Belastning er et mål på deformasjon som representerer forskyvningen mellom partikler i kroppen i forhold til en referanselengde.
en generell deformasjon av et legeme kan uttrykkes i formen x = F (X) hvor X er referanseposisjonen til materialpunkter i legemet. Et slikt tiltak skiller ikke mellom stive kroppsbevegelser (oversettelser og rotasjoner) og endringer i form (og størrelse) av kroppen. En deformasjon har enheter av lengde.
We could, for example, define strain to be
ε ≐ ∂ ∂ X ( x − X ) = F ′ − I , {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}’-{\boldsymbol {I}},}
where I is the identity tensor.Derfor er stammer dimensjonsløse og uttrykkes vanligvis som en desimalfraksjon, en prosentandel eller i deler-per notasjon. Stammer måler hvor mye en gitt deformasjon skiller seg lokalt fra en stiv kroppsdeformasjon.
en stamme er generelt en tensormengde. Fysisk innsikt i stammer kan oppnås ved å observere at en gitt stamme kan dekomponeres i normale og skjærkomponenter. Mengden strekk eller kompresjon langs materiallinjeelementer eller fibre er den normale belastningen, og mengden forvrengning forbundet med glidning av planlag over hverandre er skjærstammen, i en deformerende kropp. Dette kan brukes ved forlengelse, forkorting, eller volumendringer, eller vinkelforvrengning.
tilstanden av belastning på et materiell punkt i et kontinuumlegeme er definert som totaliteten av alle endringene i lengden av materielle linjer eller fibre, den normale belastningen, som passerer gjennom det punktet, og også totaliteten av alle endringene i vinkelen mellom par linjer i utgangspunktet vinkelrett på hverandre, skjærstammen, som utstråler fra dette punktet. Det er imidlertid tilstrekkelig å kjenne de normale og skjærkomponentene av belastning på et sett med tre gjensidig vinkelrette retninger.
hvis det er en økning i lengden på materiallinjen, kalles den normale belastningen strekkstamme, ellers, hvis det er reduksjon eller kompresjon i lengden av materiallinjen, kalles det trykkstamme.
Belastningsmålingerrediger
avhengig av mengden av belastning, eller lokal deformasjon, er analysen av deformasjon delt inn i tre deformasjonsteorier:
- Endelig stamme teori, også kalt stor belastning teori, stor deformasjon teori, omhandler deformasjoner der både rotasjoner og stammer er vilkårlig stor. I dette tilfellet er de uformede og deformerte konfigurasjonene av kontinuumet vesentlig forskjellige, og det må gjøres et klart skille mellom dem. Dette er vanligvis tilfellet med elastomerer, plastiskdeformende materialer og andre væsker og biologisk bløtvev.
- Infinitesimal belastningsteori, også kalt liten belastningsteori, liten deformasjonsteori, liten forskyvningsteori eller liten forskyvningsgradientteori hvor stammer og rotasjoner begge er små. I dette tilfellet kan de uformede og deformerte konfigurasjonene av kroppen antas å være identiske. Den uendelige belastningsteorien brukes i analysen av deformasjoner av materialer som viser elastisk oppførsel, for eksempel materialer som finnes i mekaniske og anleggsapplikasjoner, for eksempel betong og stål.
- Stor-forskyvning eller stor-rotasjon teori, som forutsetter små stammer, men store rotasjoner og forskyvninger.
i hver av disse teoriene blir stammen definert forskjellig. Ingeniørstammen er den vanligste definisjonen som brukes på materialer som brukes i mekanisk og konstruksjonsteknikk, som er utsatt for svært små deformasjoner. På den annen side, for noen materialer, f.eks. elastomerer og polymerer, utsatt for store deformasjoner, er ingeniørdefinisjonen av belastning ikke anvendelig, f. eks.
ingeniørstammenrediger
Cauchy-stammen eller ingeniørstammen uttrykkes som forholdet mellom total deformasjon og den opprinnelige dimensjonen av det materielle legemet der kreftene blir påført. Engineering normal belastning eller engineering extensional belastning eller nominell belastning e av et materiale linjeelement eller fiber aksialt lastet er uttrykt som endring i lengde Δ per enhet av den opprinnelige lengden L av linjeelementet eller fibrene. Den normale belastningen er positiv hvis materialfibrene strekkes og negative hvis de komprimeres. Dermed har vi
E = Δ l l=l l {\displaystyle \ e = {\Frac {\Delta L}{L}}={\frac {l-L}{L}}}
hvor e er den tekniske normale belastningen, Er L den opprinnelige lengden på fiberen og l er den endelige lengden på fiberen. Tiltak av belastning uttrykkes ofte i deler per million eller mikrostammer.
den sanne skjærstammen er definert som endringen i vinkelen (i radianer) mellom to materiallinjeelementer som i utgangspunktet er vinkelrett på hverandre i den uformede eller innledende konfigurasjonen. Den tekniske skjærstammen er definert som tangenten til den vinkelen, og er lik lengden av deformasjon ved sitt maksimum dividert med den vinkelrette lengden i kraftplanet som noen ganger gjør det lettere å beregne.
Strekkforholdrediger
strekkforholdet eller forlengelsesforholdet er et mål på den forlengede eller normale belastningen til et differensiallinjeelement, som kan defineres ved enten den udeformerte konfigurasjonen eller den deformerte konfigurasjonen. Det er definert som forholdet mellom den endelige lengden l og den innledende lengden L av materiallinjen.
λ = l {\displaystyle \ \ lambda ={\frac {l}{L}}}
utvidelsesforholdet er omtrent relatert til ingeniørbelastningen ved
e = l – L l = λ-1 {\displaystyle \ e={\frac {l-L}{l}}=\lambda -1}
denne ligningen innebærer at den normale belastningen er null, slik at det ikke er deformasjon når strekningen er lik enhet.
strekkforholdet brukes i analysen av materialer som viser store deformasjoner, som elastomerer, som kan opprettholde strekkforhold på 3 eller 4 før de mislykkes. På den annen side mislykkes tradisjonelle tekniske materialer, som betong eller stål, ved mye lavere strekkforhold.
True strainEdit
den logaritmiske stammen ε, også kalt, true strain eller Hencky strain. Vurderer en inkrementell belastning (Ludwik)
δ ε = δ l l {\displaystyle \delta \varepsilon = {\frac {\delta l} {l}}}
den logaritmiske belastningen oppnås ved å integrere denne inkrementelle belastningen:
∫ δ ε = ∫ L l δ l l ε = ln ( l L ) = ln ( λ ) = ln ( 1 + e ) = e − e 2 2 + e 3 3 − ⋯ {\displaystyle \ {\begin{justert}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta t}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \\\end{justert}}}
hvor e er ingeniørstammen. Den logaritmiske belastningen gir riktig mål på den endelige belastningen når deformasjonen foregår i en rekke trinn, med tanke på påvirkning av belastningsbanen.
grønn stammerediger
den Grønne stammen er definert som:
ε G = 1 2 ( l 2 − l 2 L 2 ) = 1 2 ( λ 2 − 1 ) {\displaystyle \ \varepsilon _{G}={\tfrac {1}{2}}\venstre({\frac {l^{2}-L^{2}}{l^{2}}\høyre)={\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)}
Almanesi [rediger / Rediger kilde]
euler-Almansi stammen er definert som
ε E = 1 2 ( l 2 − L 2 l 2 ) = 1 2 ( 1 − 1 λ 2 ) {\displaystyle \ \varepsilon _{E}={\tfrac {1}{2}}\venstre({\frac {l^{2}-l^{2}}{l^{2}}\høyre)={\tfrac {1} {2}}\venstre(1-{\frac {1} {\Lambda ^{2}}}\høyre)}
Normal og skjærstammerediger
Stammer er klassifisert som enten normal eller skjær. En normal belastning er vinkelrett på ansiktet av et element, og en skjærstamme er parallell med den. Disse definisjonene er i samsvar med de av normal stress og skjær stress.
Normal stamme [rediger / rediger kilde]
for et isotropt materiale som adlyder Hookes lov, vil en normal belastning føre til en normal belastning. Normale stammer produserer dilasjoner.
