La deformación es una medida de deformación que representa el desplazamiento entre partículas en el cuerpo en relación con una longitud de referencia.
Una deformación general de un cuerpo puede expresarse en la forma x = F (X) donde X es la posición de referencia de los puntos de material en el cuerpo. Tal medida no distingue entre los movimientos rígidos del cuerpo (traslaciones y rotaciones) y los cambios en la forma (y el tamaño) del cuerpo. Una deformación tiene unidades de longitud.
We could, for example, define strain to be
ε ≐ ∂ ∂ X ( x − X ) = F ′ − I , {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}’-{\boldsymbol {I}},}
where I is the identity tensor.Por lo tanto, las deformaciones son adimensionales y generalmente se expresan como una fracción decimal, un porcentaje o en partes por notación. Las deformaciones miden cuánto difiere localmente una deformación dada de una deformación de cuerpo rígido.
Una cepa es en general una cantidad de tensores. Se puede obtener una visión física de las cepas observando que una cepa determinada puede descomponerse en componentes normales y de corte. La cantidad de estiramiento o compresión a lo largo de los elementos o fibras de la línea de material es la deformación normal, y la cantidad de distorsión asociada con el deslizamiento de capas planas entre sí es la deformación cortante, dentro de un cuerpo deformante. Esto podría aplicarse por alargamiento, acortamiento, cambios de volumen o distorsión angular.
El estado de deformación en un punto material de un cuerpo continuo se define como la totalidad de todos los cambios en la longitud de las líneas o fibras de material, la deformación normal, que pasan a través de ese punto y también la totalidad de todos los cambios en el ángulo entre pares de líneas inicialmente perpendiculares entre sí, la deformación cortante, que irradia desde este punto. Sin embargo, es suficiente conocer los componentes normal y cortante de la tensión en un conjunto de tres direcciones perpendiculares entre sí.
Si hay un aumento en la longitud de la línea de material, la tensión normal se denomina tensión de tracción, de lo contrario, si hay reducción o compresión en la longitud de la línea de material, se denomina tensión de compresión.
Mediciones de deformacióneditar
Dependiendo de la cantidad de deformación, o deformación local, el análisis de la deformación se subdivide en tres teorías de deformación:
- La teoría de deformación finita, también llamada teoría de deformación grande, se ocupa de deformaciones en las que tanto las rotaciones como las deformaciones son arbitrariamente grandes. En este caso, las configuraciones deformadas y no deformadas del continuo son significativamente diferentes y se debe hacer una clara distinción entre ellas. Este es comúnmente el caso con elastómeros, materiales plásticamente deformantes y otros fluidos y tejidos blandos biológicos.
- Teoría de deformación infinitesimal, también llamada teoría de deformación pequeña, teoría de deformación pequeña, teoría de desplazamiento pequeño o teoría de gradiente de desplazamiento pequeño donde las deformaciones y rotaciones son pequeñas. En este caso, las configuraciones deformadas y no deformadas del cuerpo se pueden suponer idénticas. La teoría de deformación infinitesimal se utiliza en el análisis de deformaciones de materiales que exhiben comportamiento elástico, como materiales que se encuentran en aplicaciones mecánicas y de ingeniería civil, por ejemplo, hormigón y acero.
- Teoría de gran desplazamiento o gran rotación, que asume pequeñas deformaciones pero grandes rotaciones y desplazamientos.
En cada una de estas teorías, la cepa se define de manera diferente. La deformación de ingeniería es la definición más común aplicada a los materiales utilizados en ingeniería mecánica y estructural, que están sujetos a deformaciones muy pequeñas. Por otro lado, para algunos materiales, por ejemplo elastómeros y polímeros, sometidos a grandes deformaciones, la definición de deformación técnica no es aplicable, por ejemplo, las deformaciones técnicas típicas superiores al 1%, por lo que se requieren otras definiciones más complejas de deformación, como estiramiento, deformación logarítmica, deformación verde y deformación Almansi.
Deformación de ingenieríaeditar
La deformación de Cauchy o deformación de ingeniería se expresa como la relación entre la deformación total y la dimensión inicial del cuerpo material en el que se aplican las fuerzas. La deformación normal de ingeniería o deformación extensional de ingeniería o deformación nominal e de un elemento de línea de material o fibra cargada axialmente se expresa como el cambio en la longitud ΔL por unidad de la longitud original L del elemento de línea o fibras. La deformación normal es positiva si las fibras del material se estiran y negativa si se comprimen. Por lo tanto, tenemos
e = Δ L L = l − L L {\displaystyle \ e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {l-L}{L}}}
donde e es la ingeniería de tensión normal, L es la longitud original de la fibra y l es la longitud final de la fibra. Las medidas de deformación a menudo se expresan en partes por millón o microstrains.
La tensión de corte verdadera se define como el cambio en el ángulo (en radianes) entre dos elementos de línea de material inicialmente perpendiculares entre sí en la configuración inicial o no formada. La deformación cortante de ingeniería se define como la tangente de ese ángulo, y es igual a la longitud de deformación en su máximo dividido por la longitud perpendicular en el plano de aplicación de la fuerza, lo que a veces hace que sea más fácil de calcular.
Ratioeditar
La relación de estiramiento o relación de extensión es una medida de la deformación extensional o normal de un elemento de línea diferencial, que se puede definir en la configuración no formada o en la configuración deformada. Se define como la relación entre la longitud final l y la longitud inicial L de la línea de material.
λ = l L {\displaystyle \ \ lambda ={\frac {l} {L}}}
La relación de extensión está aproximadamente relacionada con la deformación de ingeniería por
e = l – L L = λ-1 {\displaystyle \ e = {\frac {l-L} {L}}= \ lambda -1}
Esta ecuación implica que la deformación normal es cero, de modo que no hay deformación cuando el estiramiento es igual a la unidad.
La relación de estiramiento se utiliza en el análisis de materiales que presentan grandes deformaciones, como elastómeros, que pueden mantener relaciones de estiramiento de 3 o 4 antes de que fallen. Por otro lado, los materiales de ingeniería tradicionales, como el hormigón o el acero, fallan a proporciones de estiramiento mucho más bajas.
strainEdit verdadero
La cepa logarítmica ε, también llamada cepa verdadera o cepa Hencky. Considerando una deformación incremental (Ludwik)
δ ε = δ l l {\displaystyle \ \ delta \ varepsilon ={\frac {\delta l} {l}}}
la deformación logarítmica se obtiene integrando esta deformación incremental:
∫ δ ε = ∫ L l d l l ε = ln ( l L ) = ln ( λ ) = ln ( 1 + e ) = e − e 2 2 + e 3 3 − ⋯ {\displaystyle \ {\begin{aligned}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \\\end{aligned}}}
donde e es la tensión de ingeniería. La deformación logarítmica proporciona la medida correcta de la deformación final cuando la deformación tiene lugar en una serie de incrementos, teniendo en cuenta la influencia de la trayectoria de la deformación.
strainEdit verde
La cepa verde se define como:
ε G = 1 2 ( l 2 − L 2 L 2 ) = 1 2 ( λ 2 − 1 ) {\displaystyle \ \varepsilon _{G}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)}
Almansi strainEdit
de Euler-Almansi tensión se define como
ε E = 1 2 ( l 2 − L 2 l 2 ) = 1 2 ( 1 − 1 λ 2 ) {\displaystyle \ \varepsilon _{E}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{l^{2}}}\derecho)={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}
Normal y cortante strainEdit
las Cepas se clasifican como normales o de cizallamiento. Una deformación normal es perpendicular a la cara de un elemento, y una deformación cortante es paralela a ella. Estas definiciones son consistentes con las de esfuerzo normal y esfuerzo cortante.
Tensión normaleditar
Para un material isotrópico que obedece la ley de Hooke, una tensión normal causará una tensión normal. Las cepas normales producen dilataciones.
Considere un elemento de material rectangular bidimensional, infinitesimal, con dimensiones dx × dy, que, después de la deformación, toma la forma de un rombo. La deformación se describe por el campo de desplazamiento u. A partir de la geometría de la figura adyacente tenemos
l e n g t h ( a, B ) = d x {\displaystyle \mathrm {longitud} (AB)=dx\,}
y
l e n g t h ( a b ) = ( d x + ∂ u x ∂ x d x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x d x ) 2 = d x 2 ( 1 + ∂ u x ∂ x ) 2 + d x 2 ( ∂ u y ∂ x ) 2 = d x ( 1 + ∂ u x ∂ x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x ) 2 ≈ d x ( 1 + ∂ u x ∂ x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {longitud} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\derecho)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\derecho)^{2}}}\\&={\sqrt {dx^{2}\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+dx^{2}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&\aprox dx\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\derecho)\end{aligned}}\,\!}
Para gradientes de desplazamiento muy pequeños, el cuadrado de la derivada de u y {\displaystyle u_{y}}
son insignificantes y tenemos l e n g t h ( a b ) ≈ d x + ∂ u x ∂ x d x {\displaystyle \mathrm {longitud} (ab)\approx dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}
La deformación normal en la dirección x del elemento rectangular se define por
ε x = extensión longitud original = l e n g t h ( a b)-l e n g t h ( A B ) l e n g t h ( A B ) = ∂ u x ∂ x {\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\text{extensión}}{\text{longitud original}}}={\frac {\mathrm {longitud} (ab)-\mathrm {longitud} (AB)}{\mathrm {longitud} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}
del mismo modo, la tensión normal en la y – y z-las direcciones se convierte en
ε y = ∂ u y ∂ y , ε z = ∂ u z ∂ z {\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\,\!}
Esfuerzo cortante
γ o ε
1, o radián
otras cantidades
γ = τ / G
La deformación cortante de ingeniería (yxy) se define como el cambio de ángulo entre las líneas AC y AB. Por lo tanto,
γ x y = α + β {\displaystyle \ gamma _{xy}= \ alpha + \ beta\,\!}
a partir De la geometría de la figura, tenemos
tan α = ∂ u y ∂ x d x d x + ∂ u x ∂ x d x = ∂ u y ∂ x 1 + ∂ u x ∂ x tan β = ∂ u x ∂ y d y d y + ∂ u y ∂ y d y = ∂ u x ∂ y 1 + ∂ u y ∂ y {\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}\end{aligned}}}
Para pequeños desplazamientos de los gradientes tenemos
∂ u x ∂ x ≪ 1 ; ∂ u y ∂ y ≪ 1 {\displaystyle {\cfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~~{\cfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}\ll 1}
Para las pequeñas rotaciones, es decir, α y β son ≪ 1 tenemos tan α ≈ α, tan β ≈ β. Por lo tanto,
α ≈ ∂ u y ∂ x ; β ≈ ∂ u x ∂ y {\displaystyle \alpha \aprox {\cfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}~;~~\beta \aprox {\cfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}}
por lo tanto
γ x y = α + β = ∂ u y ∂ x + ∂ u x ∂ y {\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\,\!}
Intercambiando x e y y ux y uy, se puede demostrar que yxy = yyx.
del mismo modo, para la yz y xz-aviones, tenemos
γ y z = γ z y = ∂ u y ∂ z + ∂ u z ∂ y , γ z x = γ x z = ∂ u z ∂ x + ∂ u x ∂ z {\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\,\!}
Los componentes de deformación tensorial del tensor de deformación infinitesimal se pueden expresar usando la definición de deformación de ingeniería, γ, como
ε _ _ = = {\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}} = \ left = \left\,\!}
Tensor métricoeditar
Un campo de deformación asociado con un desplazamiento se define, en cualquier punto, por el cambio en la longitud de los vectores tangentes que representan las velocidades de curvas arbitrariamente parametrizadas que pasan a través de ese punto. Un resultado geométrico básico, debido a Fréchet, von Neumann y Jordan, establece que, si las longitudes de los vectores tangentes cumplen los axiomas de una norma y la ley del paralelogramo, entonces la longitud de un vector es la raíz cuadrada del valor de la forma cuadrática asociada, por la fórmula de polarización, con un mapa bilineal definido positivo llamado tensor métrico.