Champ gravitationnel uniforme sans résistance à l’airmodifier
C’est le cas « classique » du mouvement vertical d’un objet tombant à une petite distance près de la surface d’une planète. C’est une bonne approximation dans l’air tant que la force de gravité sur l’objet est beaucoup plus grande que la force de résistance de l’air, ou de manière équivalente la vitesse de l’objet est toujours beaucoup moins grande que la vitesse terminale (voir ci-dessous).
v(t) = v 0 + g t {\displaystyle v(t) = v_{0} + gt\,} y(t) = v 0 t +y 0 + 1 2 g t 2 {\displaystyle y(t) = v_{0} t +y_{0} +{\frac{1}{2}} gt^{2}}
où
v 0 {\displaystyle v_{0}\, } est la vitesse initiale ( m/ s). v(t) {\displaystyle v(t)\,} est la vitesse verticale par rapport au temps (m/s). y 0 {\displaystyle y_{0}\,} est l’altitude initiale (m). y(t) {\displaystyle y(t)\,} est l’altitude par rapport au temps (m). t {\displaystyle t\,} est le temps écoulé(s). g {\displaystyle g\,} est l’accélération due à la gravité (9,81 m/s2 près de la surface de la terre).
Champ gravitationnel uniforme avec résistance à l’airmodifier
Accélération d’un petit météoroïde lors de l’entrée dans l’atmosphère terrestre à différentes vitesses initiales.
Ce cas, qui s’applique aux parachutistes, aux parachutistes ou à tout corps de masse, m {\displaystyle m}, et à la section transversale, A {\displaystyle A}, dont le nombre de Reynolds est bien supérieur au nombre de Reynolds critique, de sorte que la résistance de l’air est proportionnelle au carré de la vitesse de chute, v {\displaystyle v}, a une équation de mouvement
m d v d t = m g-1 2 ρ C D A v 2, {\displaystyle m {\frac {\mathrm {d}v }{\mathrm{d}} = mg−{\frac{1}{2}} \rho C_{\mathrm{D}}Av^{2}\,,}
où ρ {\displaystyle\rho} est la densité de l’air et C D {\displaystyle C_{\mathrm{D} }} est le coefficient de traînée, supposé constant bien qu’en général il dépende du nombre de Reynolds.
En supposant qu’un objet tombe du repos et qu’aucun changement de densité de l’air ne change avec l’altitude, la solution est :
v(t) = v ∞ tanh (g t v ∞), {\displaystyle v(t) = v_{\infty}\tanh\left({\frac{gt}{v_{\infty}}}\right), }
où la vitesse terminale est donnée par
v ∞ = 2 m g ρ C D A. {\displaystyle v_{\infty} ={\sqrt{\frac{2mg}{\rho C_{D}A}}}\,.}
La vitesse de l’objet en fonction du temps peut être intégrée dans le temps pour trouver la position verticale en fonction du temps :
y = y 0 − v ∞ 2 g ln cosh (g t v ∞). {\displaystyle y= y_{0} – {\frac{v_{\infty}^{2}}{g}}\ln\cosh\left ({\frac{gt}{v_{\infty}}}\right).}
En utilisant le chiffre de 56 m/s pour la vitesse terminale d’un humain, on constate qu’après 10 secondes, il aura chuté de 348 mètres et atteint 94% de la vitesse terminale, et après 12 secondes, il aura chuté de 455 mètres et atteint 97% de la vitesse terminale. Cependant, lorsque la densité de l’air ne peut être supposée constante, comme pour des objets tombant de haute altitude, l’équation du mouvement devient beaucoup plus difficile à résoudre analytiquement et une simulation numérique du mouvement est généralement nécessaire. La figure montre les forces agissant sur les météorites tombant dans la haute atmosphère terrestre. Les sauts HALO, y compris les sauts record de Joe Kittinger et Felix Baumgartner, appartiennent également à cette catégorie.
Champ gravitationnel de loi de carré inversifdit
On peut dire que deux objets dans l’espace en orbite l’un autour de l’autre en l’absence d’autres forces sont en chute libre l’un autour de l’autre, par exemple que la Lune ou un satellite artificiel « tombe » autour de la Terre, ou une planète « tombe » autour du Soleil. En supposant des objets sphériques, l’équation du mouvement est régie par la loi de la gravitation universelle de Newton, les solutions au problème gravitationnel à deux corps étant des orbites elliptiques obéissant aux lois du mouvement planétaire de Kepler. Cette connexion entre des objets qui tombent près de la Terre et des objets en orbite est mieux illustrée par l’expérience de pensée, le boulet de canon de Newton.
Le mouvement de deux objets se déplaçant radialement l’un vers l’autre sans moment cinétique peut être considéré comme un cas particulier d’une orbite elliptique d’excentricité e = 1 (trajectoire elliptique radiale). Cela permet de calculer le temps de chute libre pour deux objets ponctuels sur un chemin radial. La solution de cette équation du mouvement donne le temps en fonction de la séparation:
t(y) = y 0 3 2 μ(y y 0(1−y y 0) + arccos y y 0), {\displaystyle t(y) = {\sqrt{\frac{{y_{0}}^{3}}{2\ mu}}}\left({\sqrt{{\frac{y}{y_{0}}}\left(1-{\frac{y}{y_{0}}}\right)}} +\arccos{\sqrt{\frac{y}{y_{0}}}}\right), }
où
t{\displaystyle t} est le temps après le début de la chute y{\displaystyle y} est la distance entre les centres des corps y 0 {\displaystyle y_{0}} est la valeur initiale de y {\displaystyle y} μ= G(m 1 + m 2) {\displaystyle\mu = G(m_{1} + m_{2})} est le paramètre gravitationnel standard.
En remplaçant y=0 {\displaystyle y=0} on obtient le temps de chute libre.
La séparation en fonction du temps est donnée par l’inverse de l’équation. L’inverse est représenté exactement par la série de puissance analytique :
y(t) = ∑ n = 1 ∞)]. {\displaystyle y(t) = \sum_{n= 1}^{\infty}\left\right)\right].}
Évaluer cela donne: