bij de berekening van thermische uitzetting moet worden nagegaan of het lichaam vrij is uit te breiden of beperkt is. Als het lichaam vrij is om uit te zetten, kan de uitzetting of spanning als gevolg van een temperatuurstijging eenvoudig worden berekend met behulp van de toepasselijke thermische uitzettingscoëfficiënt.
als het lichaam zodanig beperkt is dat het niet kan uitzetten, dan wordt interne stress veroorzaakt (of veranderd) door een verandering in temperatuur. Deze spanning kan worden berekend door rekening te houden met de spanning die zou optreden als het lichaam vrij zou zijn om uit te breiden en de stress die nodig is om die spanning tot nul te verminderen, door middel van de spanning/spanning relatie gekenmerkt door de elastische of Young ‘ s modulus. In het bijzondere geval van vaste materialen heeft de externe omgevingsdruk meestal geen merkbare invloed op de grootte van een object en is het daarom meestal niet nodig om rekening te houden met het effect van drukveranderingen.
gemeenschappelijke technische vaste stoffen hebben gewoonlijk thermische uitzettingscoëfficiënten die niet significant variëren over het temperatuurbereik waar ze zijn ontworpen om te worden gebruikt, dus wanneer een extreem hoge nauwkeurigheid niet vereist is, kunnen praktische berekeningen worden gebaseerd op een constante, gemiddelde waarde van de uitzettingscoëfficiënt.
Lineaire expansiedit
lineaire expansie betekent verandering in één dimensie (lengte) in tegenstelling tot verandering in volume (volumetrische expansie).Bij een eerste benadering is de verandering in lengtemetingen van een object als gevolg van thermische uitzetting gerelateerd aan temperatuurverandering door een lineaire thermische uitzettingscoëfficiënt (CLTE). Het is de fractionele verandering in lengte per graad van temperatuurverandering. Uitgaande van verwaarloosbaar effect van druk, kunnen we schrijven:
α L = 1 L d L d T {\displaystyle \alpha _{L}={\frac {1}{L}}\,{\frac {dL}{dT}}}
waar L {\displaystyle L}
is een bepaalde lengte meting en d L / d T {\displaystyle dL/dT}
is de snelheid van verandering van die lineaire afmeting per eenheid verandering in temperatuur.
de verandering in de lineaire dimensie kan worden geschat op:
Δ L = α L Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta L}{L}}=\alpha _{L}\Delta T}
Deze schatting werkt goed zolang de lineaire uitzettingscoëfficiënt niet veel veranderen over de verandering in temperatuur ∆ T {\displaystyle \Delta T}
, en de fractionele verandering in de lengte is klein Δ L / L ≪ 1 {\displaystyle \Delta L/L\ll 1}
. Als een van deze voorwaarden niet geldt, moet de exacte differentiaalvergelijking (D L / d T {\displaystyle dL/dT}
) worden geïntegreerd.
effecten op strainEdit
voor vaste materialen met een significante lengte, zoals staven of kabels, kan een schatting van de hoeveelheid thermische uitzetting worden beschreven door de materiaalspanning, gegeven door ϵ T h e r m A l {\displaystyle \ epsilon _{\mathrm {thermal} }}
en gedefinieerd als: ż t h e r m a l = ( L-f i n a l − L i n i t i a l ) L i n i t i a l {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {thermische} }={\frac {(L_{\mathrm {final} }-L_{\mathrm {eerste} })}{L_{\mathrm {eerste} }}}}
waar L i n i t i a l {\displaystyle L_{\mathrm {eerste} }}
is de lengte voor het wijzigen van de temperatuur en L f i n a l {\displaystyle L_{\mathrm {final} }}
is de lengte na de verandering van temperatuur.
voor de meeste vaste stoffen is de thermische uitzetting evenredig met de temperatuurverandering:
ϵ t h e r M A L Δ Δ T {\displaystyle \ epsilon _{\mathrm {thermal} } \ propto \ Delta T}
de verandering in de spanning of temperatuur kan dus worden geschat door:
ż t h e r m a l = α L Δ T {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {thermische} }=\alpha _{L}\Delta T}
waar
Δ T = ( T f i n a l − T i n i t i a l ) {\displaystyle \Delta T=(T_{\mathrm {final} }-T_{\mathrm {eerste} })}
is het verschil van de temperatuur tussen de twee opgenomen stammen, gemeten in graden Fahrenheit graden Rankine, graden Celsius of kelvin,en α L {\displaystyle \alpha _{L}}
is de lineaire thermische uitzettingscoëfficiënt in “per graad Fahrenheit”, “per graad Rankine”, “per graad Celsius” of “per kelvin”, aangeduid met respectievelijk °F−1, R−1, °C−1 of K−1. Op het gebied van continuümmechanica worden de thermische uitzetting en de effecten ervan behandeld als eigenstrein en eigenstress.
oppervlakte-expansiedit
de thermische uitzettingscoëfficiënt van het gebied relateert de verandering in de oppervlakte-afmetingen van een materiaal aan een verandering in temperatuur. Het is de fractionele verandering in oppervlakte per graad van temperatuurverandering. Het negeren van druk, kunnen we schrijven:
α A = 1 A d A d T {\displaystyle \alpha _{A}={\frac {1}{A}}\,{\frac {dA}{dT}}}
waar Een {\displaystyle Een}
is een gebied van belang op het object, en d A / d T {\displaystyle dA/dT}
is de snelheid van verandering van de oppervlakte per eenheid verandering in temperatuur.
de verandering in het gebied kan worden geschat als:
Δ A A = α A δt {\displaystyle {\frac {\Delta A}{A}}=\alpha _{A}\Delta T}
Deze vergelijking werkt goed zolang het gebied uitzettingscoëfficiënt niet veel veranderen over de verandering in temperatuur ∆ T {\displaystyle \Delta T}
, en de fractionele verandering in het gebied is klein Δ A / A ≪ 1 {\displaystyle \Delta A/A\ll 1}
. Als een van deze voorwaarden niet geldt, moet de vergelijking worden geïntegreerd.
Volume expansionEdit
Voor een solide is, kunnen we negeren de effecten van de druk op het materiaal, en de volumetrische thermische expansie coëfficiënt kan geschreven worden als:
α V = 1 V d V d T {\displaystyle \alpha _{V}={\frac {1}{V}}\,{\frac {dV}{dT}}}
waar V {\displaystyle V}
is het volume van het materiaal, en d V / d T {\displaystyle dV/dT}
is de snelheid van verandering van het volume met de temperatuur.
dit betekent dat het volume van een materiaal verandert met een vaste fractionele hoeveelheid. Bijvoorbeeld, een stalen blok met een volume van 1 kubieke meter kan uitzetten tot 1.002 kubieke meter wanneer de temperatuur wordt verhoogd met 50 K. Dit is een expansie van 0,2%. Als we een blok staal hadden met een volume van 2 kubieke meter, dan zou het onder dezelfde omstandigheden uitbreiden tot 2.004 kubieke meter, opnieuw een uitbreiding van 0,2%. De volumetrische uitzettingscoëfficiënt zou 0,2% zijn voor 50 K, of 0,004% K-1.
Als we al weten dat de uitzettingscoëfficiënt, dan kunnen we berekenen de wijziging in het volume
Δ V V = V α Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\alpha _{V}\Delta T}
waar Δ V / V {\displaystyle \Delta V/V}
is de fractionele verandering in volume (bv., 0.002) en Δ T {\displaystyle \Delta T}
is de verandering in temperatuur (50 °C).
in het bovenstaande voorbeeld wordt ervan uitgegaan dat de uitzettingscoëfficiënt niet veranderde naarmate de temperatuur veranderde en de volumetoename klein is in vergelijking met het oorspronkelijke volume. Dit is niet altijd waar, maar voor kleine veranderingen in temperatuur is het een goede benadering. Als de volumetrische uitzettingscoëfficiënt aanzienlijk verandert met de temperatuur, of de volumetoename significant is, dan zal de bovenstaande vergelijking moeten worden geïntegreerd:
ln ( V + ∆ V ) = ∫ T i T f V α ( T ) d T {\displaystyle \ln \left({\frac {V+\Delta V}{V}}\right)=\int _{T_{i}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,dT}
Δ V = exp ( ∫ T i T f V α ( T ) d T ) − 1 {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\exp \left(\int _{T_{i}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,dT\right)-1}
waar α V ( T ) {\displaystyle \alpha _{V}(T)}
is de volumetrische uitzettingscoëfficiënt als functie van temperatuur T, en T i {\displaystyle T_{i}}
, t f {\displaystyle T_{f}}
zijn respectievelijk de begin-en eindtemperaturen.
