Ensartet gravitasjonsfelt uten luftmotstand [rediger / rediger kilde]
dette er «læreboken» om vertikal bevegelse av et objekt som faller en liten avstand nær overflaten av en planet. Det er en god tilnærming i luft så lenge tyngdekraften på objektet er mye større enn luftmotstandens kraft, eller tilsvarende er objektets hastighet alltid mye mindre enn terminalhastigheten (se nedenfor).
v ( t ) = v 0 + g t {\displaystyle v(t)=v_{0}+gt\,} y ( t ) = v 0 t + y 0 + 1 2 g t 2 {\displaystyle y(t)=v_{0}t+y_{0}+{\frac {1}{2}}gt^{2}}
hvor
v 0 {\displaystyle v_{0}\,} er starthastigheten (m/s). v (t) {\displaystyle v(t)\,} er den vertikale hastigheten med hensyn til tiden (m/s). y 0 {\displaystyle y_{0}\,} er den første høyden (m). y (t) {\displaystyle y(t)\,} er høyden med hensyn til tiden (m). t {\displaystyle t\,} er tiden som er gått (s). g {\displaystyle g\,} er akselerasjonen på grunn av tyngdekraften (9,81 m / s2 nær jordens overflate).
Ensartet gravitasjonsfelt med luftmotstandrediger
Accelerasjon av en liten meteoroid når du kommer inn I Jordens atmosfære ved forskjellige innledende hastigheter.
dette tilfellet, som gjelder for fallskjermhoppere, fallskjermhoppere eller et hvilket som helst massekropp, m {\displaystyle m} og tverrsnittsareal , a {\displaystyle a}, med Reynolds tall godt over det kritiske Reynolds tallet , slik at luftmotstanden er proporsjonal med kvadratet av fallhastigheten, v {\displaystyle v}, har en bevegelsesligning
m d v d t = m g-1 2 ρ c d A v 2, {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg − {\frac {1}{2}}\rho c_{\Mathrm {d} }av^{2}\,,}
hvor ρ {\displaystyle \rho } er lufttettheten og C d {\displaystyle C_ {\mathrm {d} }} er dragkoeffisienten, antatt å være konstant, selv om den generelt vil avhenge Av Reynolds-tallet.
Forutsatt at et objekt faller fra hvile og ingen endring i lufttetthet med høyde, er løsningen:
v ( t ) = v ∞ tanh ( g t v ∞ ) , {\displaystyle v(t)=v_{\infty }\tanh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right),}
hvor terminalhastigheten er gitt av
v ∞ = 2 m g ρ C d a . {\displaystyle v_ {\infty} ={\sqrt {\frac {2mg} {\rho C_ {D}a}}}\,.}
objektets hastighet mot tid kan integreres over tid for å finne den vertikale posisjonen som en funksjon av tid:
y = y 0 − v ∞ 2 g ln cosh (g t v ∞ ) . {\displaystyle y = y_{0} – {\frac {v_ {\infty } ^{2}} {g}} \ ln \ cosh \ venstre ({\frac {gt}{v_{\infty }}}\høyre).}
Ved å Bruke tallet 56 m / s for terminalhastigheten til et menneske, finner man at etter 10 sekunder vil han ha falt 348 meter og oppnådd 94% av terminalhastigheten, og etter 12 sekunder vil han ha falt 455 meter og vil ha oppnådd 97% av terminalhastigheten. Men når lufttettheten ikke kan antas å være konstant, for eksempel for objekter som faller fra høy høyde, blir bevegelsesligningen mye vanskeligere å løse analytisk, og en numerisk simulering av bevegelsen er vanligvis nødvendig. Figuren viser kreftene som virker på meteoroider som faller gjennom Jordens øvre atmosfære. HALO jumps, inkludert Joe Kittinger og Felix Baumgartners rekordhopp, tilhører også denne kategorien.
inverse-square law gravitasjonsfeltrediger
det kan sies at to objekter i rommet som går i bane rundt hverandre i fravær av andre krefter, er i fritt fall rundt hverandre, for Eksempel At Månen eller en kunstig satellitt «faller rundt» Jorden, eller en planet «faller rundt» Solen. Forutsatt sfæriske objekter betyr at bevegelsesligningen styres Av Newtons lov om universell gravitasjon, med løsninger på gravitasjonsproblemet som er elliptiske baner som overholder Keplers lover om planetarisk bevegelse. Denne sammenhengen mellom fallende gjenstander nær Jorden og bane objekter er best illustrert av tankeeksperimentet, Newtons kanonkule.
bevegelsen av to objekter som beveger seg radialt mot hverandre uten drivmoment kan betraktes som et spesielt tilfelle av en elliptisk bane med eksentrisitet e = 1 (radial elliptisk bane). Dette gjør det mulig å beregne fritt fall tid for to punkt objekter på en radial bane. Løsningen av denne bevegelsesligningen gir tid som en funksjon av separasjon:
t (y ) = y 0 3 2 μ (y y 0 (1-y y 0) + arccos y y 0), {\displaystyle t (y)={\sqrt {\frac {{y_{0}}^{3}}{2\mu }}}\venstre({\sqrt {{\frac {y}{y_{0}}}\venstre(1-{\frac {y}{y_{0}}\høyre)}}+\arccos {\sqrt {\frac {y} {y_{0}}}\høyre),}
hvor
t {\displaystyle t} er tiden etter starten av fallet y {\displaystyle y} er avstanden mellom sentrene til legemene er y 0 {\displaystyle y_{0}} den opprinnelige verdien av y {\displaystyle y} μ = g ( m 1 + m 2 ) {\displaystyle \mu =g(m_{1}+m_{2})} standard gravitasjonsparameter.
Ved Å Erstatte y = 0 {\displaystyle y = 0} får vi fritt fall-tiden.
separasjonen som en funksjon av tid er gitt av den inverse av ligningen. Den inverse representeres nøyaktig av analytic power-serien:
y (t) = ∑ n = 1 hryvnja)]. {\displaystyle y (t)= \ sum _{n = 1}^{\infty } \ venstre \ høyre) \ høyre].}
Evaluering av dette gir: