自由落下

空気抵抗のない均一な重力場

これは、惑星の表面に近い小さな距離に落ちる物体の垂直運動の”教科書”の場合です。 物体の重力が空気抵抗の力よりもはるかに大きい、または物体の速度が常に終端速度よりもはるかに小さい限り、空気中では良好な近似値である（

v(t)=v0+g t{\displaystyle v(t)=v_{0}+gt\,}y(t)=v0t+y0+1 2g t2{\displaystyle y(t)=v_{0}t+y_{0}+{\frac{1}{2}}gt^{2}}

ここで

v0{\displaystyle v_{0}\,}は初期速度(m/s)である。 v(t){\displaystyle v(t)\,}は、時間(m/s)に対する垂直速度である。 y0{\displaystyle y_{0}\,}は初期高度(m)である。 y(t){\displaystyle y(t)\,}は時間(m)に対する高度である。 t{\displaystyle t\,}は経過時間(s)である。 g{\displaystyle g\,}は重力による加速度（地球の表面付近で9.81m/s2）である。

空気抵抗のある均一な重力場

この場合は、スカイダイバー、パラシュートまたは任意の質量体m{\displaystyle m}および断面積A{\displaystyle A}に適用され、レイノルズ数が臨界レイノルズ数よりもはるかに上であり、空気抵抗が落下速度v{\displaystyle v}の二乗に比例するように、運動方程式

m d v d t=m g-1 2≤C D a v2{\displaystyle m{\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}}を持つ。=mg−{\frac{1}{2}}\rho c_{\mathrm{d}}av^{2}\,,}

ここで、ρ{\displaystyle\rho}は空気密度であり、C D{\displaystyle C_{\mathrm{D}}は空気密度である。 }}は抗力係数であり、一般にはレイノルズ数に依存するが、一定であると仮定される。

静止状態から落下し、高度による空気密度の変化がないと仮定すると、解は

v(t)=v≤tanh≤(g t v≤),{\displaystyle v(t)=v_{\infty}\tanh\left({\frac{gt}{v_{\infty}}}\right),}

ここで、終端速度は

v≤=2m g≤C D Aで与えられる。 {\displaystyle v_{\infty}={\sqrt{\frac{2mg}{\rho C_{D}A}}}\,.}

オブジェクトの速度対時間は、時間の関数として垂直位置を見つけるために時間をかけて積分することができます：

y=y0−v≤2g ln≤cosh≤(g t v≤)。 {\displaystyle y=y_{0}-{\frac{v_{\infty}2{2}}{g}}\ln\cosh\left({\frac{gt}{v_{\infty}}}\right).2}}\ln\cosh\left({\frac{gt}{v_{\infty}}}\right).2}}\ln\cosh\left({\frac{gt}{v_{\infty}}}\right).}

人間の末端速度の56m/sの数字を使用すると、10秒後に348メートル落ちて末端速度の94％に達し、12秒後に455メートル落ちて末端速度の97％に達したことがわか しかし、高高度から落下する物体のように空気密度が一定であると仮定できない場合、運動方程式は解析的に解くことがはるかに困難になり、運動の数値シミュレーションが通常必要となる。 図は、地球の上層大気を通って落下する隕石に作用する力を示しています。 ジョー-キッティンジャーやフェリックス-バウムガートナーの記録的なジャンプを含むヘイロー-ジャンプもこのカテゴリに属している。

逆二乗法則重力場編集

他の力がない状態で互いに周回する宇宙の二つの物体は、月や人工衛星が地球の周りに”落ちる”、または惑星が太陽の周りに”落ちる”など、互いに自由落下していると言える。 球面天体を仮定すると、運動方程式はニュートンの万有引力の法則によって支配され、重力二体問題の解はケプラーの惑星運動の法則に従う楕円軌道である。 地球の近くに落下する物体と周回する物体との間のこの関連は、思考実験、ニュートンの砲弾によって最もよく説明されています。

角運動量のない二つの物体が互いに向かって放射状に動く動きは、離心率e=1（半径楕円軌道）の楕円軌道の特別な場合と考えることができる。 これにより、半径方向の経路上の二つの点オブジェクトの自由落下時間を計算することができます。 この運動方程式の解は、分離の関数として時間を生成します:

t(y)=y0 3 2π(y y0(1−y y0)+arccos⁡y y0),{\displaystyle t(y)={\sqrt{\frac{{y_{0}}^{3}}{2\{\sqrt{{\frac{y}{y_{0}}}\left(1-{\frac{y}{y_{0}}}\right)}}+\arccos{\sqrt{\frac{y}{y_{0}}}\right),}

ここで、

t{\displaystyle t}は落下の開始後の時間y{\displaystyle y}は物体y0{\displaystyle y}の中心間の距離である。y_{0}}はyの初期値{\displaystyle y}λ=g(m1+m2){\displaystyle\mu=g(m_{1}+m_{2})}は標準重力パラメータである。

y=0{\displaystyle y=0}を代入すると、自由落下時間が得られる。

時間の関数としての分離は、方程式の逆数で与えられます。 逆行列は、解析べき級数

y(t)=≤n=1≤)]によって正確に表されます。 {\displaystyle y(t)=\sum_{n=1}.{\infty}\left\right)\right]である。}