egyenletes gravitációs mező légellenállás nélkül [szerkesztés]
ez a “tankönyv” esete egy olyan tárgy függőleges mozgásának, amely kis távolságra esik egy bolygó felszínéhez. Jó közelítés a levegőben, mindaddig, amíg a tárgyra nehezedő gravitációs erő sokkal nagyobb, mint a légellenállás ereje, vagy ezzel egyenértékű módon az objektum sebessége mindig sokkal kisebb, mint a végsebesség (lásd alább).
v ( t ) = V 0 + g t {\displaystyle v(t)=v_{0}+gt\,} y ( t ) = v 0 t + y 0 + 1 2 g t 2 {\displaystyle y(t)=v_{0}t+Y_{0}+{\frac {1}{2}}gt^{2}}
ahol
V 0 {\displaystyle v_{0}\,} kezdeti sebesség (m/s). v(t ) {\displaystyle v (t)\,} a függőleges sebesség az időhöz viszonyítva (m/s). y 0 {\displaystyle y_{0}\,} a kezdeti magasság (m). y(t ) {\displaystyle y (t)\,} az időhöz viszonyított magasság (m). t {\displaystyle t\,} az eltelt idő (ek). g {\displaystyle g\,} a gravitáció miatti gyorsulás (9,81 m/s2 a föld felszíne közelében).
egyenletes gravitációs mező légellenállássalszerkesztés
egy kis meteoroid gyorsulása, amikor a Föld légkörébe különböző kezdeti sebességgel lép be.
ebben az esetben, amely az ejtőernyősökre, ejtőernyősökre vagy bármely m {\displaystyle m} tömegű, a {\displaystyle a} keresztmetszeti területre vonatkozik , ahol a Reynolds-szám jóval meghaladja a kritikus Reynolds − számot, így a légellenállás arányos az esési sebesség négyzetével , v {\displaystyle v}, a mozgás egyenlete
m d v d t = m g-1 2 C D A V 2, {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {D} t}}=mg – {\frac {1}{2}}\Rho C_{\mathrm {d} }av^{2}\,,}
ahol {\displaystyle \ rho } a levegő sűrűsége és C D {\displaystyle C_ {\mathrm {D} }} a húzási együttható, feltételezve, hogy állandó, bár általában a Reynolds-számtól függ.
feltételezve, hogy egy tárgy a nyugalomból esik le, és a levegő sűrűsége nem változik a magassággal, a megoldás a következő:
v ( t ) = v ++ tanh ( g t v), {\displaystyle v(t)=v_{\infty }\tanh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right),}
ahol a végsebességet
v = 2 m g c d a . {\displaystyle v_ {\infty } = {\sqrt {\frac {2mg} {\rho C_{D}A}}}\,.}
az objektum sebessége az idő függvényében integrálható az idő függvényében, hogy megtalálja a függőleges helyzetet az idő függvényében:
y = y 0-V 2 g ln Ft . {\displaystyle y=Y_{0} – {\frac {v_ {\infty} ^{2}}{g}} \Ln \ cosh \ balra ({\frac {gt}{v_ {\infty }}} \ jobbra).}
az 56 m/s értéket használva az ember végsebességére, azt találjuk, hogy 10 másodperc után 348 métert esett és elérte a végsebesség 94% – át, 12 másodperc után pedig 455 métert esett és elérte a végsebesség 97% – át. Ha azonban a levegő sűrűségét nem lehet állandónak feltételezni, például a nagy magasságból eső tárgyak esetében, a mozgás egyenletét sokkal nehezebb analitikusan megoldani, és általában szükség van a mozgás numerikus szimulációjára. Az ábra a föld felső légkörén áteső meteoroidokra ható erőket mutatja. A HALO ugrások, köztük Joe Kittinger és Felix Baumgartner rekordugrásai szintén ebbe a kategóriába tartoznak.
inverz-négyzet törvény gravitációs mező
elmondható, hogy az űrben két, más erők hiányában egymás körül keringő objektum szabadon esik egymás körül, például a Hold vagy egy mesterséges műhold “esik” a Föld körül, vagy egy bolygó “esik” a Nap körül. A gömb alakú tárgyak feltételezése azt jelenti, hogy a mozgás egyenletét Newton törvénye szabályozza univerzális gravitáció, a gravitációs két test problémájának megoldásai elliptikus pályák engedelmeskednek Kepler bolygómozgási törvényeinek. A földhöz közeli leeső tárgyak és a keringő tárgyak közötti kapcsolatot legjobban a Newton ‘ s cannonball című gondolatkísérlet szemlélteti.
két, sugárirányban egymás felé mozgó, szögmomentum nélküli tárgy mozgása az e = 1 excentricitás elliptikus pálya (radiális elliptikus pálya) speciális esetének tekinthető. Ez lehetővé teszi, hogy kiszámítsa a sugárirányú úton lévő két pontobjektum szabad esési idejét. Ennek a mozgásegyenletnek a megoldása az elválasztás függvényében időt eredményez:
t (y) = y 0 3 2 ( Y Y 0 (1 − y Y 0 ) + arccos (ca), {\displaystyle t(y)={\sqrt {\frac {{y_{0}}^{3}}{2\mu }}}\left({\sqrt {{\frac {y}{y_{0}}}\left(1-{\frac {y}{Y_{0}}}\right)}}+\arccos {\sqrt {\frac {y}{Y_{0}}}}\right),}
ahol
t {\displaystyle T} az esés kezdete utáni idő y {\displaystyle y} az Y 0 {\displaystyle Y_{0}} testek középpontja az y {\displaystyle y} kezdeti értéke ( m 1 + m 2 ) {\displaystyle \mu = g(M_{1}+m_{2})} a standard gravitációs paraméter.
Y = 0 {\displaystyle y=0} helyettesítésével megkapjuk a szabadesés idejét.
az elválasztást az idő függvényében az egyenlet inverzével adjuk meg. Az inverz pontosan az analitikus hatványsorral van ábrázolva:
y (t) = ons n = 1 db ) ] . {\displaystyle y(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left\right)\right].}
ennek értékelése hozamok: