câmp gravitațional Uniform fără rezistență la aeredit
acesta este cazul „manual” al mișcării verticale a unui obiect care cade la mică distanță aproape de suprafața unei planete. Este o aproximare bună în aer atâta timp cât forța gravitației asupra obiectului este mult mai mare decât forța rezistenței aerului sau echivalent viteza obiectului este întotdeauna mult mai mică decât viteza terminală (vezi mai jos).
v ( t ) = v 0 + g t {\displaystyle v(t)=v_{0}+gt\,} y ( t ) = v 0 t + y 0 + 1 2 g t 2 {\displaystyle y(t)=v_{0}t+Y_{0}+{\frac {1}{2}}gt^{2}}
unde
v 0 {\displaystyle v_{0}\,} viteza inițială (m/s). v(t) {\displaystyle v (t)\,} este viteza verticală în raport cu timpul (m/s). y 0 {\displaystyle y_{0}\,} este altitudinea inițială (m). y(t ) {\displaystyle y (t)\,} este altitudinea în raport cu timpul (m). t {\displaystyle t\,} este timpul scurs (e). g {\displaystyle G\,} este accelerația datorată gravitației (9,81 m / s2 lângă suprafața Pământului).
câmp gravitațional Uniform cu rezistență la aer
accelerarea unui meteoroid mic atunci când intră în atmosfera Pământului la viteze inițiale diferite.
acest caz, care se aplică parașutiștilor, parașutiștilor sau oricărui corp de masă, m {\displaystyle M} și aria secțiunii transversale , a {\displaystyle A}, cu numărul Reynolds mult peste numărul critic Reynolds , astfel încât rezistența aerului să fie proporțională cu pătratul vitezei de cădere, v {\displaystyle v}, are o ecuație de mișcare
m d v d t = m g-1 2 d} v} {\mathrm {d} t}}=mg − {\frac {1} {2}} \Rho C_ {\mathrm {d} }av^{2}\,,}
unde este densitatea aerului și C D {\displaystyle C_ {\mathrm {d} }} este coeficientul de tracțiune, presupus a fi constant, deși în general va depinde de numărul Reynolds.
presupunând că un obiect cade din repaus și nici o modificare a densității aerului cu altitudinea, soluția este:
v ( t ) = v .t. t. (g. t. t.), {\displaystyle v(t)=V_{\infty }\tanh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right),}
unde viteza terminală este dată de
v. t. t. = 2 m. t. t.),} viteza față de timp a obiectului poate fi integrată în timp pentru a găsi poziția verticală în funcție de timp: y = y 0 − V 0-V 2 g ln . {\displaystyle y = Y_{0}-{\frac {v_ {\infty }^{2}}{g}}\Ln \ cosh \ stânga ({\frac {gt}{v_ {\infty }} \dreapta).}
folosind cifra de 56 m/s pentru viteza terminală a unui om, se constată că după 10 secunde va fi căzut 348 de metri și va atinge 94% din viteza terminală, iar după 12 secunde va fi căzut 455 de metri și va fi atins 97% din viteza terminală. Cu toate acestea, atunci când densitatea aerului nu poate fi presupusă a fi constantă, cum ar fi pentru obiectele care cad de la altitudine mare, ecuația mișcării devine mult mai dificil de rezolvat analitic și este de obicei necesară o simulare numerică a mișcării. Figura arată forțele care acționează asupra meteoroizilor care cad prin atmosfera superioară a Pământului. Salturile HALO, inclusiv salturile record ale lui Joe Kittinger și Felix Baumgartner, aparțin, de asemenea, acestei categorii.
Legea pătratului invers câmp gravitațional
se poate spune că două obiecte din spațiu care orbitează reciproc în absența altor forțe sunt în cădere liberă unul în jurul celuilalt, de ex.că luna sau un satelit artificial „cade în jurul” Pământului sau o planetă „cade în jurul” Soarelui. Presupunând obiecte sferice înseamnă că ecuația mișcării este guvernată de legea gravitației universale a lui Newton, soluțiile la problema gravitațională cu două corpuri fiind orbitele eliptice care se supun legilor mișcării planetare ale lui Kepler. Această legătură între obiectele care cad aproape de pământ și obiectele care orbitează este cel mai bine ilustrată de experimentul gândirii, ghiulea lui Newton.
mișcarea a două obiecte care se deplasează radial unul către celălalt fără impuls unghiular poate fi considerată un caz special al unei orbite eliptice de excentricitate e = 1 (traiectorie eliptică radială). Acest lucru permite calcularea timpului de cădere liberă pentru două obiecte punctuale pe o cale radială. Soluția acestei ecuații de mișcare produce timp în funcție de separare:
t ( y) = y 0 3 2 ( Y Y 0 ( 1 − Y y 0 ) + arccos y y 0 ) , {\displaystyle t(y)={\sqrt {\frac {{Y_{0}}^{3}}{2\mu }}}\stânga({\sqrt {{\frac {y}{Y_{0}}}\stânga(1-{\frac {y}{Y_{0}}}\dreapta)}}+\arccos {\sqrt {\frac {y}{Y_{0}}}}\dreapta),}
unde
t {\displaystyle t} este timpul după începerea căderii y {\displaystyle y} este timpul de distanța dintre centrii corpurilor y 0 {\displaystyle Y_{0}} este valoarea inițială a lui Y {\displaystyle y} XQ ( M 1 + m 2 ) {\displaystyle \mu = g(m_{1}+m_{2})} este parametrul gravitațional standard.
substituind y = 0 {\displaystyle y = 0} obținem timpul de cădere liberă.
separarea în funcție de timp este dată de inversul ecuației. Inversul este reprezentat exact de seriile de putere analitică:
y ( t) = XCT n = 1 XCT ) ] . {\displaystyle y (t) = \ sumă _ {n = 1}^{\infty } \ stânga\dreapta) \ dreapta].}
evaluarea acestui randament: