Uniform gravitational field without air resistanceEdit
tämä on ”oppikirjan” tapaus pienen matkan päässä planeetan pinnasta putoavan kappaleen pystysuorasta liikkeestä. Se on hyvä approksimaatio ilmassa, kunhan kappaleeseen kohdistuva painovoima on paljon suurempi kuin ilmanvastuksen voima tai vastaavasti kappaleen nopeus on aina paljon pienempi kuin terminaalinopeus (KS.alla).
v ( t ) = v 0 + g t {\displaystyle v(t)=v_{0}+gt\,} y ( T ) = V 0 t + y 0 + 1 2 g t 2 {\displaystyle y(t)=v_{0}t+y_{0}+{\frac {1}{2}}gt^{2}}
missä
V 0 {\displaystyle v_{0}\,} on alkunopeus (m/s). v(t ) {\displaystyle v (t)\,} on pystynopeus suhteessa aikaan (m/s). y 0 {\displaystyle y_{0}\,} on lähtökorkeus (m). y (t) {\displaystyle y(t)\,} on korkeus suhteessa aikaan (m). t {\displaystyle t\,} on kulunut (s) aika. g {\displaystyle g\,} on painovoiman aiheuttama kiihtyvyys (9,81 m / s2 lähellä maan pintaa).
Uniform gravitational field with air resistanceEdit
pienen meteoroidin kiihtyminen saapuessaan maan ilmakehään eri alkunopeuksilla.
tässä tapauksessa, joka koskee laskuvarjohyppääjiä, laskuvarjohyppääjiä tai mitä tahansa massaista kappaletta m {\displaystyle m} ja poikkipinta-alaa A {\displaystyle A}, jossa Reynoldsin luku on selvästi kriittistä Reynoldsin lukua suurempi , niin että ilmanvastus on verrannollinen putoamisnopeuden neliöön v {\displaystyle v}, on liikkeen yhtälö
m d v d t = m g − 1 2 ρ C D A v 2, {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\frac {1}{2}}\Rho C_{\mathrm {d} }av^{2}\,,}
missä ρ {\displaystyle \rho } on ilman tiheys ja C D {\displaystyle C_{\mathrm {d} }} on ilmanvastuskerroin, jonka oletetaan olevan vakio, vaikka yleensä se riippuu Reynoldsin luvusta.
olettaen, että kohde putoaa levosta eikä ilman tiheys muutu korkeuden mukana, ratkaisu on:
v ( t ) = v ∞ tanh ( g t v∞), {\displaystyle v(t)=v_{\infty }\tanh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right),}
, jossa päätenopeudeksi saadaan
v ∞ = 2 m G ρ C. D. A. {\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {\frac {2mg}{\rho C_{D}A}}\,.}
kohteen nopeus vs. aika voidaan integroida ajan kuluessa, jolloin pystypaikka Löytyy ajan funktiona:
y = y 0 − v ∞ 2 g Ln cosh ( g t v ∞ ) . {\displaystyle y=y_{0} – {\frac {v_{\infty }^{2}}{g}}\ln \cosh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right).}
käyttämällä lukua 56 m / s ihmisen loppunopeudelle voidaan todeta, että 10 sekunnin kuluttua hän on pudonnut 348 metriä ja saavuttanut 94% loppunopeudesta, ja 12 sekunnin kuluttua hän on pudonnut 455 metriä ja saavuttanut 97% loppunopeudesta. Kun ilman tiheyden ei kuitenkaan voida olettaa olevan vakio, kuten korkealta putoavien kappaleiden kohdalla, liikkeen yhtälö muuttuu paljon vaikeammaksi ratkaista analyyttisesti ja liikkeen numeerinen simulointi on yleensä tarpeen. Kuvassa näkyvät maan yläilmakehän läpi putoaviin meteoroideihin vaikuttavat voimat. HALO-hypyt, kuten Joe Kittingerin ja Felix Baumgartnerin ennätyshypyt, kuuluvat myös tähän kategoriaan.
Käänteisneliölain gravitaatiokenttäedit
voidaan sanoa, että kaksi avaruudessa toisiaan muiden voimien puuttuessa kiertävää kohdetta ovat vapaassa pudotuksessa toistensa ympäri, esimerkiksi että kuu tai keinotekoinen satelliitti ”putoaa” maan ympäri tai planeetta ”putoaa” Auringon ympäri. Olettaen pallomaisten kappaleiden merkitsevän sitä, että liikkeen yhtälöä säätelee Newtonin universaalinen gravitaatiolaki, ja ratkaisut kahden kappaleen gravitaatio-ongelmaan ovat ellipsinmuotoisia ratoja, jotka noudattavat Keplerin planeettojen liikelakeja. Tätä yhteyttä lähellä maata olevien putoavien kappaleiden ja maata kiertävien kappaleiden välillä kuvaa parhaiten ajatuskoe, Newtonin tykinkuula.
kahden toisiaan kohti säteittäisesti liikkuvan kappaleen liikettä ilman kulmamomenttia voidaan pitää erikoistapauksena elliptisellä radalla, jonka eksentrisyys on E = 1 (radial elliptinen rata). Näin voidaan laskea kahden pisteen putoamisaika säteittäisellä radalla. Tämän liikkeen yhtälön ratkaisu tuottaa ajan erotusfunktiona:
t (y) = y 0 3 2 μ ( y y 0 ( 1 − y y 0) + arccos y y 0), {\displaystyle t(y)={\sqrt {\frac {{y_{0}}^{3}}{2\mu }}}\left({\sqrt {{\frac {y}{y_{0}}}\left(1-{\frac {y}{y_{0}}}\right)}}+\arccos {\sqrt {\frac {y}{y_{0}}}}\right),}
missä
t {\displaystyle T} on laskun alkamisen jälkeinen aika y {\displaystyle y} on kappaleiden keskipisteiden välinen etäisyys y 0 {\displaystyle Y_{0}} on kappaleen y {\displaystyle y} μ = g ( m 1 + m 2 ) {\displaystyle \mu =g(M_{1}+M_{2})} alkuarvo.
korvaamalla y = 0 {\displaystyle y = 0} saamme vapaan putoamisen ajan.
erotuksen ajan funktiona antaa yhtälön käänteisluku. Käänteisluku esitetään täsmälleen analyyttisellä potenssisarjalla:
y (t) = ∑ n = 1∞)]. {\displaystyle y (t) = \sum _{n=1}^{\infty }\left\right)\right].}
tämän tuotoksen arviointi: