La déformation est une mesure de déformation représentant le déplacement entre les particules dans le corps par rapport à une longueur de référence.
Une déformation générale d’un corps peut être exprimée sous la forme x = F(X) où X est la position de référence des points matériels dans le corps. Une telle mesure ne fait pas la distinction entre les mouvements rigides du corps (translations et rotations) et les changements de forme (et de taille) du corps. Une déformation a des unités de longueur.
We could, for example, define strain to be
ε ≐ ∂ ∂ X ( x − X ) = F ′ − I , {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}’-{\boldsymbol {I}},}
where I is the identity tensor.Par conséquent, les souches sont sans dimension et sont généralement exprimées en fraction décimale, en pourcentage ou en parties par notation. Les déformations mesurent à quel point une déformation donnée diffère localement d’une déformation à corps rigide.
Une souche est en général une quantité tensorielle. Un aperçu physique des souches peut être obtenu en observant qu’une souche donnée peut être décomposée en composants normaux et de cisaillement. La quantité d’étirement ou de compression le long des éléments de ligne de matériau ou des fibres est la déformation normale, et la quantité de distorsion associée au glissement de couches planes les unes sur les autres est la déformation de cisaillement, à l’intérieur d’un corps déformant. Cela pourrait être appliqué par allongement, raccourcissement, ou changements de volume, ou distorsion angulaire.
L’état de déformation en un point matériel d’un corps continu est défini comme la totalité de tous les changements de longueur des lignes ou fibres de matériau, la déformation normale, qui passent par ce point et aussi la totalité de tous les changements d’angle entre des paires de lignes initialement perpendiculaires les unes aux autres, la déformation de cisaillement, rayonnant à partir de ce point. Cependant, il suffit de connaître les composantes normale et de cisaillement de la contrainte sur un ensemble de trois directions mutuellement perpendiculaires.
S’il y a une augmentation de la longueur de la ligne de matériau, la contrainte normale est appelée contrainte de traction, sinon, s’il y a réduction ou compression de la longueur de la ligne de matériau, elle est appelée contrainte de compression.
Mesures de déformationmodifier
En fonction de la quantité de déformation, ou de la déformation locale, l’analyse de la déformation est subdivisée en trois théories de déformation:
- La théorie des déformations finies, également appelée théorie des grandes déformations, traite des déformations dans lesquelles les rotations et les déformations sont arbitrairement grandes. Dans ce cas, les configurations non déformées et déformées du continuum sont significativement différentes et une distinction claire doit être faite entre elles. C’est généralement le cas des élastomères, des matériaux déformants plastiquement et d’autres fluides et tissus mous biologiques.
- Théorie des déformations infinitésimales, également appelée théorie des petites déformations, théorie des petites déformations, théorie des petits déplacements ou théorie des petits gradients de déplacement où les déformations et les rotations sont toutes deux petites. Dans ce cas, les configurations non déformées et déformées du corps peuvent être supposées identiques. La théorie des déformations infinitésimales est utilisée dans l’analyse des déformations de matériaux présentant un comportement élastique, tels que les matériaux utilisés dans les applications de génie mécanique et civil, par exemple le béton et l’acier.
- Théorie du grand déplacement ou de la grande rotation, qui suppose de petites déformations mais de grandes rotations et déplacements.
Dans chacune de ces théories, la souche est alors définie différemment. La déformation technique est la définition la plus courante appliquée aux matériaux utilisés en ingénierie mécanique et structurelle, qui sont soumis à de très petites déformations. D’autre part, pour certains matériaux, par exemple des élastomères et des polymères, soumis à de grandes déformations, la définition technique de la déformation n’est pas applicable, par exemple des déformations techniques typiques supérieures à 1%, d’autres définitions plus complexes de la déformation sont donc nécessaires, telles que l’étirement, la déformation logarithmique, la déformation verte et la déformation Almansi.
Contrainte d’ingénieriedit
La déformation de Cauchy ou déformation technique est exprimée comme le rapport de la déformation totale à la dimension initiale du corps de matériau dans lequel les forces sont appliquées. La déformation normale d’ingénierie ou la déformation d’extension d’ingénierie ou la déformation nominale e d’un élément de ligne de matériau ou d’une fibre chargée axialement est exprimée par la variation de longueur ΔL par unité de la longueur d’origine L de l’élément de ligne ou des fibres. La déformation normale est positive si les fibres du matériau sont étirées et négative si elles sont comprimées. Ainsi, nous avons
e = Δ L L = l−L L {\displaystyle\e = {\frac {\Delta L} {L}} = {\frac {l-L} {L}}}
où e est la déformation normale d’ingénierie, L est la longueur d’origine de la fibre et l est la longueur finale de la fibre. Les mesures de déformation sont souvent exprimées en parties par million ou en microstraines.
La contrainte de cisaillement réelle est définie comme la variation de l’angle (en radians) entre deux éléments de ligne de matériau initialement perpendiculaires l’un à l’autre dans la configuration non déformée ou initiale. La contrainte de cisaillement technique est définie comme la tangente de cet angle, et est égale à la longueur de déformation à son maximum divisée par la longueur perpendiculaire dans le plan d’application de la force, ce qui facilite parfois le calcul.
Rapport d’étirementmodifier
Le rapport d’étirage ou le rapport d’extension est une mesure de la contrainte d’extension ou normale d’un élément de ligne différentielle, qui peut être définie soit à la configuration non déformée, soit à la configuration déformée. Il est défini comme le rapport entre la longueur finale l et la longueur initiale L de la ligne de matériau.
λ= l {\displaystyle\\lambda= {\frac{l} {L}}}
Le rapport d’extension est approximativement lié à la souche d’ingénierie par
e = l−L L = λ-1 {\displaystyle\e = {\frac {l-L}{L}} = \lambda -1}
Cette équation implique que la déformation normale est nulle, de sorte qu’il n’y a pas de déformation lorsque l’étirement est égal à l’unité.
Le rapport d’étirement est utilisé dans l’analyse de matériaux présentant de grandes déformations, tels que les élastomères, qui peuvent maintenir des rapports d’étirement de 3 ou 4 avant qu’ils ne tombent en panne. D’autre part, les matériaux d’ingénierie traditionnels, tels que le béton ou l’acier, échouent à des rapports d’étirement beaucoup plus faibles.
Souche vraiedit
La souche logarithmique ε, également appelée, souche vraie ou souche Hencky. Considérant une souche incrémentale (Ludwik)
δ ε = δ l l {\displaystyle\\delta\varepsilon = {\frac {\delta l} {l}}}
la déformation logarithmique est obtenue en intégrant cette déformation incrémentale:
∫ δ ε = ∫ L L δ l l ε = ln ( l l ) = ln ( λ ) = ln ( 1 + e ) = e − e 2 2 + e 3 3 − ⋯ {\displaystyle \ {\begin{aligné}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \\\end{alignés}}}
où e est la souche d’ingénierie. La déformation logarithmique fournit la mesure correcte de la déformation finale lorsque la déformation se produit par une série d’incréments, en tenant compte de l’influence du trajet de déformation.
strainEdit vert
La souche verte est définie comme:
ε G = 1 2 (l 2 – L 2 L 2) = 1 2 (λ 2 − 1) {\displaystyle\\varepsilon_ {G} = {\tfrac{1}{2}} \left({\frac{l^{2}- L^{2}} {L^{2}}}\right) = {\tfrac{1}{2}} (\lambda ^{2}-1)}
Almansi strainEdit
La souche d’Euler-Almansi est définie comme
ε E = 1 2 (l 2 −L 2 l 2) = 1 2 (1 − 1 λ 2) {\displaystyle\\varepsilon_{E} = {\tfrac{1}{2}}\left ({\frac{l^{2} – L^{2}} {l^{2}}}\right) = {\tfrac{1}{ 2}} \ gauche (1- {\frac{1}{\lambda^{2}}} \ droite)}
Tension normale et de cisaillemodifier
Les souches sont classées comme normales ou cisaillées. Une déformation normale est perpendiculaire à la face d’un élément et une déformation de cisaillement est parallèle à celle-ci. Ces définitions sont cohérentes avec celles de la contrainte normale et de la contrainte de cisaillement.
Contrainte normalEdit
Pour un matériau isotrope qui obéit à la loi de Hooke, une contrainte normale entraînera une contrainte normale. Les souches normales produisent des dilatations.
Considérons un élément de matériau rectangulaire à deux dimensions, infinitésimal, de dimensions dx × dy, qui, après déformation, prend la forme d’un losange. La déformation est décrite par le champ de déplacement u. À partir de la géométrie de la proximité du chiffre que nous avons
l e n g t h ( A B ) = d x {\displaystyle \mathrm {longueur} (AB)=dx\,}
et
l e n g t h ( a b ) = ( d x + ∂ u x ∂ x d x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x d x ) 2 = d x 2 ( 1 + ∂ u x ∂ x ) 2 + d x 2 ( ∂ u y ∂ x ) 2 = d x ( 1 + ∂ u x ∂ x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x ) 2 ≈ d x ( 1 + ∂ u x ∂ x ) {\displaystyle {\begin{aligné}\mathrm {longueur} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x } } dx \ droite)^{2}}}\\&={\ sqrt {dx^{2} \ gauche (1+ {\frac {\partial u_{x}} {\partial x}} \ droite) ^{2} +dx^{2} \ gauche ({\frac{\partial u_{y}} {\partial x}} \ droite)^{2}}}\\&= dx ~ {\sqrt {\left(1+ {\frac {\partial u_{x}} {\partial x}} \ right) ^{2} +\left({\frac{\partial u_{y}} {\partial x}} \right)^{2}}}\\&\ approx dx\left(1+ {\frac{\partial u_{x}} {\partial x}}\ right) \ end {aligné}}\,\!}
Pour de très petits gradients de déplacement, le carré de la dérivée de u y {\displaystyle u_ {y}}
sont négligeables et nous avons l e n g t h (a b) ≈ d x + ∂ u x d x d x {\displaystyle\mathrm {length}(ab) \approx dx + {\frac {\partial u_{x}} {\partial x}} dx}
La déformation normale dans la direction x de l’élément rectangulaire est définie par
ε x = extension longueur originale = l e n g t h (a b) – l e n g t h (A B) l e n g t h (A B) = ∂ u x x x {\displaystyle\varepsilon _{x} = {\frac {\text{extension}} {\text{longueur originale}}} = {\frac {\mathrm{longueur}(ab)- \mathrm {longueur}(AB)} {\mathrm{longueur}(AB)}} = {\frac {\partial u_{x}} {\partial x}}}
De même, la souche normale dans les directions y et z devient
ε y = ∂ u y ∂ y, ε z = {u z zz {\displaystyle\varepsilon _ {y} = {\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad, \qquad\varepsilon_{z} ={\frac{\partial u_{z}}{\partial z}}\,\!}
Contrainte de cisaillemodifier
γ ou ε
1, ou radian
autres quantités
γ = τ/G
La déformation de cisaillement technique (yxy) est définie comme le changement d’angle entre les lignes AC et AB. Par conséquent,
γ x y = α + β {\displaystyle\gamma_ {xy} = \alpha +\beta\,\!}
à Partir de la géométrie de la figure, nous avons
tan α = ∂ u y ∂ x d x d x + ∂ u x ∂ x d x = ∂ u y ∂ x 1 + ∂ u x ∂ x tan β = ∂ u x ∂ y d y d y + ∂ u y ∂ y d y = ∂ u x ∂ y 1 + ∂ u y ∂ y {\displaystyle {\begin{aligné}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}} {\partial y}}{1 + {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}} \ end { aligné}}}
Pour les petits gradients de déplacement, nous avons
∂ u x ∂ x 1 1; u u y y y 1 1 {\displaystyle {\cfrac {\partial u_{x}} {\partial x}} \ll 1 ~; ~~ {\cfrac {\partial u_{y}} {\partial y}} \ll 1}
Pour les petites rotations, c’est-à-dire que α et β sont ≪ 1, nous avons tan α ≈ α, tan β ≈ β. Par conséquent,
α ≈ ≈ u y ∂ x; β ≈ ≈ u x y y {\displaystyle\alpha\approx {\cfrac {\partial u_{y}} {\partial x}} ~; ~ ~ \beta\approx {\cfrac {\partial u_{x}} {\partial y}}}
ainsi
γ x y = α + β = ∂ u y ∂ x + u u x y y {\displaystyle\gamma_{xy} = \alpha +\beta = {\frac {\partial u_{y}} {\partial x}} + {\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\,\!}
En échangeant x et y et ux et uy, on peut montrer que yxy = yyx.
de Même, pour le, yz et xz-avions, nous avons
γ y z = γ z y = ∂ u y ∂ z + ∂ u z ∂ y , γ z x = γ x z = ∂ u z ∂ x + ∂ u x ∂ z {\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\,\!}
Les composantes de déformation tensorielle du tenseur de déformation infinitésimal peuvent alors être exprimées à l’aide de la définition de déformation technique, γ, comme
ε__== {\displaystyle{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}}} = \left=\left\,\!}
Tenseur métriquedit
Un champ de déformation associé à un déplacement est défini, en tout point, par le changement de longueur des vecteurs tangents représentant les vitesses de courbes arbitrairement paramétrées passant par ce point. Un résultat géométrique de base, dû à Fréchet, von Neumann et Jordan, stipule que, si les longueurs des vecteurs tangents remplissent les axiomes d’une norme et la loi du parallélogramme, alors la longueur d’un vecteur est la racine carrée de la valeur de la forme quadratique associée, par la formule de polarisation, à une carte bilinéaire définie positive appelée tenseur métrique.