Gleichmäßiges Gravitationsfeld ohne Luftwiderstandbearbeiten
Dies ist der „Lehrbuch“ -Fall der vertikalen Bewegung eines Objekts, das eine kleine Entfernung nahe der Oberfläche eines Planeten fällt. Es ist eine gute Annäherung an Luft, solange die Schwerkraft auf das Objekt viel größer ist als die Kraft des Luftwiderstands, oder äquivalent ist die Geschwindigkeit des Objekts immer viel kleiner als die Endgeschwindigkeit (siehe unten).
v( t ) = v 0 + g t {\displaystyle v(t)=v_{0}+gt\,} y (t ) = v 0 t + y 0 + 1 2 g t 2 {\displaystyle y(t)=v_{0}t+y_{0}+{\frac {1}{2}}gt^{2}}
wobei
v 0 {\displaystyle v_{0}\,} die Anfangsgeschwindigkeit (m/s). v(t ) {\displaystyle v(t)\,} ist die vertikale Geschwindigkeit in Bezug auf die Zeit (m/s). y 0 {\displaystyle y_{0}\,} ist die Anfangshöhe (m). y(t ) {\displaystyle y(t)\,} ist die Höhe in Bezug auf die Zeit (m). t {\displaystyle t\,} ist die Zeit, die verstrichen ist. g {\displaystyle g\,} ist die Erdbeschleunigung (9,81 m/s2 nahe der Erdoberfläche).
Gleichmäßiges Gravitationsfeld mit Luftwiderstand
Beschleunigung eines kleinen Meteoriten beim Eintritt in die Erdatmosphäre mit unterschiedlichen Anfangsgeschwindigkeiten.
Dieser Fall, der für Fallschirmspringer, Fallschirmspringer oder einen beliebigen Massenkörper m {\displaystyle m} und eine Querschnittsfläche A {\displaystyle A} mit einer Reynolds-Zahl weit über der kritischen Reynolds−Zahl gilt, so dass der Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Fallgeschwindigkeit v {\displaystyle v} ist, hat eine Bewegungsgleichung
m d v d t = m g – 1 2 ρ C D A v 2 , {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} v}{\ mathrm {d} t}}=mg-{\frac {1}{2}}\rho C_{\mathrm {D} }Av^{2}\,,}
wobei ρ {\displaystyle \rho } die Luftdichte ist und C D {\displaystyle C_{\mathrm {D} }} ist der Luftwiderstandsbeiwert, der als konstant angenommen wird, obwohl er im Allgemeinen von der Reynolds-Zahl abhängt.
Unter der Annahme, dass ein Objekt aus der Ruhe fällt und sich die Luftdichte mit der Höhe nicht ändert, lautet die Lösung:
v ( t ) = v ∞ tanh ( g t v ∞ ) , {\displaystyle v(t)=v_{\infty }\tanh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right),}
wobei die Endgeschwindigkeit gegeben ist durch
v ∞ = 2 m g ρ C D A. {\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {\frac {2mg}{\rho C_{D}A}}}\,.}
Die Geschwindigkeit des Objekts gegenüber der Zeit kann über die Zeit integriert werden, um die vertikale Position als Funktion der Zeit zu ermitteln:
y = y 0 − v ∞ 2 g ln cosh ( g t v ∞ ) . {\displaystyle y=y_{0}-{\frac {v_{\infty }^{2}}{g}}\ln \cosh \links({\frac {gt}{v_{\infty }}}\rechts).}
Mit der Zahl von 56 m / s für die Endgeschwindigkeit eines Menschen findet man, dass er nach 10 Sekunden 348 Meter gefallen ist und 94% der Endgeschwindigkeit erreicht hat, und nach 12 Sekunden wird er 455 Meter gefallen sein und 97% der Endgeschwindigkeit erreicht haben. Wenn jedoch die Luftdichte nicht als konstant angenommen werden kann, wie bei Objekten, die aus großer Höhe fallen, wird es viel schwieriger, die Bewegungsgleichung analytisch zu lösen, und eine numerische Simulation der Bewegung ist normalerweise notwendig. Die Abbildung zeigt die Kräfte, die auf Meteoroiden wirken, die durch die obere Erdatmosphäre fallen. HALO-Sprünge, darunter die Rekordsprünge von Joe Kittinger und Felix Baumgartner, gehören ebenfalls in diese Kategorie.
Gravitationsfeldbearbeiten
Man kann sagen, dass zwei Objekte im Weltraum, die sich in Abwesenheit anderer Kräfte umkreisen, im freien Fall umeinander sind, z. B. dass der Mond oder ein künstlicher Satellit um die Erde „fällt“ oder ein Planet um die Sonne „fällt“. Die Annahme sphärischer Objekte bedeutet, dass die Bewegungsgleichung durch das Newtonsche Gesetz der universellen Gravitation geregelt wird, wobei Lösungen für das gravitative Zweikörperproblem elliptische Bahnen sind, die Keplers Gesetzen der Planetenbewegung gehorchen. Diese Verbindung zwischen fallenden Objekten in der Nähe der Erde und umkreisenden Objekten wird am besten durch das Gedankenexperiment Newtons Kanonenkugel veranschaulicht.
Die Bewegung zweier Objekte, die sich ohne Drehimpuls radial aufeinander zu bewegen, kann als Sonderfall einer elliptischen Umlaufbahn mit der Exzentrizität e = 1 (radiale elliptische Flugbahn) angesehen werden. Auf diese Weise kann die Freifallzeit für zwei Punktobjekte auf einem radialen Pfad berechnet werden. Die Lösung dieser Bewegungsgleichung ergibt die Zeit als Funktion der Trennung:
t ( y ) = y 0 3 2 μ ( y y 0 ( 1 − y y 0 ) + arccos y y 0 ) , {\displaystyle t(y)={\sqrt {\frac {{y_{0}}^{3}}{2\mu }}}\left({\sqrt {{\frac {y}{y_{0}}}\left(1-{\frac {y}{y_{0}}}\right)}}+\arccos {\sqrt {\frac {y}{y_{0}}}}\right),}
wobei
t {\displaystyle t} die Zeit nach Beginn des Sturzes ist y {\displaystyle y} ist der Abstand von den Körpern y 0 {\displaystyle y_{0}} ist der Anfangswert von y {\displaystyle y} μ = G ( m 1 + m 2 ) {\displaystyle \mu =G(m_{1}+m_{2})} ist der Standardgravitationsparameter.
Setzt man y = 0 {\displaystyle y=0} ein, so erhält man die Freifallzeit.
Die Trennung als Funktion der Zeit ist durch die Umkehrung der Gleichung gegeben. Die Umkehrung wird genau durch die analytische Potenzreihe dargestellt:
y ( t ) = ∑ n = 1 ∞ ) ] . {\displaystyle y(t)=\Summe _{n=1}^{\infty }\links\rechts)\rechts].}
Die Auswertung ergibt: