Jednotná gravitační pole bez vzduchu resistanceEdit
To je „učebnicový“ případ vertikální pohyb padajícího předmětu malé vzdálenosti blízko k povrchu planety. To je dobrou aproximací ve vzduchu tak dlouho, jak gravitační síla na objekt je mnohem větší než síla odporu vzduchu, nebo ekvivalentně objektu rychlost je vždy mnohem menší než mezní rychlost (viz níže).
v ( t ) = v 0 + g t {\displaystyle v(t)=v_{0}+gt\,} y ( t ) = v 0 t + y 0 + 1 2 g. t 2 {\displaystyle y(t)=v_{0}t+y_{0}+{\frac {1}{2}}gt^{2}}
, kde
v 0 {\displaystyle v_{0}\,} je počáteční rychlost (m/s). v(t ) {\displaystyle v (t)\,} je vertikální rychlost vzhledem k času (m/s). y 0 {\displaystyle y_{0}\,} je počáteční Nadmořská výška (m). y(t ) {\displaystyle y (t)\,} je nadmořská výška vzhledem k času (m). t {\displaystyle t\,} Je čas, který (y) uplynul (y). g {\displaystyle g\,} je zrychlení způsobené gravitací (9,81 m/s2 blízko povrchu země).
Jednotná gravitační pole s air resistanceEdit
Zrychlení malý meteorit při vstupu do Zemské atmosféry při různé počáteční rychlosti.
Tento případ, který se týká parašutistů, parašutisty nebo jakékoliv těleso o hmotnosti m {\displaystyle m} , a plocha průřezu, {\displaystyle A} , s Reynoldsovo číslo i výše uvedené kritické Reynoldsovo číslo, tak, že odpor vzduchu je úměrný čtverci pádu rychlost, v, {\displaystyle v} , má pohybová rovnice
m d v d t = m g − 1 2 ρ C D A v. 2 , {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\frac {1}{2}}\rho C_{\mathrm {D} }Av^{2}\,,}
kde ρ {\displaystyle \rho } je hustota vzduchu a C D {\displaystyle C_{\mathrm {D} }} je součinitel odporu, předpokládá se, že je konstantní, i když obecně bude záviset na Reynoldsově čísle.
za Předpokladu, že objekt padající z odpočinku a žádná změna hustoty vzduchu s nadmořskou výškou, řešení je:
v ( t ) = v ∞ tanh ( g t v v ∞ ) , {\displaystyle v(t)=v_{\infty }\tanh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right),}
kde rychlost terminálu je dána tím,
v ∞ = 2 m g ρ C D A . {\displaystyle v_ {\infty } ={\sqrt {\frac {2mg}{\rho C_{D}a}}}\,.}
rychlost objektu versus čas může být integrována v průběhu času a najít svislou polohu jako funkci času:
y = y 0 – v ∞ 2 g ln cos cosh ( g t v∞). {\displaystyle y=y_{0}-{\frac {v_{\infty }^{2}}{g}}\ln \cosh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right).}
pomocí obrázku 56 m/s pro terminální rychlost člověka zjistíme, že po 10 sekundách klesl o 348 metrů a dosáhl 94% terminální rychlosti, a po 12 sekundách klesl o 455 metrů a dosáhl 97% terminální rychlosti. Pokud však nelze předpokládat, že hustota vzduchu je konstantní, například u objektů padajících z vysoké nadmořské výšky, je mnohem obtížnější řešit pohybovou rovnici analyticky a obvykle je nutná numerická simulace pohybu. Obrázek ukazuje síly působící na meteoroidy padající horní atmosférou Země. Do této kategorie patří i HALO skoky včetně rekordních skoků Joea Kittingera a Felixe Baumgartnera.
Inverzní-náměstí zákon gravitační fieldEdit
To může být říkal, že dva objekty v prostoru okolo sebe obíhající v nepřítomnosti jiných sil jsou ve volném pádu kolem sebe, např. že Měsíce nebo umělé družice „padá kolem“ Země, nebo planeta „padá kolem“ Slunce. Za předpokladu sférické objekty znamená, že rovnice pohybu se řídí newtonovým gravitačním zákonem, tak s řešením gravitační dva-tělo problém, že eliptické oběžné dráhy poslouchat Keplerovy zákony planetárního pohybu. Toto spojení mezi padajícími objekty v blízkosti Země a obíhajícími objekty nejlépe ilustruje myšlenkový experiment, Newtonova dělová koule.
pohyb dvou objektů pohybujících se radiálně směrem k sobě bez momentu hybnosti lze považovat za zvláštní případ eliptické oběžné dráhy excentricity e = 1 (Radiální eliptická trajektorie). To umožňuje vypočítat čas volného pádu pro dva bodové objekty na radiální dráze. Řešení této pohybové rovnice poskytuje čas jako funkci separace:
t ( y ) = y 0 3 2 μ ( y, y 0 ( 1 − y y 0 ) + arccos y y 0 ) , {\displaystyle t(y)={\sqrt {\frac {{y_{0}}^{3}}{2\mu }}}\left({\sqrt {{\frac {y}{y_{0}}}\left(1-{\frac {y}{y_{0}}}\right)}}+\arccos {\sqrt {\frac {y}{y_{0}}}}\right),}
, kde
t {\displaystyle t} je čas, po startu pád y {\displaystyle y} je vzdálenost mezi středy těles y 0 {\displaystyle y_{0}} je počáteční hodnota y {\displaystyle y} μ = G ( m 1 + m 2 ) {\displaystyle \mu =G(m_{1}+m_{2})} je standardní gravitační parametr.
nahrazením y = 0 {\displaystyle y=0} získáme čas volného pádu.
separace jako funkce času je dána inverzní rovnicí. Inverzní je reprezentována přesně analytickou mocninou:
y (t ) = ∑ n = 1 ∞)]. {\displaystyle y (t)= \ sum _ {n=1}^{\infty } \ left\right)\right].}
hodnocení tohoto výnosu: