- Was ist eine Gleichung?
- Was ist eine Lösung?
- Beispiel: x − 2 = 4
- Mehr als eine Lösung
- Beispiel: (x-3)(x−2) = 0
- Lösungen überall!
- Beispiel: sin(-θ) = -sin(θ) ist eine der trigonometrischen Identitäten
- So lösen Sie eine Gleichung
- Ein nützliches Ziel
- Beispiel: Löse 3x−6 = 9
- Wie ein Puzzle
- Beispiel: Löse √(x/2) = 3
- Spezielle Gleichungen
- Überprüfen Sie Ihre Lösungen
- So überprüfen Sie
- Beispiel: Löse für x:
- Tipps
Was ist eine Gleichung?
Eine Gleichung besagt, dass zwei Dinge gleich sind. Es wird ein Gleichheitszeichen „=“ wie folgt haben:
| x | − | 2 | = | 4 |
Diese Gleichungen sagen: Was links ist (x – 2) ist gleich dem, was rechts ist (4)
Eine Gleichung ist also wie eine Aussage „dies entspricht dem“
Was ist eine Lösung?
Eine Lösung ist ein Wert, den wir anstelle einer Variablen (wie x) setzen können, die die Gleichung wahr macht.
Beispiel: x − 2 = 4
Wenn wir 6 anstelle von x setzen, erhalten wir:
6 − 2 = 4
was wahr ist
Also ist x = 6 eine Lösung.
Wie wäre es mit anderen Werten für x?
- Für x=5 erhalten wir „5-2=4“, was nicht wahr ist, also ist x=5 keine Lösung.
- Für x =9 erhalten wir „9-2=4“, was nicht wahr ist, also ist x=9 keine Lösung.
- etc
In diesem Fall ist x = 6 die einzige Lösung.
Vielleicht möchten Sie das Lösen einiger animierter Gleichungen üben.
Mehr als eine Lösung
Es kann mehr als eine Lösung geben.
Beispiel: (x-3)(x−2) = 0
Wenn x 3 ist, erhalten wir:
(3-3)(3-2) = 0 × 1 = 0
was wahr ist
Und wenn x 2 ist, bekommen wir:
(2-3)(2-2) = (-1) × 0 = 0
was auch wahr ist
Also sind die Lösungen:
x = 3 oder x = 2
Wenn wir alle Lösungen zusammenfassen, wird dies als Lösungssatz bezeichnet
Der obige Lösungssatz lautet: {2, 3}
Lösungen überall!
Einige Gleichungen gelten für alle zulässigen Werte und werden dann als Identitäten bezeichnet
Beispiel: sin(-θ) = -sin(θ) ist eine der trigonometrischen Identitäten
Versuchen wir θ = 30°:
sin(-30°) = -0,5 und
-sin(30°) = -0.5
Es gilt also für θ = 30 °
Versuchen wir θ = 90°:
sin(-90°) = -1 und
-sin(90°) = -1
Es gilt also auch für θ = 90 °
Gilt es für alle Werte von θ? Probieren Sie einige Werte selbst aus!
So lösen Sie eine Gleichung
Es gibt keinen „einen perfekten Weg“, um alle Gleichungen zu lösen.
Ein nützliches Ziel
Aber wir haben oft Erfolg, wenn es unser Ziel ist, mit:
x = something
Mit anderen Worten, wir wollen alles außer „x“ (oder welchen Namen auch immer die Variable hat) auf die rechte Seite verschieben.
Beispiel: Löse 3x−6 = 9
Jetzt haben wir x = something,
und eine kurze Berechnung zeigt, dass x = 5
Wie ein Puzzle
Tatsächlich ist das Lösen einer Gleichung genau wie das Lösen eines Puzzles. Und wie Rätsel gibt es Dinge, die wir tun können (und nicht können).
Hier sind einige Dinge, die wir tun können:
- Addieren oder subtrahieren Sie denselben Wert von beiden Seiten
- Löschen Sie Brüche, indem Sie jeden Term mit den unteren Teilen multiplizieren
- Teilen Sie jeden Term durch denselben Wert ungleich Null
- Kombinieren Sie ähnliche Terme
- Factoring
- Erweitern (das Gegenteil von Factoring) hilfe
- Erkennen eines Musters, z. B. der Differenz von Quadraten
- Manchmal können wir eine Funktion auf beide Seiten anwenden (z. B. beide Seiten quadrieren)
Beispiel: Löse √(x/2) = 3
Und je mehr „Tricks“ und Techniken Sie lernen, desto besser werden Sie.
Spezielle Gleichungen
Es gibt spezielle Möglichkeiten, einige Arten von Gleichungen zu lösen. Erfahren Sie, wie …
- Lösen Sie quadratische Gleichungen
- lösen Sie radikale Gleichungen
- Lösen Sie Gleichungen mit Sinus, Cosinus und Tangens
Überprüfen Sie Ihre Lösungen
Sie sollten immer überprüfen, ob Ihre „Lösung“ wirklich eine Lösung ist.
So überprüfen Sie
Nehmen Sie die Lösung (en) und fügen Sie sie in die ursprüngliche Gleichung ein, um zu sehen, ob sie wirklich funktionieren.
Beispiel: Löse für x:
2xx − 3 + 3 = 6x – 3 (x≠3)
Wir haben x≠3 gesagt, um eine Division durch Null zu vermeiden.
Multiplizieren wir mit (x − 3):
2x + 3(x−3) = 6
Bringen Sie die 6 nach links:
2x + 3(x−3) − 6 = 0
Erweitern und lösen:
2x + 3x − 9 − 6 = 0
5x − 15 = 0
5( x − 3) = 0
x − 3 = 0
Das kann gelöst werden, indem x=3
Lassen Sie uns überprüfen:
2 × 33 − 3 + 3 = 63 − 3
Warte!
Das bedeutetteilen durch Null!
Und wie auch immer, wir haben oben gesagt, dass x≠3, also …
x = 3 funktioniert eigentlich nicht, und so:
Es gibt keine Lösung!
Das war interessant… wir dachten, wir hätten eine Lösung gefunden, aber als wir auf die Frage zurückblickten, stellten wir fest, dass sie nicht erlaubt war!
Dies gibt uns eine moralische Lektion:
“ Solving“ gibt uns nur mögliche Lösungen, sie müssen überprüft werden!
Tipps
- Notieren Sie, wo ein Ausdruck nicht definiert ist (aufgrund einer Division durch Null, der Quadratwurzel einer negativen Zahl oder aus einem anderen Grund)
- Zeigen Sie alle Schritte an, damit sie später überprüft werden können (von Ihnen oder jemand anderem)