen var dock mycket långsamma. I September 1828 tog fyra framstående medlemmar av den franska vetenskapsakademin det extraordinära steget att rikta en framställning direkt till Bernadotte, nu Karl XIV av Norge—Sverige, och uppmärksammade Abel och uppmanade honom att skapa en lämplig vetenskaplig ståndpunkt. Vid ett möte i akademin den 25 februari 1829 hyllade Legendre Också Abel och hans upptäckter, särskilt hans resultat i teorin om ekvationer.
under tiden skrev Abel, trots sin försämrade hälsa, Nya papper frenetiskt. Han tillbringade sommarsemestern 1828 på Froland-gården med sin fästman bisexe. Vid jul insisterade han på att besöka henne igen, trots att det krävde flera dagars resa i intensiv kyla. Han var febrig när han kom, men njöt av familjens julfirande. Han kan ha haft en föraning om att hans dagar var räknade, dock, och han nu fruktade att den stora papper lämnas till den franska akademin hade gått förlorad för alltid. Han skrev därför en kort notering, ”Demonstration d’ une propriet occurb g occurn occurrale d ’une certaine classe de fonctions transcendantes”, där han gav ett bevis på huvudsatsen. Han skickade den till Crelle den 6 januari 1829.
medan han väntade på släden som skulle återvända till Oslo fick Abel en våldsam blödning; läkaren diagnostiserade sin sjukdom som tuberkulos och beordrade långvarig sängstöd. Han dog i April, vid tjugosex års ålder, och begravdes i den närliggande Froland-kyrkan under en snöstorm. Graven är markerad av ett monument uppfört av sina vänner. En av dem, Baltazar Keilhau, skrev till Christine Kemp, utan att någonsin ha sett henne, och gav henne ett erbjudande om äktenskap som hon accepterade. Två dagar efter Abels död skrev Crelle jublande för att informera honom om att hans utnämning i Berlin hade säkrats.
den 28 juni 1830 tilldelade Franska vetenskapsakademin sitt Grand Prix till Abel och Jacobi för deras enastående matematiska upptäckter. Efter en intensiv sökning i Paris återupptäcktes manuskriptet till Abels stora memoar. Den publicerades 1841, femton år efter det att den hade lämnats in. Under tryckningen försvann den igen, för att inte dyka upp igen förrän 1952 i Florens.
Crelle skrev en omfattande lovtal av Abel i sin tidskrift (4 , 402):
alla Abels verk bär avtryck av en uppfinningsrikedom och tankekraft som är ovanlig och ibland fantastisk, även om författarens ungdom inte beaktas. Man kan säga att han kunde tränga igenom alla hinder ner till själva grunden för problemen, med en kraft som verkade oemotståndlig; han attackerade problemen med en extraordinär energi; han betraktade dem ovanifrån och kunde sväva så högt över deras nuvarande tillstånd att alla svårigheter tycktes försvinna under det segerrika angreppet av hans geni…. Men det var inte bara hans stora talang som skapade respekten för Abel och gjorde hans förlust oändligt beklaglig. Han utmärkte sig lika av renhet och adel av hans karaktär och av en sällsynt blygsamhet som gjorde hans person vårdas i samma ovanliga grad som var hans geni.
bibliografi
I. originalverk. Abels kompletta verk publiceras i två upplagor, Oeuvres compliment except de N. H. Abel, math kazakmaticien, Red. och kommenterad av B. Holmboe (Oslo, 1839), och Nouvelle Portugis, M. M. L. Sylow och S. Lie, Red., 2 vol. (Oslo, 1881).
II. sekundär litteratur. Material om Abels liv inkluderar Niels Henrik Abel: M. O. Ore, Niels Henrik Abel; matematiker extraordinary (Minneapolis, Minn), som omfattar alla bokstäver som citeras i texten; och O. Ore, Niels Henrik Abel; matematiker extraordinary (Minneapolis, Minn., 1957).
Oysteinmalm