allmänna observationer
förmodligen är det mest naturliga tillvägagångssättet för formell logik genom tanken på giltigheten av ett argument av det slag som kallas deduktivt. Ett deduktivt argument kan grovt karakteriseras som ett där påståendet görs att någon proposition (slutsatsen) följer med strikt nödvändighet från någon annan proposition eller propositioner (premisserna)—dvs att det skulle vara inkonsekvent eller självmotsägande att hävda premisserna men förneka slutsatsen.
om ett deduktivt argument ska lyckas fastställa sanningen om dess slutsats, måste två helt distinkta villkor uppfyllas: för det första måste slutsatsen verkligen följa från premisserna—d.v. s. avdraget av slutsatsen från premisserna måste vara logiskt korrekt—och för det andra måste premisserna själva vara sanna. Ett argument som uppfyller båda dessa villkor kallas ljud. Av dessa två villkor är logikern som sådan endast bekymrad över den första; den andra, bestämningen av lokalernas sanning eller falskhet, är uppgiften för någon speciell disciplin eller gemensam observation som är lämplig för argumentets ämne. När slutsatsen av ett argument är korrekt avdragsgill från dess lokaler sägs slutsatsen från lokalerna till slutsatsen vara (deduktivt) giltig, oavsett om lokalerna är sanna eller falska. Andra sätt att uttrycka det faktum att en slutsats är deduktivt giltig är att säga att sanningen i lokalerna ger (eller skulle ge) en absolut garanti för sanningen i slutsatsen eller att det skulle innebära en logisk inkonsekvens (till skillnad från ett rent misstag) att anta att förutsättningarna var sanna men slutsatsen falsk.
de deduktiva slutsatserna med vilken formell logik berörs är, som namnet antyder, de för vilka giltighet inte beror på några funktioner i deras ämne utan på deras form eller struktur. Således är de två slutsatserna (1) varje hund ett däggdjur. Vissa quadrupeds är hundar. Vissa quadrupeds är däggdjur. och (2) varje anarkist är en troende i fri kärlek. Vissa medlemmar i regeringspartiet är anarkister. Vissa medlemmar av regeringspartiet är troende i fri kärlek. skiljer sig åt i ämnet och kräver därför olika förfaranden för att kontrollera sanningen eller falskheten i deras lokaler. Men deras giltighet säkerställs av vad de har gemensamt-nämligen att argumentet i var och en är av formen(3) varje X är ett Y. vissa Z är X: s. bisexuell vissa Z är Y: s.
linje (3) ovan kan kallas en inferensform, och (1) och (2) är då instanser av den inferensformen. Bokstäverna-X, Y och Z—in (3) markerar de platser där uttryck av en viss typ kan infogas. Symboler som används för detta ändamål kallas variabler; deras användning är analog med x i algebra, som markerar den plats i vilken en siffra kan infogas. En instans av en inferensform produceras genom att ersätta alla variabler i den med lämpliga uttryck (dvs. de som är vettiga i sammanhanget) och genom att göra det enhetligt (dvs. genom att ersätta samma uttryck varhelst samma variabel återkommer). Funktionen i (3) som garanterar att varje instans av den kommer att vara giltig är dess konstruktion på ett sådant sätt att varje enhetligt sätt att ersätta dess variabler för att göra lokalerna sanna automatiskt gör slutsatsen också sann, eller med andra ord att ingen instans av den kan ha sanna förutsättningar utan en falsk slutsats. I kraft av denna funktion kallas formuläret (3) en giltig inferensform. I kontrast, (4)Varje X är ett Y. vissa Z är Y. är inte en giltig slutledningsform, för även om instanser av det kan produceras där förutsättningar och slutsats är alla sanna, kan instanser av det också produceras där förutsättningarna är sanna men slutsatsen är falsk—t.ex. (5) varje hund är ett däggdjur. Vissa bevingade varelser är däggdjur. Vissa bevingade varelser är hundar.
formell logik som en studie handlar om inferensformer snarare än med särskilda fall av dem. En av dess uppgifter är att diskriminera mellan giltiga och ogiltiga inferensformer och att utforska och systematisera relationerna som håller bland giltiga.
