Deformace (fyzika)

Napětí je měřítkem deformace představuje posunutí mezi částicemi v těle relativní k referenční délce.

obecná deformace tělesa může být vyjádřena ve tvaru x = F (X), kde X je referenční Poloha hmotných bodů v těle. Takové opatření nerozlišuje mezi tuhými pohyby těla (překlady a rotace) a změnami tvaru (a velikosti) těla. Deformace má jednotky délky.

We could, for example, define strain to be

ε ≐ ∂ ∂ X ( x − X ) = F ′ − I , {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}‘-{\boldsymbol {I}},}

where I is the identity tensor.Kmeny jsou tedy bezrozměrné a obvykle se vyjadřují jako desetinný zlomek, procento nebo v částech-na notaci. Kmeny měří, jak moc se daná deformace lokálně liší od deformace tuhého těla.

kmen je obecně tenzorová veličina. Fyzický vhled do kmenů lze získat pozorováním, že daný kmen lze rozložit na normální a smykové složky. Množství protažení nebo komprese podél materiál, linie prvků nebo vlákna je normální kmen, a množství zkreslení spojené s posunutím v rovině vrstev nad sebou je smykové napětí, v deformování těla. To by mohlo být aplikováno prodloužením, zkrácením nebo změnami objemu nebo úhlovým zkreslením.

stav napětí na hmotný bod kontinua tělo je definována jako souhrn všech změn v délce materiálu linek nebo vlákna, normální napětí, které procházejí že bod a také souhrn všech změn v úhlu mezi dvojicemi linek původně na sebe kolmé, smykové namáhání, vyzařující z tohoto místa. Postačí však znát normální a smykové složky napětí na množině tří vzájemně kolmých směrů.

pokud dojde ke zvýšení délky linie materiálu, normální napětí se nazývá tahové napětí, jinak, pokud dojde ke snížení nebo stlačení délky linie materiálu, nazývá se tlakové napětí.

Kmen measuresEdit

v Závislosti na výši napětí, nebo místní deformace, analýza deformace je rozdělena do tří deformace teorie:

• Konečné napětí teorie, rovněž nazývané teorie velkého namáhání, velké deformace teorie, se zabývá deformací, ve které obě rotace a kmeny jsou libovolně velké. V tomto případě jsou nedeformované a deformované konfigurace kontinua výrazně odlišné a mezi nimi je třeba jasně rozlišovat. To je běžně případ elastomerů, plasticky deformujících materiálů a dalších tekutin a biologických měkkých tkání.
• infinitezimální teorie deformace, také nazývaná Teorie malého napětí, teorie malé deformace, Teorie malého posunu nebo Teorie malého posunu-gradientu, kde kmeny a rotace jsou malé. V tomto případě lze nedeformované a deformované konfigurace těla předpokládat totožné. Infinitezimální teorie deformace se používá při analýze deformací materiálů vykazujících elastické chování, jako jsou materiály nalezené ve strojírenských a stavebních aplikacích, např. beton a ocel.
• Teorie velkého posunu nebo velké rotace, která předpokládá malé kmeny, ale velké rotace a posuny.

v každé z těchto teorií je potom kmen definován odlišně. Strojírenský kmen je nejběžnější definicí aplikovanou na materiály používané ve strojírenství a stavebnictví, které jsou vystaveny velmi malým deformacím. Na druhou stranu, u některých materiálů, např. elastomerů a polymerů, vystaveny velké deformace, inženýrství definice kmen, není použitelný, např. typické inženýrství kmeny větší než 1%, tedy jiné složitější definice napětí jsou nutné, jako je stretch, logaritmické namáhání, Zelená kmen, a Almansi napětí.

