ensartet tyngdefelt uden luftmodstandrediger
dette er “lærebogen” – sagen om den lodrette bevægelse af et objekt, der falder en lille afstand tæt på overfladen af en planet. Det er en god tilnærmelse i luft, så længe tyngdekraften på objektet er meget større end luftmodstandskraften, eller ækvivalent er objektets hastighed altid meget mindre end terminalhastigheden (se nedenfor).
v ( t ) = v 0 + g t {\displaystyle v(t)=v_{0}+gt\,} y ( t ) = v 0 t + y 0 + 1 2 g t 2 {\displaystyle y(t)=v_{0}t+y_{0}+{\frac {1}{2}}gt^{2}}
hvor
v 0 {\displaystyle v_{0}\,} er den indledende hastighed (m/s). v(t ) {\displaystyle v (t)\,} er den lodrette hastighed med hensyn til tid (m/s). y 0 {\displaystyle y_{0}\,} er den oprindelige højde (m). y (t) {\displaystyle y (t)\,} er højden med hensyn til tid (m). t {\displaystyle t\,} er forløbet tid (er). g {\displaystyle g\,} er accelerationen på grund af tyngdekraften (9,81 m/s2 nær jordens overflade).
ensartet gravitationsfelt med luftmodstandrediger
Acceleration af en lille meteoroid, når den kommer ind i Jordens atmosfære ved forskellige indledende hastigheder.
denne sag, der gælder for faldskærmsudspringere, faldskærmsudspringere eller ethvert masselegeme, m {\displaystyle m} og tværsnitsareal , a {\displaystyle A}, med Reynolds-nummer langt over det kritiske Reynolds − nummer , således at luftmodstanden er proportional med kvadratet af faldhastigheden, v {\displaystyle v}, har en bevægelsesligning
m d v d t = M g-1 2 list C D A v 2, {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}=mg – {\frac {1}{2}}\Rho C_{\mathrm {d} }av^{2}\,,}
hvor {\displaystyle \rho } er lufttætheden og C D {\displaystyle C_ {\mathrm {D} }} er trækkoefficienten, antages at være konstant, selvom den generelt afhænger af Reynolds-nummeret.
hvis man antager et objekt, der falder fra hvile og ingen ændring i luftdensitet med højde, er løsningen:
v ( t ) = v kur t tanh ( g t v), {\displaystyle v(t)=v_{\infty }\tanh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right),}
hvor terminalhastigheden er givet af
v kurt = 2 m g c d a . {\displaystyle v_ {\infty } ={\frac {2mg} {\rho C_{D}A}}}\,.}
objektets hastighed kontra tid kan integreres over tid for at finde den lodrette position som en funktion af tiden:
y = y 0 − V-kran 2 g Ln-kran cosh-kran ( g t v-kran ) . {\displaystyle y=y_{0} – {\frac {v_ {\infty }^{2}}{g}} \ ln \cosh \ venstre ({\frac {gt}{v_{\infty }}}\højre).}
ved hjælp af tallet 56 m / s for et menneskes terminalhastighed finder man, at han efter 10 sekunder vil være faldet 348 meter og nået 94% af terminalhastigheden, og efter 12 sekunder vil han være faldet 455 meter og have nået 97% af terminalhastigheden. Når lufttætheden imidlertid ikke kan antages at være konstant, såsom for genstande, der falder fra høj højde, bliver bevægelsesligningen meget vanskeligere at løse analytisk, og en numerisk simulering af bevægelsen er normalt nødvendig. Figuren viser de kræfter, der virker på meteoroider, der falder gennem Jordens øvre atmosfære. HALO jumps, herunder Joe Kittinger ‘s og Baumgartner’ s record Jum, hører også til i denne kategori.
omvendt kvadratisk lov gravitationsfeltredit
det kan siges, at to objekter i rummet, der kredser om hinanden i fravær af andre kræfter, er i frit fald omkring hinanden, f.eks. at Månen eller en kunstig satellit “falder omkring” Jorden, eller en planet “falder omkring” Solen. Hvis man antager sfæriske objekter, betyder det, at bevægelsesligningen styres af den universelle gravitationslov, hvor løsninger på gravitationsproblemet med to kroppe er elliptiske baner, der adlyder Keplers love om planetarisk bevægelse. Denne forbindelse mellem faldende genstande tæt på jorden og kredsende objekter illustreres bedst af tankeeksperimentet, Nyton ‘ s kanonkugle.
bevægelsen af to objekter, der bevæger sig radialt mod hinanden uden vinkelmoment, kan betragtes som et specielt tilfælde af en elliptisk bane med ekscentricitet e = 1 (radial elliptisk bane). Dette gør det muligt for en at beregne frifaldstiden for to punktsobjekter på en radial sti. Løsningen af denne bevægelsesligning giver tid som en funktion af adskillelse:
t (y ) = y 0 3 2 ret (y y 0 (1-y Y 0) + arccos ret y y 0), {\displaystyle t (y)={\frac {{y_{0}}^{3}}{2\mu }}}\venstre({\frac {y} {y_ {0}}} \venstre(1-{\frac{y} {y_ {0}}}\højre)}}+\arccos {\frac{y} {y_ {0}}}} \højre),}
hvor
t {\displaystyle t} er tiden efter starten af efteråret y {\displaystyle y} er afstanden mellem centrene af kroppene y 0 {\displaystyle Y_ {0}} er den oprindelige værdi af y {\displaystyle y} list = g ( m 1 + m 2) {\displaystyle\mu =g(m_{1}+m_ {2})} er standard gravitationsparameteren.
udskiftning af y = 0 {\displaystyle y=0} vi får frit faldstiden.
adskillelsen som en funktion af tiden er givet ved den inverse af ligningen. Den inverse er repræsenteret nøjagtigt af den analytiske kraftserie:
y ( t) = list n = 1 list ) ] . {\displaystyle y (t)=\sum _{n=1}^{\infty }\venstre\højre)\højre].}
evaluering af dette udbytte: