Lors du calcul de la dilatation thermique, il est nécessaire de déterminer si le corps est libre de se dilater ou est contraint. Si le corps est libre de se dilater, la dilatation ou la contrainte résultant d’une augmentation de température peut être simplement calculée en utilisant le coefficient de dilatation thermique applicable.
Si le corps est contraint de sorte qu’il ne peut pas se dilater, une contrainte interne sera provoquée (ou modifiée) par un changement de température. Cette contrainte peut être calculée en considérant la contrainte qui se produirait si le corps était libre de se dilater et la contrainte requise pour réduire cette contrainte à zéro, grâce à la relation contrainte / contrainte caractérisée par le module d’élastique ou de Young. Dans le cas particulier des matériaux solides, la pression ambiante externe n’affecte généralement pas sensiblement la taille d’un objet et il n’est donc généralement pas nécessaire de considérer l’effet des changements de pression.
Les solides techniques courants ont généralement des coefficients de dilatation thermique qui ne varient pas de manière significative sur la plage de températures où ils sont conçus pour être utilisés, de sorte que lorsqu’une précision extrêmement élevée n’est pas requise, les calculs pratiques peuvent être basés sur une valeur moyenne constante du coefficient de dilatation.
Expansion linéairemodifier
L’expansion linéaire signifie le changement d’une dimension (longueur) par opposition au changement de volume (expansion volumétrique).En première approximation, le changement des mesures de longueur d’un objet dû à la dilatation thermique est lié au changement de température par un coefficient de dilatation thermique linéaire (CLTE). C’est le changement fractionnaire de longueur par degré de changement de température. En supposant un effet négligeable de la pression, on peut écrire:
α L = 1 L d L D T {\displaystyle\alpha_ {L} = {\frac{1}{L}} \, {\frac {dl}{dT}}}
où L {\displaystyle L}
est une mesure de longueur particulière et d L / d T {\displaystyle dL / DT}
est le taux de variation de cette dimension linéaire par variation unitaire de température.
La variation de la dimension linéaire peut être estimée comme étant:
Δ L L = α L Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta L}{L}} = \alpha _ {L} \Delta T}
Cette estimation fonctionne bien tant que le coefficient de dilatation linéaire ne change pas beaucoup par rapport au changement de température Δ T {\displaystyle\Delta T}
, et le changement fractionnaire de longueur est petit Δ L / L ≪ 1 {\displaystyle \Delta L /L\ll 1}
. Si l’une de ces conditions ne tient pas, l’équation différentielle exacte (en utilisant d L/d T {\displaystyle dL/DT}
) doit être intégrée.
Effets sur la strainEdit
Pour les matériaux solides de longueur significative, comme les tiges ou les câbles, une estimation de la quantité de dilatation thermique peut être décrite par la déformation du matériau, donnée par tt h e r m a l {\displaystyle\epsilon _{\mathrm{thermal} }}
et défini comme: ϵ t e r m a l = (l i n a l − l i n i t i a l) L i n i t i a l {\displaystyle \epsilon _{\mathrm{thermal}} = {\frac {(L_{\mathrm {final}} – L_ {\mathrm{initial}})} {L_ {\mathrm{initial} }}}}
où l i n i t i a l {\displaystyle L_ {\mathrm {initial} }}
est la longueur avant le changement de température et L f i n a l {\displaystyle L_{\mathrm{final}}}
est la longueur après le changement de température changement de température.
Pour la plupart des solides, la dilatation thermique est proportionnelle au changement de température:
t t h e r m a l Δ Δ T {\displaystyle\epsilon_ {\mathrm {thermal}}\propto\Delta T}
Ainsi, le changement de la déformation ou de la température peut être estimé par:
α t h e r m a l = α L δ T {\displaystyle \epsilon _ {\mathrm {thermique}} = \alpha _ {L} \ Delta T}
où
Δ T = (T f i n a l − t i n i t i a l) {\displaystyle\Delta T =(T_ {\mathrm{final}} – T_ {\mathrm{initial} })}
est la différence de température entre les deux souches enregistrées, mesurée en degrés Fahrenheit, degrés Rankine, degrés Celsius ou kelvin, et α L {\displaystyle\alpha_{L}}
est le coefficient linéaire de dilatation thermique en « par degré Fahrenheit », « par degré Rankine », « par degré Celsius » ou « par kelvin », noté °F−1, R−1, °C−1 ou K−1, respectivement. Dans le domaine de la mécanique du continuum, la dilatation thermique et ses effets sont traités comme des contraintes propres et des contraintes propres.
Expansion superficielledit
Le coefficient de dilatation thermique superficielle relie le changement des dimensions superficielles d’un matériau à un changement de température. C’est le changement fractionnaire de surface par degré de changement de température. Ignorant la pression, nous pouvons écrire:
α A = 1 A d A d T {\displaystyle\alpha_{A} = {\frac{1}{A}}\, {\frac{dA}{dT}}}
où A {\displaystyle A}
est une zone d’intérêt sur l’objet, et d A / d T {\displaystyle dA / dt}
est le taux de changement de cette zone par unité de changement de température.
La variation de la zone peut être estimée comme suit ::
Δ A A = α A Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta A}{A}} = \alpha _ {A} \Delta T}
Cette équation fonctionne bien tant que le coefficient de dilatation de la surface ne change pas beaucoup par rapport au changement de température Δ T {\displaystyle \Delta T}
, et la variation fractionnaire de l’aire est petite Δ A/A ≪ 1 {\displaystyle \Delta A/A\ll 1}
. Si l’une de ces conditions ne tient pas, l’équation doit être intégrée.
Expansion volumiquedit
Pour un solide, on peut ignorer les effets de la pression sur le matériau, et le coefficient de dilatation thermique volumétrique peut s’écrire:
α V = 1 V d V d T {\displaystyle\alpha_{V} = {\frac{1}{V}}\, {\frac {dV}{DT}}}
où V {\displaystyle V}
est le volume du matériau, et d V / d T {\displaystyle dV / DT}
est le taux de variation de ce volume avec la température.
Cela signifie que le volume d’un matériau change d’une quantité fractionnaire fixe. Par exemple, un bloc d’acier d’un volume de 1 mètre cube peut atteindre 1,002 mètre cube lorsque la température est élevée de 50 K. Il s’agit d’une expansion de 0,2%. Si nous avions un bloc d’acier d’un volume de 2 mètres cubes, dans les mêmes conditions, il s’étendrait à 2.004 mètres cubes, là encore une expansion de 0.2%. Le coefficient de dilatation volumétrique serait de 0,2% pour 50 K, soit 0,004% K−1.
Si nous connaissons déjà le coefficient de dilatation, nous pouvons calculer la variation de volume
Δ V V = α V Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}} = \alpha _{V} \Delta T}
où Δ V/V {\displaystyle\Delta V/V}
est le changement fractionnaire de volume (par exemple, 0,002) et Δ T {\displaystyle\Delta T}
est le changement de température (50 ° C).
L’exemple ci-dessus suppose que le coefficient de dilatation n’a pas changé à mesure que la température a changé et que l’augmentation du volume est faible par rapport au volume d’origine. Ce n’est pas toujours vrai, mais pour de petits changements de température, c’est une bonne approximation. Si le coefficient de dilatation volumétrique change sensiblement avec la température ou si l’augmentation du volume est significative, l’équation ci-dessus devra être intégrée:
ln (V + Δ V V) = αT i T f α V (T) d T {\displaystyle\ln \ left({\frac {V + \Delta V}{V}} \right) = \int _{T_{i}} ^{T_{f}} \alpha _{V}(T)\, dT}
Δ V V = exp α( TT i T f α V(T)d T) − 1 {\displaystyle {\frac {\Delta V} {V}} = \exp\left(\int _{T_{i}} ^{T_{f}} \alpha _{V}(T)\, dt\right)-1}
où α V(T) {\displaystyle\alpha_ {V}(T)}
est le coefficient de dilatation volumétrique en fonction de la température T, et T i {\displaystyle T_{i}}
, T f {\displaystyle T_{f}}
sont les températures initiale et finale respectivement.
Matériaux isotropiquesdit
Pour les matériaux isotropes, le coefficient de dilatation thermique volumétrique est trois fois le coefficient linéaire:
α V = 3 α L {\displaystyle\alpha_{V} = 3\alpha_{L}}
Ce rapport est dû au fait que le volume est composé de trois éléments mutuellement directions orthogonales. Ainsi, dans un matériau isotrope, pour de petits changements différentiels, un tiers de la dilatation volumétrique est dans un seul axe. Par exemple, prenons un cube d’acier qui a des côtés de longueur L. Le volume d’origine sera V = L 3 {\displaystyle V = L^{3}}
et le nouveau volume, après une augmentation de température, sera V + Δ V = (L + Δ L) 3 = L 3 + 3 L 2 Δ L + 3 L Δ L 2 + Δ L 3 ≈ L 3 + 3 L 2 Δ L = V + 3 V Δ L L. {\displaystyle V + \ Delta V =(L + \ Delta L) ^{3} = L ^{3} + 3L ^{2} \ Delta L + 3L \ Delta L ^{2} +\delta L ^{3} \ environ L ^{3} +3L ^{2} \ Delta L = V +3V {\Delta L\ sur L}.}
Nous pouvons facilement ignorer les termes car le changement de L est une petite quantité qui, à la quadrature, devient beaucoup plus petite.
Donc
Δ V V = 3 Δ L L = 3 α L Δ T. {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}} = 3 {\Delta L\over L} = 3\alpha _{L}\Delta T.}
L’approximation ci-dessus est valable pour de petits changements de température et de dimensions (c’est-à-dire lorsque Δ T {\displaystyle\Delta T}
et Δ L {\displaystyle \Delta L}
sont petits); mais cela ne tient pas si nous essayons d’aller-retour entre les coefficients volumétriques et linéaires en utilisant des valeurs plus grandes de Δ T {\displaystyle \Delta T}
. Dans ce cas, le troisième terme (et parfois même le quatrième terme) de l’expression ci-dessus doit être pris en compte.
De même, le coefficient de dilatation thermique de l’aire est deux fois le coefficient linéaire:
α A = 2 α L {\displaystyle\alpha_{A} = 2\alpha_{L}}
Ce rapport peut être trouvé d’une manière similaire à celle de l’exemple linéaire ci-dessus, en notant que l’aire d’une face sur le cube est juste L 2 {\ style d’affichage L^{2}}
. De plus, les mêmes considérations doivent être prises en compte lorsqu’il s’agit de grandes valeurs de Δ T {\displaystyle\Delta T}
.
Plus simplement, si la longueur d’un solide s’étend de 1 m à 1,01 m, la surface s’étend de 1 m2 à 1,0201 m2 et le volume s’étend de 1 m3 à 1,030301 m3.
Matériaux anisotropesdit
Les matériaux ayant des structures anisotropes, tels que des cristaux (avec une symétrie inférieure à la cubique, par exemple des phases martensitiques) et de nombreux composites, auront généralement des coefficients de dilatation linéaires différents α L {\displaystyle\alpha_{L}}
dans différentes directions. En conséquence, la dilatation volumétrique totale est répartie de manière inégale entre les trois axes. Si la symétrie cristalline est monoclinique ou triclinique, même les angles entre ces axes sont sujets à des changements thermiques. Dans de tels cas, il est nécessaire de traiter le coefficient de dilatation thermique comme un tenseur avec jusqu’à six éléments indépendants. Un bon moyen de déterminer les éléments du tenseur est d’étudier l’expansion par diffraction de poudre de rayons X. Le tenseur du coefficient de dilatation thermique pour les matériaux possédant une symétrie cubique (par exemple FCC, BCC) est isotrope.