isotrope materialenedit
voor isotrope materialen is de volumetrische thermische uitzettingscoëfficiënt driemaal de lineaire coëfficiënt:
α V = 3 α L {\displaystyle \ alpha _{V}=3 \ alpha _{L}}
deze verhouding ontstaat omdat volume bestaat uit drie onderling orthogonale richtingen. In een isotroop materiaal, voor kleine differentiële veranderingen, is een derde van de volumetrische expansie in een enkele as. Neem bijvoorbeeld een kubus van staal met zijden van lengte L. Het oorspronkelijke volume is V = l 3 {\displaystyle V=L^{3}}
en het nieuwe volume, na een temperatuurstijging, wordt V + Δ V = (L + Δ L ) 3 = L 3 + 3 L 2 Δ L + 3 L Δ L 2 + Δ L 3 ≈ L 3 + 3 L 2 Δ L = V + 3 V Δ L L . {\displaystyle V+ \ Delta V=(L+\Delta L)^{3}=L^{3}+3L^{2}\Delta L+3L\Delta L^{2}+\Delta l^{3}\approx L^{3}+3L^{2}\Delta L=V+3V{\Delta l \over L}.}
we kunnen gemakkelijk negeren de termen als verandering in L is een kleine hoeveelheid die op squaring wordt veel kleiner.
So
Δ V V = 3 Δ L L = 3 α L Δ T . {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}} = 3 {\Delta l \ over L} = 3 \ alpha _{L} \ Delta T.}
de bovenstaande benadering geldt voor kleine temperatuur en dimensionale veranderingen (dat wil zeggen, wanneer Δ t {\displaystyle \ Delta T}
en Δ L {\displaystyle \ Delta L}
zijn klein); maar het houdt niet als we proberen heen en weer te gaan tussen volumetrische en lineaire coëfficiënten met behulp van grotere waarden van Δ T {\displaystyle \Delta T}
. In dit geval moet de derde term (en soms zelfs de vierde term) in de uitdrukking hierboven in aanmerking worden genomen.
evenzo is de oppervlakte thermische uitzettingscoëfficiënt twee keer de lineaire coëfficiënt:
α A = 2 α L {\displaystyle \ alpha _{a}=2 \ alpha _{L}}
deze verhouding kan worden gevonden op een manier die vergelijkbaar is met die in het lineaire voorbeeld hierboven, waarbij wordt opgemerkt dat de oppervlakte van een vlak op de kubus gewoon L 2 {\displaystyle L^{2}}
. Dezelfde overwegingen moeten ook worden gemaakt bij het behandelen van grote waarden van Δ t {\displaystyle \Delta T}
.
simpel gezegd, als de lengte van een vaste stof toeneemt van 1 m tot 1,01 m dan neemt het oppervlak toe van 1 m2 tot 1,0201 m2 en het volume van 1 m3 tot 1,030301 m3.
anisotrope materialenedit
materialen met anisotrope structuren, zoals kristallen (met minder dan kubieke symmetrie, bijvoorbeeld martensitische fasen) en vele composieten, zullen over het algemeen verschillende lineaire expansiecoëfficiënten hebben α L {\displaystyle \ alpha _{L}}
in verschillende richtingen. Hierdoor is de totale volumetrische expansie ongelijk verdeeld over de drie assen. Als de kristalsymmetrie monoclinisch of triclinisch is, zijn zelfs de hoeken tussen deze assen onderhevig aan thermische veranderingen. In dergelijke gevallen is het noodzakelijk om de thermische uitzettingscoëfficiënt te behandelen als een tensor met maximaal zes onafhankelijke elementen. Een goede manier om de elementen van de tensor te bepalen is om de uitzetting door X-ray poederdiffractie te bestuderen. De thermische uitzettingscoëfficiënt tensor voor de materialen met kubieke symmetrie (voor bijvoorbeeld FCC, BCC) is isotroop.