Inženýrství strainEdit

Cauchyho napětí nebo inženýrské napětí je vyjádřeno jako poměr celkové deformaci do původního rozměru hmotné tělo, ve kterém síly, které jsou používány. Inženýrské normální napětí nebo strojírenství extenzionálním deformace nebo nominální napětí e z materiálu řádku prvek nebo vlákno osově zatížené je vyjádřena jako změna délky ΔL na jednotku původní délka L řádku prvek nebo vláken. Normální napětí je pozitivní, pokud jsou materiálová vlákna napnutá a negativní, pokud jsou stlačena. Tak, máme

e = Δ L = l − L L {\displaystyle \ e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {l L}{L}}}

kde e je strojírenství normální napětí, L je původní délka vlákna a l je konečné délky vlákna. Míry kmene jsou často vyjádřeny v částech na milion nebo mikrostrains.

skutečné smykové napětí je definováno jako změna v úhlu (v radiánech) mezi dvěma materiálu-line prvky, původně na sebe kolmé v nedeformovaná nebo počáteční konfigurace. Inženýrské smykové napětí je definováno jako tečna tohoto úhlu a je rovno délce deformace na svém maximu děleno kolmou délkou v rovině působení síly, což někdy usnadňuje výpočet.

Stretch ratioEdit

stretch poměr nebo rozšíření poměr je měřítkem extenzionálním nebo normální napětí diferenciální line prvek, který může být definován buď na nedeformované konfiguraci nebo deformované konfiguraci. Je definován jako poměr mezi konečnou délkou l a počáteční délkou L linie materiálu.

λ = l {\displaystyle \ \lambda ={\frac {l}{L}}}

příponu poměr je přibližně vztahující se k inženýrství kmen

e = l − L L = λ − 1 {\displaystyle \ e={\frac {l L}{L}}=\lambda -1}

z Této rovnice vyplývá, že normální napětí je nulové, tak, že neexistuje žádná deformace, kdy úsek je roven jednotě.

stretch poměr se používají v analýze materiálů, které vykazují velké deformace, jako jsou elastomery, které mohou udržet úsek poměry 3 nebo 4, než selžou. Na druhé straně tradiční strojírenské materiály, jako je beton nebo ocel, selhávají při mnohem nižších poměrech roztažení.

True strainEdit

logaritmický kmen ε, nazývaný také pravý kmen nebo henckyho kmen. Vzhledem dílčí napětí (Zákazníci)

δ ε = δ l l {\displaystyle \ \delta, \varepsilon ={\frac {\delta l}{l}}}

logaritmické přetvoření je dosaženo integrací tohoto dílčích napětí:

∫ δ ε = ∫ L L δ l l ε = ln ⁡ ( l l ) = ln ⁡ ( λ ) = ln ⁡ ( 1 + e ) = e − e 2 2 + e 3 3 − ⋯ {\displaystyle \ {\begin{aligned}\int \delta, \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \\\end{aligned}}}

kde e je inženýrský kmen. Logaritmický kmen poskytuje správné měření konečného kmene, když deformace probíhá v řadě přírůstků, s přihlédnutím k vlivu dráhy kmene.

Green straineditovat

zelený kmen je definován jako:

ε G = 1 2 ( l 2 − L 2 L 2 ) = 1 2 ( λ 2 − 1 ) {\displaystyle \ \varepsilon _{G}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)}

Almansi strainEdit

Euler-Almansi napětí je definován jako

ε E = 1 2 ( l 2 − L 2 l 2 ) = 1 2 ( 1 − 1 λ 2 ) {\displaystyle \ \varepsilon _{E}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{l^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}

normálová a smyková strainEdit

kmeny jsou klasifikovány jako normální nebo smykové. Normální napětí je kolmé na čelní stranu prvku a smykové napětí je rovnoběžné s ním. Tyto definice jsou v souladu s definicemi normálního napětí a smykového napětí.

normální napjatost

u izotropního materiálu, který se řídí Hookeovým zákonem, způsobí normální napětí normální napětí. Normální kmeny způsobují dilatace.

Vezměme si dvě-dimenzionální, nekonečně malý, obdélníkový prvek s rozměry dx × dy, které se po deformaci, má podobu kosočtverce. Deformace je popsána posunovacím polem u. Z geometrie přilehlé, že máme

l e n g t h ( B ) = d {x} \displaystyle \mathrm {délka} (AB)=dx\,}

a

l e n g t h ( b ) = ( d x + ∂ u x ∂ x d x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x d x v x ) 2 = d x 2 ( 1 + ∂ u x ∂ x ) 2 + d x 2 ( ∂ u y ∂ x ) 2 = d x ( 1 + ∂ u x ∂ x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x ) 2 ≈ d x ( 1 + ∂ u x ∂ x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {délka} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&={\sqrt {dx^{2}\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+dx^{2}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&\cca dx\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)\end{aligned}}\,\!}

Pro velmi malé posunutí přechody na náměstí derivace u y {\displaystyle u_{y}}

jsou zanedbatelné a máme l e n g t h ( b ) ≈ d x + ∂ u x ∂ x d x {\displaystyle \mathrm {délka} (ab)\approx dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}

normálové namáhání ve směru x obdélníkový prvek je definován

ε x = prodloužení původní délky = l e n g t h ( b ) − l e n g t h ( B ) l e n g t h ( B ) = ∂ u x ∂ x {\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\text{přípona}}{\text{původní délky}}}={\frac {\mathrm {délka} (ab)-\mathrm {délka} (AB)}{\mathrm {délka} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}

Podobně normální napětí v y – a z-směry stává

ε y = ∂ u y ∂ y , ε z = ∂ u z ∂ z, {\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\parciální y}}\quad, \qquad \ varepsilon _{z}={\frac {\parciální u_{z}}{\parciální z}}\,\!}

Smykové strainEdit

Smykové namáhání

γ nebo ε

jednotky

1, nebo radian

γ = τ/G

inženýrské namáhání ve smyku (yxy) je definována jako změna úhlu mezi přímkami AC a AB. Proto

γ x y = α + β {\displaystyle \ gamma _{xy}= \ alpha + \ beta \,\!}

Z geometrie na obrázku, máme

tan ⁡ α = ∂ u y ∂ x d x d x + ∂ u x ∂ x d x = ∂ u y ∂ x 1 + ∂ u x ∂ x tan ⁡ β = ∂ u x ∂ y d y d y + ∂ u y ∂ y d y = ∂ u x ∂ y 1 + ∂ u y ∂ y {\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}\end{aligned}}}

Pro malé posunutí přechody máme

∂ u x ∂ x ≪ 1 ; ∂ u y ∂ y ≪ 1 {\displaystyle {\cfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~~{\cfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}\ll 1}

Pro malé otáčky, tj. α a β jsou ≪ 1 máme tan α ≈ α, tan β ≈ β. Proto,

α ≈ ∂ u y ∂ x ; β ≈ ∂ u x ∂ y {\displaystyle \alpha \ca {\cfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}~;~~\beta \ca {\cfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}}

tedy

γ x y = α + β = ∂ u y ∂ x + ∂ u x ∂ y {\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\,\!}

zaměněním x a y a ux a uy lze ukázat, že yxy = yyx.

Podobně, yz a xz-letadla, máme

γ y z = y z, y = ∂ u y ∂ z + ∂ u z ∂ y , γ z x = γ x z = ∂ u z ∂ x + ∂ u x ∂ z {\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{a}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\,\!}

tensorial smykové namáhání součásti infinitezimální tenzor napětí pak mohou být vyjádřeny pomocí inženýrství definice namáhání, γ, jako

ε _ _ = = {\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}=\left=\left\,\!}

Metrické tensorEdit

kmen pole spojené s výtlakem je definována v každém bodě tím, že změna v délce tečné vektory reprezentující rychlosti libovolně parametrizovat křivky procházející tímto bodem. Základní geometrické výsledek, vzhledem k Fréchet, von Neumann a Jordan, se uvádí, že, pokud délek tečné vektory splňují axiomy normy a rovnoběžník zákon, pak délka vektoru je odmocnina z hodnoty kvadratické formy souborům, polarizace vzorec, s pozitivně definitní bilineární mapa tzv. metrický tenzor.