spanning is een maat voor vervorming die de verplaatsing tussen deeltjes in het lichaam ten opzichte van een referentielengte weergeeft.
een algemene vervorming van een lichaam kan worden uitgedrukt in de vorm x = F(X) waarbij X de referentiepositie is van materiaalpunten in het lichaam. Een dergelijke maatregel maakt geen onderscheid tussen starre lichaamsbewegingen (vertalingen en rotaties) en veranderingen in vorm (en grootte) van het lichaam. Een vervorming heeft eenheden van lengte.
We could, for example, define strain to be
ε ≐ ∂ ∂ X ( x − X ) = F ′ − I , {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}’-{\boldsymbol {I}},}
where I is the identity tensor.Vandaar stammen zijn dimensieloos en worden meestal uitgedrukt als een decimale fractie, een percentage of in delen-per notatie. Stammen meten hoeveel een bepaalde vervorming lokaal verschilt van een rigid-body vervorming.
een stam is in het algemeen een tensorhoeveelheid. Fysiek inzicht in stammen kan worden verkregen door te observeren dat een bepaalde stam kan worden ontbonden in normale en afschuifcomponenten. De hoeveelheid stretch of compressie langs materiële lijnelementen of vezels is de normale spanning, en de hoeveelheid vervorming geassocieerd met het schuiven van vlakke lagen over elkaar is de schuifspanning, binnen een vervormend lichaam. Dit kan worden toegepast door rek, verkorting, of volume veranderingen, of hoekvervorming.
de toestand van de stam op een materiaalpunt van een continuümlichaam wordt gedefinieerd als de totaliteit van alle veranderingen in de lengte van materiaallijnen of-vezels, de normale stam, die door dat punt gaat en ook de totaliteit van alle veranderingen in de hoek tussen aanvankelijk loodrecht op elkaar staande lijnparen, de afschuifstam, die vanaf dit punt uitstraalt. Het is echter voldoende om de normale en afschuifcomponenten van de spanning te kennen op een set van drie onderling loodrechte richtingen.
indien de lengte van de materiaallijn toeneemt, wordt de normale spanning trekspanning genoemd, anders wordt, indien de lengte van de materiaallijn afneemt of samendrukt, de drukspanning genoemd.
Strain measuresEdit
afhankelijk van de hoeveelheid strain, of lokale vervorming, wordt de analyse van de vervorming onderverdeeld in drie vervormingstheorieën:
- de eindige rekentheorie, ook wel grote rekentheorie genoemd, behandelt vervormingen waarbij zowel rotaties als stammen willekeurig groot zijn. In dit geval zijn de ongevormde en vervormde configuraties van het continuüm aanzienlijk verschillend en moet er een duidelijk onderscheid tussen worden gemaakt. Dit is meestal het geval met elastomeren, plastisch vervormende materialen en andere vloeistoffen en biologisch zacht weefsel.
- infinitesimale rekentheorie, ook wel kleine rekentheorie, kleine vervormingstheorie, kleine verplaatsingstheorie of kleine verplaatsingsgradiënttheorie genoemd, waarbij spanningen en rotaties beide klein zijn. In dit geval kunnen de ongevormde en vervormde configuraties van het lichaam identiek worden aangenomen. De infinitesimale rekentheorie wordt gebruikt in de analyse van vervormingen van materialen die elastisch gedrag vertonen, zoals materialen die worden aangetroffen in mechanische en civieltechnische toepassingen, zoals beton en staal.
- grote verplaatsing of grote rotatietheorie, die uitgaat van kleine spanningen maar grote rotaties en verplaatsingen.
In elk van deze theorieën wordt de stam dan anders gedefinieerd. De technische stam is de meest voorkomende definitie toegepast op materialen die worden gebruikt in de mechanische en structurele engineering, die worden onderworpen aan zeer kleine vervormingen. Anderzijds is voor sommige materialen, zoals elastomeren en polymeren, die grote vervormingen ondergaan, de technische definitie van stam niet van toepassing, bijvoorbeeld typische technische stammen van meer dan 1%, zodat andere meer complexe definities van stam nodig zijn, zoals stretch, logaritmische stam, groene stam en Almansi stam.
Engineering strainEdit
de Cauchy stam of engineering straine wordt uitgedrukt als de verhouding tussen de totale vervorming en de initiële dimensie van het materiaallichaam waarin de krachten worden uitgeoefend. De technische normale spanning of technische extensionele spanning of Nominale Spanning e van een axiaal geladen materiaallijnelement of vezel wordt uitgedrukt als de verandering in lengte ΔL per eenheid van de oorspronkelijke lengte L van het lijnelement of de vezels. De normale stam is positief als de materiaalvezels worden uitgerekt en negatief als ze worden gecomprimeerd. Dus hebben we
e = Δ L L = l-L L {\displaystyle \ e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {l-L}{L}}}
waar e is de engineering normale stam, L is de oorspronkelijke lengte van de vezel en l is de uiteindelijke lengte van de vezel. Maten van stam worden vaak uitgedrukt in delen per miljoen of microstrains.
de werkelijke schuifspanning wordt gedefinieerd als de verandering in de hoek (in radialen) tussen twee materiaallijnelementen die aanvankelijk loodrecht op elkaar staan in de niet-gevormde of initiële configuratie. De technische schuifspanning wordt gedefinieerd als de raaklijn van die hoek en is gelijk aan de vervormingslengte op zijn maximum gedeeld door de loodrechte lengte in het vlak van krachtuitoefening, wat het soms gemakkelijker maakt om te berekenen.
Stretch ratioEdit
de rekverhouding of extensieverhouding is een maat voor de uitgebreide of normale spanning van een differentieel lijnelement, die kan worden gedefinieerd bij de ongevormde configuratie of de vervormde configuratie. Het wordt gedefinieerd als de verhouding tussen de eindlengte l en de beginlengte L van de materiaallijn.
λ = l {\displaystyle \ \lambda ={\frac {l}{L}}}
De uitbreiding ratio is ongeveer in verband met de engineering stam door
e = l − L L = λ − 1 {\displaystyle \ e={\frac {l-L}{L}}=\lambda -1}
Deze vergelijking impliceert dat de normale spanning is nul, zodat er geen vervorming wanneer het stuk is gelijk aan de eenheid.
de rekverhouding wordt gebruikt bij de analyse van materialen die grote vervormingen vertonen, zoals elastomeren, die rekverhoudingen van 3 of 4 kunnen aanhouden voordat ze falen. Aan de andere kant falen traditionele technische materialen, zoals beton of staal, bij veel lagere rekverhoudingen.
True strainEdit
de logaritmische stam ε, ook wel true strain of Hencky strain genoemd. Rekening houdend met een incrementele stam (Ludwik)
δ ε = δ l l {\displaystyle \ \ delta \ varepsilon = {\frac {\delta l}{l}}}
de logaritmische stam wordt verkregen door integratie van deze incrementele stam:
∫ δ ε = ∫ L l δ l l ε = ln ( l L ) = ln ( λ ) = ln ( 1 + e ) = e − e 2 2 + e 3 3 − ⋯ {\displaystyle \ {\begin{aligned}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \\\end{aligned}}}
waar e de technische stam is. De logaritmische stam geeft de juiste maat van de uiteindelijke stam wanneer de vervorming plaatsvindt in een reeks stappen, rekening houdend met de invloed van het stampad.
Green strainEdit
The Green strain is defined as:
ε G = 1 2 ( l 2 − L 2 L 2 ) = 1 2 ( λ 2 − 1 ) {\displaystyle \ \varepsilon _{G}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)}
Almansi strainEdit
De Euler-Almansi stam is gedefinieerd als
ε E = 1 2 ( l 2 − L 2 l 2 ) = 1 2 ( 1 − 1 λ 2 ) {\displaystyle \ \varepsilon _{E}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{l^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}
Normale en afschuiving strainEdit
stammen worden geclassificeerd als normaal of shear. Een normale spanning staat loodrecht op het oppervlak van een element en een schuifspanning is er evenwijdig aan. Deze definities komen overeen met die van normale stress en schuifspanning.
normale spanning
voor een isotroop materiaal dat de wet van Hooke gehoorzaamt, zal een normale spanning een normale spanning veroorzaken. Normale stammen veroorzaken verwijdingen.
beschouw een tweedimensionaal, oneindig klein, rechthoekig materiaalelement met afmetingen dx × dy, dat na vervorming de vorm van een ruit aanneemt. De vervorming wordt beschreven door het verplaatsingsveld u. Uit de geometrie van de afbeelding hiernaast hebben we
l e n g t h ( A B ) = d x {\displaystyle \mathrm {lengte} (AB)=dx\,}
en
l e n g t h ( a b ) = ( b x d x + ∂ x ∂ x d x ) 2 + ( ∂ y ∂ x d x ) 2 = d 2 x ( 1 + ∂ x ∂ x ) 2 + d x 2 ( ∂ y ∂ x ) 2 = d x ( 1 + ∂ x ∂ x ) 2 + ( ∂ y ∂ x ) 2 ≈ d x ( 1 + ∂ x ∂ x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {lengte} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&={\sqrt {dx^{2}\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+dx^{2}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&\ca dx\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)\end{aligned}}\,\!}
Voor zeer kleine verplaatsing verlopen het plein van de afgeleide van y {\displaystyle u_{y}}
verwaarlozen zijn en we hebben l e n g t h ( a b ) ≈ d x + ∂ x ∂ x d x {\displaystyle \mathrm {lengte} (ab)\ca dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}
De normale spanning in de x-richting van de rechthoekige element wordt gedefinieerd door
ε x = extensie oorspronkelijke lengte = l e n g t h ( a b ) − l e n g t h ( A B ). l e n g t h ( A B ) = ∂ x ∂ x {\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\text{extensie}}{\text{lengte}}}={\frac {\mathrm {lengte} (ab)-\mathrm {lengte} (AB)}{\mathrm {lengte} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}
Evenzo, de normale spanning in de y – en z-richtingen wordt
ε y = ∂ y ∂ y , ε z = ∂ u z ∂ z {\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}} {\partial y}} \ quad, \ qquad \ varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\,\!}
Shear strainEdit
of γ ε
1, of radian
andere hoeveelheden
γ = τ/G
De engineering shear stam (yxy) is gedefinieerd als de verandering in de hoek tussen de lijnen AC en AB. Daarom
γ x y = α + β {\displaystyle \ gamma _{xy}= \ alpha + \ beta \,\!}
van de geometrie van de figuur, we hebben
tan α = ∂ y ∂ x d x d x + ∂ x ∂ x d x = ∂ y ∂ x 1 + ∂ x ∂ x tan β = ∂ x ∂ y d y d y + ∂ y ∂ y d y = ∂ x ∂ y 1 + ∂ y ∂ y {\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}\end{aligned}}}
Voor kleine verplaatsing verlopen hebben we
∂ u x ∂ x ≪ 1 ; ∂ y ∂ y ≪ 1 {\displaystyle {\cfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~~{\cfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}\ll 1}
Voor kleine rotaties, d.w.z. α en β zijn ≪ 1 tan α ≈ α, tan β ≈ β. Daarom is
α ≈ ∂ U y ∂ x; β ≈ ∂ U x ∂ y {\displaystyle \ alpha \ approx {\cfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}~;~~ \ beta \ approx {\cfrac {\partial u_{x}} {\partial y}}}
dus
γ x y = α + β = ∂ U y ∂ x + ∂ U x ∂ y {\displaystyle \ gamma _{xy}= \ alpha + \ beta = {\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\,\!}
door X en y en ux en uy te verwisselen, kan worden aangetoond dat yxy = yyx.
Ook voor het yz – en xz-vlak, hebben we
γ y z = γ z y = ∂ y ∂ z + ∂ u z ∂ y , γ z x = γ x z = ∂ u z ∂ x + ∂ x ∂ z {\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{z}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\,\!}
de tensor-schuifstamcomponenten van de infinitesimale stam tensor kunnen dan worden uitgedrukt met behulp van de technische stamdefinitie γ, als
ε _ _ = = {\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}} = \ left=\left\,\!}
metrische tensorEdit
een Rekveld geassocieerd met een verplaatsing wordt op elk punt gedefinieerd door de verandering in lengte van de raakvectoren die de snelheden van willekeurig geparametriseerde krommen weergeven die door dat punt gaan. Een basis Meetkundig resultaat, veroorzaakt door Fréchet, von Neumann en Jordan, stelt dat, als de lengtes van de raakvectoren voldoen aan de axioma ‘ s van een norm en de parallellogramwet, dan is de lengte van een vector de vierkantswortel van de waarde van de kwadratische vorm die door de polarisatieformule wordt geassocieerd met een positieve definitieve bilineaire kaart die de metrische tensor wordt genoemd.