Betrakt et todimensjonalt, uendelig, rektangulært materialelement med dimensjoner dx × dy, som etter deformasjon tar form av en rhombus. Deformasjonen er beskrevet av forskyvningsfeltet u. Fra geometrien i figuren ved siden av har vi
l e n g t h ( A B ) = d x {\displaystyle \mathrm {lengde} (AB)=dx\,}
og
l e n g t h ( a b ) = ( l x + ∂ x ∂ x d x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x d x ) 2 = d x 2 ( 1 + ∂ x ∂ x ) 2 + d x 2 ( ∂ u y ∂ x ) 2 = d x ( 1 + ∂ x ∂ x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x ) 2 ≈ d x ( 1 + ∂ x ∂ x ) {\displaystyle {\begin{justert}\mathrm {lengde} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\delvis u_{x}}{\delvis x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\delvis u_{y}}{\delvis x}}dx \ høyre)^{2}}}\\&={\sqrt {dx^{2} \ venstre (1 + {\frac {\delvis u_{x}} {\delvis x}} \ høyre)^{2} + dx^{2} \ venstre({\frac {\delvis u_ {y}} {\delvis x}} \ høyre)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\venstre(1+{\frac {\delvis u_{x}} {\delvis x}}\høyre)^{2}+ \ venstre ({\frac {\delvis u_ {y}} {\delvis x}} \ høyre)^{2}}}\\&\ca. dx \ venstre (1 + {\frac {\partial u_{x}} {\partial x}} \ høyre) \ end{aligned}}\,\!}
for svært små forskyvningsgradienter er kvadratet av den deriverte av u y {\displaystyle u_{y}}
er ubetydelige, og vi har l e n g t h ( a b ) ≈ d x + ∂ u x ∂ x d x {\displaystyle \mathrm {length} (ab)\ca dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}
den normale belastningen i x-retningen til det rektangulære elementet er definert av
ε x = forlengelse original lengde = l e n g t h ( a b ) − l e n g t h ( a b ) l e n g t h ( a b ) = ∂ x ∂ x {\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\text{extension}}{\text{opprinnelige lengde}}}={\frac {\mathrm {lengde} (ab)-\mathrm {lengde} (AB)}{\mathrm {lengde} (AB)}}={\frac {\delvis u_{x}}{\delvis x}}}
på samme måte, normal belastning i y – og z-retningene blir
ε y = – ∂ u y ∂ y , ε z = ∂ u z ∂ z {\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\delvis u_{y}} {\partial y}} \ quad, \ qquad \ varepsilon _{z}={\frac {\partial u_ {z}} {\partial z}}\,\!}
skjærstammerediger
γ eller ε
1 eller radian
andre mengder
γ = τ/G
den tekniske skjærstammen (yxy) er definert som endringen i vinkelen MELLOM linjene AC og AB. Derfor
γ x y = α + β {\displaystyle \ gamma _{xy}= \ alpha + \ beta \,\!}
Fra geometrien av figuren, har vi
tan α = ∂ u y ∂ x d x d x + ∂ x ∂ x d x = ∂ u y ∂ x 1 + ∂ x ∂ x tan β = ∂ x ∂ y d y d y + ∂ u y ∂ y d y = – ∂ x ∂ y 1 + ∂ u y ∂ y {\displaystyle {\begin{justert}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\delvis u_{y}}{\delvis x}}dx}{dx+{\tfrac {\delvis u_{x}}{\delvis x}}dx}}={\frac {\tfrac {\delvis u_{y}}{\delvis x}}{1+{\tfrac {\delvis u_{x}}{\delvis x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\delvis u_{x}}{\delvis y}}dy}{dy+{\tfrac {\delvis u_{y}}{\delvis y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}} {\partial y}}{1 + {\tfrac {\partial u_ {y}} {\partial y}}} \ end{justert}}}
for små forskyvningsgradienter har vi
∂ u x ∂ x ≪ 1; ∂ u y ∂ y ≪ 1 {\displaystyle {\cfrac {\delvis u_{x}}{\delvis x}}\ll 1~;~~{\cfrac {\delvis u_{y}} {\delvis y}} \ ll 1}
for små rotasjoner, dvs. α og β er ≪ 1 vi har tan α ≈ α , tan β ≈ β. Derfor
α ≈ ∂ u y ∂ x; β ≈ ∂ u x ∂ y {\displaystyle \ alpha \ ca {\cfrac {\delvis u_{y}} {\delvis x}}~; ~ ~ \ beta \ ca {\cfrac {\delvis u_{x}} {\delvis y}}}
dermed
γ x y = α + β = ∂ u y ∂ x + ∂ x ∂ y {\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\delvis u_{y}}{\delvis x}}+{\frac {\delvis u_{x}}{\delvis y}}\,\!}
ved å bytte x og y og ux og uy, kan det bli vist at yxy = yyx.
på samme måte, for yz – og xz-fly, har vi
γ y z = γ z y = – ∂ u y ∂ z + ∂ u z ∂ y , γ z x = γ x z = ∂ u z ∂ x ∂ x ∂ z {\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\delvis u_{y}}{\delvis z}}+{\frac {\delvis u_{z}}{\delvis y}}\quad\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\delvis u_{z}}{\delvis x}}+{\frac {\delvis u_{x}}{\delvis z}}\,\!}
de tensoriale skjærstammekomponentene til den infinitesimale stammetensoren kan da uttrykkes ved hjelp av den tekniske stammedefinisjonen, γ, som
ε _ _ = = {\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon}}} = \ left= \ left\,\!}
Metrisk tensorEdit
et belastningsfelt assosiert med en forskyvning er definert, når som helst, av endringen i lengden av tangentvektorene som representerer hastighetene til vilkårlig parametrierte kurver som passerer gjennom det punktet. Et grunnleggende geometrisk resultat, på Grunn Av Fré, von Neumann og Jordan, sier at hvis lengdene av tangentvektorene oppfyller aksiomene til en norm og parallellogramloven, er lengden på en vektor kvadratroten av verdien av den kvadratiske formen forbundet med polarisasjonsformelen med et positivt bestemt bilinear kart kalt metrisk tensor.