Definitie van een Lineaire Vergelijking van de Eerste Orde
Een differentiaalvergelijking van het type
\
waar \(a\left( x \right)\) en \(f\left( x \right)\) zijn continue functies van \(x\) heet een lineaire nonhomogeneous differentiaalvergelijking van de eerste orde. We beschouwen twee methoden voor het oplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde:
- gebruikmakend van een integratiefactor;
- variatiemethode van een constante.
gebruikmakend van een Integratiefactor
indien een lineaire differentiaalvergelijking in de standaardvorm wordt geschreven:
\
de integratiefactor wordt bepaald door de formule
\
de linkerkant van de vergelijking vermenigvuldigen met de integrerende factor \(u\left( x \right)\) zet de linkerkant om in de afgeleide van het product \(y\left( x \right) u\left( x \right).\)
de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking wordt als volgt uitgedrukt:
\
waarbij \(C\) een willekeurige constante is.
Variatiemethode van een constante
deze methode is vergelijkbaar met de vorige benadering. Eerst is het nodig om de algemene oplossing van de homogene vergelijking te vinden:
\
de algemene oplossing van de homogene vergelijking bevat een integratieconstante \(C.\) We vervangen de constante \(C\) door een bepaalde (nog onbekende) functie \(C\left( x \right).\ ) Door deze oplossing te vervangen door de niet-homogene differentiaalvergelijking, kunnen we de functie \(C\left( x \right) bepalen.\)
het beschreven algoritme wordt de variatiemethode van een constante genoemd. Natuurlijk leiden beide methoden tot dezelfde oplossing.
Beginwaardeprobleem
als er naast de differentiaalvergelijking ook een beginvoorwaarde is in de vorm van \(y \ left ({{x_0}} \ right) = {y_0},\) wordt een dergelijk probleem het beginwaardeprobleem (IVP) of Cauchyprobleem genoemd.
een bepaalde oplossing voor een IVP bevat niet de constante \(C,\) die wordt gedefinieerd door vervanging van de algemene oplossing in de beginconditie \(y\left( {{x_0}} \right) = {y_0}.\)
Opgeloste problemen
klik of tik op een probleem om de oplossing te zien.
Voorbeeld 1
los de vergelijking \(y’ – y – x{e^x}\) \ (=0.\)
Voorbeeld 2
los de differentiaalvergelijking \(xy ‘ = y + 2{x^3} op.\)
Voorbeeld 3
los de vergelijking \(y ‘- 2y = x.\)
Voorbeeld 4
los de differentiaalvergelijking \({x^2}y ‘ + xy + 2 \) \ (=0.\)
Voorbeeld 5
los het beginwaardeprobleem op: \(y ‘ – y \ tan x \) \ (=\sin x,\) \(y\left( 0 \right) = 1.\)
Voorbeeld 6
los de differentiaalvergelijking (IVP) \(y’ + {\large \ frac{3}{x} \ normalsize}y \) \ (={\large\frac{2}{{{x^2}}}\normalsize}\) op met de beginvoorwaarde \(y\left( 1 \right) = 2.\)
Voorbeeld 7
Zoek de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking \(y = \ left ({2{y^4} + 2x} \right)y’.\)
Voorbeeld 1.
los de vergelijking \(y’ – y – x{e^x}\) \ (=0.\)
oplossing.
we herschrijven deze vergelijking in standaardvorm:
\
we zullen deze vergelijking oplossen met behulp van de integrerende factor
\
dan wordt de algemene oplossing van de lineaire vergelijking gegeven door
\
Voorbeeld 2.
los de differentiaalvergelijking \(xy ‘ = y + 2{x^3} op.\)
oplossing.
we zullen dit probleem oplossen door de variatiemethode van een constante te gebruiken. Eerst vinden we de algemene oplossing van de homogene vergelijking:
\
die kan worden opgelost door de variabelen te scheiden:
\
waarbij \(C\) een positief reëel getal is.
nu vervangen we \(C\) door een bepaalde (nog onbekende) functie \(C \ left (x\ right)\) en vinden we een oplossing van de oorspronkelijke niet-homogene vergelijking in de vorm:
\
dan wordt de afgeleide gegeven door
\ ^ \ prime } } = { C ‘ \ left( x \right)x + C\left (x \right).}\]
dit vervangen door de vergelijking geeft:
\ }={ C \ links (x \ rechts)x + 2{x^3},\;\;}}\Rightarrow
{{C ‘\ left (x \ right){x^2} + \ cancel{C \ left (x \right)x} } = {\cancel{C \ left (x \right)x} + 2{x^3},\;\;}}\Rightarrow
{C ‘ \ left (x \ right) = 2x.}
\]
bij integratie vinden we de functie \({C \ left (x \ right))}:\)
\
waarin \({c_1}\) een willekeurig reëel getal is.
de algemene oplossing van de gegeven vergelijking wordt dus geschreven in de vorm
\