Definition av linjär ekvation av första ordningen
en differentialekvation av typ
\
där \(a \ left(x \right)\) och \(f\left(x \right)\) är kontinuerliga funktioner av \(x,\) kallas en linjär icke-homogen differentialekvation av första ordningen. Vi överväger två metoder för att lösa linjära differentialekvationer av första ordningen:
- använda en integrerande faktor;
- metod för variation av en konstant.
använda en integrerande faktor
om en linjär differentialekvation skrivs i standardformen:
\
integrationsfaktorn definieras av formeln
\
att multiplicera vänster sida av ekvationen med integrationsfaktorn \(u \left(x\ right)\) omvandlar vänster sida till derivatet av produkten\(y \left( x\right) u \left (x \ right).\)
den allmänna lösningen av differentialekvationen uttrycks enligt följande:
\
där \(C\) är en godtycklig konstant.
metod för Variation av en konstant
denna metod liknar den tidigare metoden. Först är det nödvändigt att hitta den allmänna lösningen av den homogena ekvationen:
\
den allmänna lösningen av den homogena ekvationen innehåller en integrationskonstant \(C.\) vi ersätter konstanten \(C\) med en viss(fortfarande okänd) funktion \(C\vänster (x \höger).\ ) Genom att ersätta denna lösning i den icke-homogena differentialekvationen kan vi bestämma funktionen \(C\left( x \right).\)
den beskrivna algoritmen kallas metoden för variation av en konstant. Naturligtvis leder båda metoderna till samma lösning.
Initialvärdesproblem
om förutom differentialekvationen finns det också ett initialvillkor i form av \(y\left( {{x_0}} \right) = {y_0},\) ett sådant problem kallas initialvärdesproblemet (IVP) eller Cauchy-problemet.
en viss lösning för en IVP innehåller inte konstanten \(C,\) som definieras genom substitution av den allmänna lösningen i det ursprungliga tillståndet \(y\left( {{x_0}} \right) = {y_0}.\ )
Lösta problem
klicka eller tryck på ett problem för att se lösningen.
exempel 1
Lös ekvationen \(y – – y-x{e^x} \) \ (=0.\)
exempel 2
Lös differentialekvationen \(xy ’ = y + 2{x^3}.\)
exempel 3
Lös ekvationen \(y ’– 2y = x.\)
exempel 4
Lös differentialekvationen \({x^2}y ’ + xy + 2 \) \ (=0.\)
exempel 5
Lös det ursprungliga värdeproblemet: \(y’ – y\tan x\) \ (=\sin x,\) \(y\left (0 \right) = 1.\)
exempel 6
Lös differentialekvationen (IVP) \(y’ + {\large\frac{3}{x}\normalsize}y\) \ (={\large\frac{2}{{{x^2}}}\normalsize}\) med det ursprungliga villkoret \(y\left( 1 \right) = 2.\)
exempel 7
hitta den allmänna lösningen av differentialekvationen \(y = \ vänster ({2{y^4} + 2x} \höger)y’.\)
exempel 1.
Lös ekvationen \(y ’ – y-x{e^x} \) \ (=0.\ )
lösning.
vi skriver om denna ekvation i standardform:
\
vi kommer att lösa denna ekvation med hjälp av integrationsfaktorn
\
därefter ges den allmänna lösningen av den linjära ekvationen av
\
exempel 2.
Lös differentialekvationen \(xy ’ = y + 2{x^3}.\ )
lösning.
vi kommer att lösa detta problem genom att använda metoden för variation av en konstant. Först hittar vi den allmänna lösningen av den homogena ekvationen:
\
som kan lösas genom att separera variablerna:
\
där \(C\) är ett positivt reellt tal.
nu ersätter vi \(C\) med en viss (fortfarande okänd) funktion \(C\left( x \right)\) och hittar en lösning av den ursprungliga icke-homogena ekvationen i formen:
\
därefter ges derivatet av
\^\prime } }={ C’\left( x \right)x + C\left( x \right).}\]
att ersätta detta i ekvationen ger:
\ }={ C \ vänster (x \höger)x + 2{x^3},\;\;}}\Rightarrow
{{C’\left( X \right){x^2} + \cancel{C\left (x \ right) x} } = {\cancel{C \ left (x \right)x} + 2{x^3},\;\;}}\Rightarrow
{C ’ \ vänster (x \ höger) = 2x.}
\]
vid integration hittar vi funktionen \({C \ left (x \ right)}:\)
\
där \({C_1}\) är ett godtyckligt reellt tal.
således skrivs den allmänna lösningen av den givna ekvationen i formen
\