jednolite pole grawitacyjne bez oporu powietrzaedit
jest to „podręcznikowy” przypadek pionowego ruchu obiektu spadającego na niewielką odległość blisko powierzchni planety. Jest to dobre przybliżenie w powietrzu, o ile siła grawitacji na obiekt jest znacznie większa niż siła oporu powietrza, lub równoważnie prędkość obiektu jest zawsze znacznie mniejsza niż prędkość końcowa (patrz poniżej).
v ( t ) = v 0 + g t {\displaystyle v(T)=v_{0}+gt\,} y ( T ) = v 0 t + y 0 + 1 2 G T 2 {\displaystyle y(t)=v_{0}t+y_{0}+{\frac {1}{2}}gt^{2}}
gdzie
V 0 {\displaystyle v_{0}\,} jest prędkość początkowa (m/s). v (T) {\displaystyle v (t)\,} jest prędkością pionową względem czasu (m / s). y 0 {\displaystyle y_{0}\,} jest początkową wysokością (m). y (t) {\displaystyle y (t)\,} jest wysokością względem czasu (m). t {\displaystyle t\,} to czas, który upłynął (s). g {\displaystyle g\,} to przyspieszenie grawitacyjne (9,81 m/s2 w pobliżu powierzchni Ziemi).
jednorodne pole grawitacyjne z odpornością na powietrzaedytuj
przyspieszenie małego meteoroidu podczas wchodzenia w atmosferę ziemską przy różnych początkowych prędkościach.
ten przypadek, który dotyczy spadochroniarzy, spadochroniarzy lub dowolnego ciała o masie, m {\displaystyle m} i powierzchni przekroju , A {\displaystyle A}, z liczbą Reynoldsa znacznie powyżej krytycznej liczby Reynoldsa , tak że opór powietrza jest proporcjonalny do kwadratu prędkości upadku, v {\displaystyle v}, ma równanie ruchu
m d v d t = m g-1 2 ρ C D A v 2, {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} T}}=mg − {\frac {1}{2}}\Rho C_{\mathrm {d} }AV^{2}\,,}
gdzie ρ {\displaystyle \rho} jest gęstością powietrza, A C D {\displaystyle C_ {\mathrm {d} }} jest współczynnikiem oporu, zakładanym jako stały, choć w ogólności będzie zależał od liczby Reynoldsa.
zakładając, że obiekt spada z spoczynku i nie zmienia gęstości powietrza z wysokością, rozwiązaniem jest:
v ( t ) = V ∞ tanh ( g t V∞), {\displaystyle v(T)=V_{\infty }\tanh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right),}
gdzie prędkość końcowa jest podana przez
V ∞ = 2 M G ρ c d a . {\displaystyle v_ {\infty } ={\sqrt {\frac {2mg}{\rho C_{D}A}}\,.}
prędkość obiektu względem czasu można zsumować w czasie, aby znaleźć pozycję pionową jako funkcję czasu:
y = y 0-v ∞ 2 g LN cosh ( G t V ∞ ) . {\displaystyle y = y_{0}-{\frac {v_{\infty} ^{2}} {g}}\LN \ cosh \ left({\frac {gt}{V_{\infty }}}\right).
korzystając z liczby 56 m/s dla końcowej prędkości człowieka, odkrywa się, że po 10 sekundach spadnie 348 metrów i osiągnie 94% końcowej prędkości, a po 12 sekundach spadnie 455 metrów i osiągnie 97% końcowej prędkości. Jednakże, gdy nie można założyć, że gęstość powietrza jest stała, na przykład dla obiektów spadających z dużej wysokości, równanie ruchu staje się znacznie trudniejsze do rozwiązania analitycznego i zwykle konieczna jest numeryczna symulacja ruchu. Rysunek przedstawia siły działające na meteoroidy spadające przez górną atmosferę Ziemi. Do tej kategorii należą również skoki halowe, w tym rekordowe skoki Joe Kittingera i Felixa Baumgartnera.
odwrotne kwadratowe pole grawitacyjneedytuj
można powiedzieć, że dwa obiekty w przestrzeni orbitujące wokół siebie w przypadku braku innych sił znajdują się w swobodnym opadzie wokół siebie, np. że Księżyc lub sztuczny satelita „opada” wokół Ziemi, lub planeta „opada” wokół Słońca. Założenie obiektów sferycznych oznacza, że równanie ruchu jest regulowane przez prawo Newtona o uniwersalnej grawitacji, przy czym rozwiązania grawitacyjnego problemu dwóch ciał są orbitami eliptycznymi zgodnymi z prawami ruchu planet Keplera. Ten związek między spadającymi obiektami w pobliżu Ziemi a orbitującymi obiektami najlepiej ilustruje eksperyment myślowy, kula armatnia Newtona.
ruch dwóch obiektów poruszających się promieniowo względem siebie bez momentu pędu można uznać za Szczególny przypadek eliptycznej orbity o mimośrodzie E = 1 (trajektoria eliptyczna radialna). Pozwala to obliczyć czas swobodnego spadania dla dwóch punktów na ścieżce radialnej. Rozwiązanie tego równania ruchu daje czas jako funkcję separacji:
t (y) = y 0 3 2 μ (y y 0 ( 1 − y y 0 ) + arccos y y 0), {\displaystyle t(y)={\sqrt {\frac {{y_{0}}^{3}}{2\mu }}}\left({\sqrt {{\frac {y}{y_{0}}}\left(1-{\frac {y}{y_{0}}}\right)}}+\arccos {\sqrt {\frac {y}{y_{0}}}}\right),}}
gdzie
t {\displaystyle t} to czas po rozpoczęciu upadku y {\displaystyle y} to odległość między środki ciał y 0 {\displaystyle y_{0}} jest wartością początkową y {\displaystyle y} μ = G ( M 1 + m 2 ) {\displaystyle \mu =g(M_{1}+M_{2})} jest standardowym parametrem grawitacyjnym.
podstawiając y = 0 {\displaystyle y = 0} otrzymujemy czas swobodnego spadania.
separacja jako funkcja czasu jest dana przez odwrotność równania. Odwrotność jest dokładnie reprezentowana przez szereg potęg analitycznych:
y (t) = ∑ n = 1∞)]. {\displaystyle y (t)=\sum _{n=1}^{\infty } \ left\right) \ right].