nära relaterat till tanken på en giltig inferensform är den för en giltig proposition. En proposition form är ett uttryck för vilket instanserna (producerade som tidigare av lämpliga och enhetliga ersättningar för variabler) inte är slutsatser från flera propositioner till en slutsats utan snarare propositioner tagna individuellt, och en giltig proposition form är en för vilken alla instanser är sanna propositioner. Ett enkelt exempel är(6) ingenting är både ett X och ett icke-X. formell logik handlar om propositionsformer såväl som med inferensformer. Studiet av propositionsformer kan i själva verket göras för att inkludera det av inferensformer på följande sätt: låt förutsättningarna för en given inferensform (tillsammans) förkortas med alfa (GHz) och dess slutsats med beta (gbg). Då det tillstånd som anges ovan för giltigheten av slutledning form ”α, därför β” detsamma som att säga att ingen instans av den proposition form ”α och β” är sant—dvs, att varje instans av proposition form(7) Inte båda: α och β är sant—eller line (7), helt stavas ut, naturligtvis, är en giltig proposition form. Studiet av propositionsformer kan emellertid inte på samma sätt tillgodoses under studiet av inferensformer, och därför är det vanligt att betrakta formell logik som studiet av propositionsformer. Eftersom en logiker hantering av proposition former är på många sätt analogt med en matematiker hantering av numeriska formler, de system han konstruerar kallas ofta calculi.
mycket av en logikers arbete fortsätter på en mer abstrakt nivå än den föregående diskussionen. Även en formel som (3) ovan, även om den inte hänvisar till något specifikt ämne, innehåller uttryck som ”varje” och ”är a”, som anses ha en bestämd betydelse, och variablerna är avsedda att markera platserna för uttryck av en viss typ (ungefär vanliga substantiv eller klassnamn). Det är dock möjligt—och för vissa ändamål är det viktigt-att studera formler utan att fästa till och med denna grad av meningsfullhet för dem. Konstruktionen av ett logiksystem innefattar faktiskt två urskiljbara processer: den ena består i att sätta upp en symbolisk apparat—en uppsättning symboler, regler för att stränga dessa samman i formler och regler för att manipulera dessa formler; den andra består i att fästa vissa betydelser till dessa symboler och formler. Om bara det förra är gjort, sägs systemet vara otolkat eller rent formellt; om det senare också görs, sägs systemet tolkas. Denna distinktion är viktig, eftersom logiksystem visar sig ha vissa egenskaper helt oberoende av eventuella tolkningar som kan placeras på dem. Ett axiomatiskt logiksystem kan tas som ett exempel—dvs ett system där vissa obevisade formler, kända som Axiom, tas som utgångspunkter, och ytterligare formler (satser) bevisas på styrkan av dessa. Som kommer att visas senare (se nedan Axiomatisering av PC) beror frågan huruvida en sekvens av formler i ett axiomatiskt system är ett bevis eller inte enbart på vilka formler som tas som axiom och på vad reglerna är för att härleda satser från Axiom, och inte alls på vad satserna eller axiomerna betyder. Dessutom kan ett givet tolkat system i allmänhet tolkas lika bra på ett antal olika sätt; därför studerar man en struktur som är gemensam för en mängd tolkade system när man studerar ett tolkat system. Normalt har en logiker som konstruerar ett rent formellt system en särskild tolkning i åtanke, och hans motiv för att konstruera det är tron att när denna tolkning ges till den, kommer systemets formler att kunna uttrycka sanna principer inom något tankeområde; men av ovanstående skäl kommer han vanligtvis att ta hand om att beskriva formlerna och ange systemets regler utan hänvisning till tolkning och att som en separat fråga ange den tolkning som han har i åtanke.
många av de tankar som används i redogörelsen för formell logik, inklusive några som nämns ovan, väcker problem som tillhör filosofin snarare än själva logiken. Exempel är: vad är den korrekta analysen av begreppet sanning? Vad är ett förslag, och hur är det relaterat till meningen med vilken den uttrycks? Finns det några typer av ljudresonemang som varken är deduktiva eller induktiva? Lyckligtvis är det möjligt att lära sig att göra formell logik utan att ha tillfredsställande svar på sådana frågor, precis som det är möjligt att göra matematik utan att svara på frågor som tillhör matematikfilosofin som: är siffror verkliga föremål eller mentala konstruktioner?