Queda livre

campo gravitacional Uniforme, sem ar resistanceEdit

Este é o “livro-texto” caso de movimento vertical de um objeto caindo uma pequena distância perto da superfície de um planeta. É uma boa aproximação no ar, desde que a força da gravidade sobre o objeto seja muito maior do que a força da resistência do ar, ou equivalentemente a velocidade do objeto é sempre muito menor do que a velocidade terminal (ver abaixo).

v ( t ) = v 0 + g t {\displaystyle v(t)=v_{0}+gt\,} y ( t ) = v 0 t + y 0 + 1 2 g t 2 {\displaystyle y(t)=v_{0}t+y_{0}+{\frac {1}{2}}gt^{2}}

onde

v 0 {\displaystyle v_{0}\,} é a velocidade inicial (m/s). v (t) {\displaystyle v(t)\,} é a velocidade vertical em relação ao tempo (m/S). y 0 {\displaystyle y_{0}\,} é a altitude inicial (m). y (t) {\displaystyle y(t)\,} é a altitude em relação ao tempo (m). t {\displaystyle t\,} é tempo decorrido (s). g {\displaystyle G\,} é a aceleração devida à gravidade (9,81 m/s2 perto da superfície da terra). Campo gravitacional uniforme com resistências de ar

Neste caso, o que se aplica para-quedistas, pára-quedistas ou de qualquer corpo de massa m {\displaystyle m} , e a área da seção transversal, Uma {\displaystyle A} , com números de Reynolds acima da crítica números de Reynolds, de modo que a resistência do ar é proporcional ao quadrado da queda de velocidade, v {\displaystyle v} , tem uma equação de movimento

m d v d t = m g − 1 2 ρ C D A v 2 , {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\frac {1}{2}}\rho C_{\mathrm {D} }Av^{2}\,,}

onde ρ {\displaystyle \rho } é a densidade do ar e a C D {\displaystyle C_{\mathrm {D} }}} é o coeficiente de arrasto, assumido como constante, embora em Geral irá depender do número de Reynolds.

Supondo que um objeto em queda a partir do repouso e nenhuma alteração na densidade do ar com a altitude, a solução é:

v ( t ) = v ∞ tanh ⁡ ( g t v ∞ ) , {\displaystyle v(t)=v_{\infty }\tanh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right),}

onde o terminal de velocidade é dado por

v ∞ = 2 m g ρ C D Um . {\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {\frac {2mg}{\rho C_{D}A}}}}}\,.}

a velocidade do objeto versus o tempo pode ser integrada ao longo do tempo para encontrar a posição vertical como uma função do tempo:

y = y 0 − v ∞ 2 g ln ⁡ cosh ⁡ ( g t v ∞ ) . {\displaystyle y=y_{0}-{\frac {v_{\infty }^{2}}{g}}\ln \cosh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right).}

Usando a figura de 56 m/s para a velocidade terminal de um ser humano, descobre-se que após 10 segundos, ele terá caído a 348 metros e alcançou 94% de velocidade terminal, e depois de 12 segundos ele terá caído 455 metros e terá alcançado mais de 97% da velocidade terminal. No entanto, quando a densidade do ar não pode ser assumida como constante, como para objetos que caem de alta altitude, a equação de movimento torna-se muito mais difícil de resolver analiticamente e uma simulação numérica do movimento é geralmente necessária. A figura mostra as forças atuando em meteoroides caindo através da atmosfera superior da Terra. Saltos de HALO, incluindo os saltos de Joe Kittinger e Felix Baumgartner, também pertencem a esta categoria.Pode-se dizer que dois objetos no espaço orbitando um ao outro na ausência de outras forças estão em queda livre em torno do outro, por exemplo, que a Lua ou um satélite artificial “cai ao redor” da terra, ou um planeta “cai ao redor” do sol. Assumindo que objetos esféricos significa que a equação do movimento é regida pela lei de Newton da gravitação universal, com soluções para o problema gravitacional de dois corpos sendo órbitas elípticas obedecendo às leis de Kepler do movimento planetário. Esta conexão entre objetos caindo perto da terra e objetos orbitando é melhor ilustrada pelo experimento de pensamento, a bala de Canhão de Newton.

o movimento de dois objetos movendo-se radialmente em direção uns aos outros sem momento angular pode ser considerado um caso especial de uma órbita elíptica de excentricidade e = 1 (trajetória elíptica radial). Isto permite calcular o tempo de queda livre para dois objetos pontuais em um caminho radial. A solução desta equação de movimento produz tempo em função da separação:

t ( y ) = y 0 3 2 μ ( y y 0 ( 1 − y 0 ) + arccos ⁡ y y 0 ) , {\displaystyle t(y)={\sqrt {\frac {{y_{0}}^{3}}{2\mu }}}\left({\sqrt {{\frac {y}{y_{0}}}\left(1-{\frac {y}{y_{0}}}\right)}}+\arccos {\sqrt {\frac {y}{y_{0}}}}\right),}

onde

t {\displaystyle t} é o tempo após o início da queda y {\displaystyle y} é a distância entre os centros dos corpos y 0 {\displaystyle y_{0}} é o valor inicial de y {\displaystyle y} μ = G ( m 1 + m 2 ) {\displaystyle \mu =G(m_{1}+m_{2})} é o padrão gravitacional parâmetro. Substituindo y = 0 {\displaystyle y = 0} temos o tempo de queda livre.

a separação em função do tempo é dada pelo inverso da equação. O inverso é representado exatamente pela série analítica de potência:

y (t ) = ∑ n = 1 ∞ ) ] . {\displaystyle y(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left\right)\right].

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