- Che cos’è un’equazione?
- che Cosa è una Soluzione?
- Esempio: x− 2 = 4
- Più di una soluzione
- Esempio: (x−3)(x−2) = 0
- Soluzioni in tutto il mondo!
- Esempio: sin(−θ) = −sin(θ) è uno dei le Identità Trigonometriche
- Come risolvere un’equazione
- Un obiettivo utile
- Esempio: Risolvi 3x−6 = 9
- Come un puzzle
- Esempio: Risolvere √(x/2) = 3
- Equazioni speciali
- Controlla le tue soluzioni
- Come controllare
- Esempio: risolvi per x:
- Suggerimenti
Che cos’è un’equazione?
Un’equazione dice che due cose sono uguali. Sarà un segno di uguale “=” come questo:
| x | − | 2 | = | 4 |
Che le equazioni dice: ciò che è a sinistra (x − 2) è uguale a quello che si trova sulla destra (4)
Così un’equazione è come una dichiarazione “questo equivale a quella”
che Cosa è una Soluzione?
Una Soluzione è un valore che possiamo mettere al posto di una variabile (come x) che rende vera l’equazione.
Esempio: x− 2 = 4
Quando mettiamo 6 al posto di x otteniamo:
6 − 2 = 4
che è vero
Quindi x = 6 è una soluzione.
Che ne dici di altri valori per x ?
- Per x=5 otteniamo “5-2=4” che non è vero, quindi x=5 non è una soluzione.
- Per x = 9 otteniamo “9-2=4” che non è vero, quindi x = 9 non è una soluzione.
- ecc
In questo caso x = 6 è l’unica soluzione.
Ti piacerebbe esercitarti a risolvere alcune equazioni animate.
Più di una soluzione
Possono esserci più di una soluzione.
Esempio: (x−3)(x−2) = 0
Quando x è 3 che si ottiene:
(3-3)(3-2) = 0 × 1 = 0
che è vero
E quando x è 2 otteniamo:
(2-3)(2-2) = (-1) × 0 = 0
che è anche vero
Quindi le soluzioni sono:
x = 3, x = 2
Quando ci riuniamo tutti insieme le soluzioni, si chiama un Insieme di Soluzione
La soluzione di cui sopra è impostato: {2, 3}
Soluzioni in tutto il mondo!
Alcune equazioni sono vere per tutti i valori consentiti e sono quindi chiamati Identità
Esempio: sin(−θ) = −sin(θ) è uno dei le Identità Trigonometriche
proviamo θ = 30°:
peccato(-30°) = -0.5 e
−peccato(30°) = -0.5
Quindi è vero per θ = 30°
proviamo θ = 90°:
peccato(-90°) = -1 e
−peccato(90°) = -1
Così è anche vero che per θ = 90°
È vero per tutti i valori di θ? Prova alcuni valori per te!
Come risolvere un’equazione
Non esiste un “modo perfetto” per risolvere tutte le equazioni.
Un obiettivo utile
Ma spesso otteniamo il successo quando il nostro obiettivo è quello di finire con:
x = qualcosa
In altre parole, vogliamo spostare tutto tranne “x” (o qualsiasi nome abbia la variabile) sul lato destro.
Esempio: Risolvi 3x−6 = 9
Ora abbiamo x = qualcosa,
e un breve calcolo rivela che x = 5
Come un puzzle
Infatti, risolvere un’equazione è proprio come risolvere un puzzle. E come i puzzle, ci sono cose che possiamo (e non possiamo) fare.
Ecco alcune cose che possiamo fare:
- Aggiungere o Sottrarre il valore stesso da entrambi i lati
- eliminare eventuali frazioni Moltiplicando ogni termine con il fondo parti
- Dividere ogni termine con lo stesso valore diverso da zero
- Unire i Termini
- Factoring
- Espansione (l’opposto di factoring) può anche aiutare a
- Riconoscimento di un pattern, come differenza di quadrati
- a Volte si può applicare una funzione a entrambi i lati (ad es. un quadrato entrambi i lati)
Esempio: Risolvere √(x/2) = 3
E più “trucchi” e tecniche impari, meglio otterrai.
Equazioni speciali
Esistono modi speciali per risolvere alcuni tipi di equazioni. Impara a farlo …
- risolvi equazioni di secondo grado
- risolvi equazioni radicali
- risolvi equazioni con Seno, coseno e tangente
Controlla le tue soluzioni
Dovresti sempre controllare che la tua “soluzione” sia davvero una soluzione.
Come controllare
Prendi le soluzioni e inseriscile nell’equazione originale per vedere se funzionano davvero.
Esempio: risolvi per x:
2xx − 3 + 3 = 6x − 3 (x 3 3)
Abbiamo detto x 3 3 per evitare una divisione per zero.
Moltiplichiamo per (x − 3):
2x + 3(x−3) = 6
Portare il 6 a sinistra:
2x + 3(x−3) − 6 = 0
Espandere e risolvere:
2x + 3x− 9 − 6 = 0
5x− 15 = 0
5(x− 3) = 0
x− 3 = 0
Che può essere risolto avendo x=3
Cerchiamo di controllare:
2 × 33 − 3 + 3 = 63 − 3
Appendere!
Significa dividere per Zero!
E comunque, abbiamo detto in alto che x 3 3, quindi …
x = 3 in realtà non funziona, e così:
Non c’è soluzione!
È stato interessante … pensavamo di aver trovato una soluzione, ma quando abbiamo guardato indietro alla domanda abbiamo trovato che non era permesso!
Questo ci dà una lezione morale:
“Solving” ci dà solo soluzioni possibili, devono essere controllate!
Suggerimenti
- Annota dove un’espressione non è definita (a causa di una divisione per zero, della radice quadrata di un numero negativo o di qualche altro motivo)
- Mostra tutti i passaggi, in modo che possa essere controllata in seguito (da te o da qualcun altro)