vid beräkning av termisk expansion är det nödvändigt att överväga om kroppen är fri att expandera eller är begränsad. Om kroppen är fri att expandera, kan expansionen eller stammen till följd av en temperaturökning enkelt beräknas med hjälp av den tillämpliga Värmeutvidgningskoefficienten.
om kroppen är begränsad så att den inte kan expandera, kommer inre stress att orsakas (eller ändras) av en temperaturförändring. Denna stress kan beräknas genom att överväga den belastning som skulle uppstå om kroppen var fri att expandera och den stress som krävs för att minska den belastningen till noll, genom stress/töjningsförhållandet som kännetecknas av elastiken eller Youngs modul. I det speciella fallet med fasta material påverkar det yttre omgivningstrycket vanligtvis inte märkbart storleken på ett föremål och därför är det vanligtvis inte nödvändigt att överväga effekten av tryckförändringar.
vanliga fasta ämnen har vanligtvis värmeutvidgningskoefficienter som inte varierar avsevärt över temperaturområdet där de är konstruerade för att användas, så där extremt hög noggrannhet inte krävs kan praktiska beräkningar baseras på ett konstant, medelvärde, värdet av expansionskoefficienten.
linjär expansionRedigera
linjär expansion betyder förändring i en dimension (längd) i motsats till volymförändring (volymetrisk expansion).Till en första approximation är förändringen i längdmätningar av ett objekt på grund av termisk expansion relaterad till temperaturförändring med en koefficient för linjär termisk expansion (CLTE). Det är den fraktionella förändringen i längd per grad av temperaturförändring. Om vi antar försumbar effekt av tryck kan vi skriva:
ci L = 1 L d L D t {\displaystyle \ alpha _{l}={\frac {1}{l}}\, {\frac {dL}{dT}}}
där L {\displaystyle L}
är en viss längdmätning och d L / d t {\displaystyle dL / dT}
är förändringshastigheten för den linjära dimensionen per enhetsförändring i temperatur.
förändringen i den linjära dimensionen kan beräknas vara:
Sac L L = sac l Sac t {\displaystyle {\frac {\Delta l}{l}}= \ alpha _{L} \ Delta t}
denna uppskattning fungerar bra så länge som den linjära expansionskoefficienten inte förändras mycket över temperaturförändringen Sac t {\displaystyle \ Delta t}
, och den fraktionerade förändringen i längd är liten kg / kg 1 {\displaystyle \ Delta l / l\ll 1}
. Om något av dessa villkor inte gäller måste den exakta differentialekvationen (med D L / d t {\displaystyle dL/dT}
) integreras.
Effects on strainEdit
för fasta material med en betydande längd, som stavar eller kablar, kan en uppskattning av mängden termisk expansion beskrivas med materialstammen, givet av
och definieras som: ( i n a l − l i n i t i a L ) L i n i t i a l {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {thermal}} = {\frac {(L_{\mathrm {final} }-L_{\mathrm {initial} })}{L_{\mathrm {initial}}} }}}}
där L i n i T i a l{\displaystyle L_ {\mathrm {initial} }}
är längden före temperaturförändringen och L F i n a l {\displaystyle L_{\mathrm {final} }}
är längden efter förändring av temperatur.
för de flesta fasta ämnen är värmeutvidgningen proportionell mot temperaturförändringen:
t h e r m a l t {\displaystyle \Epsilon _{\mathrm {thermal} }\propto \delta T}
således kan förändringen i antingen stammen eller temperaturen uppskattas av:
t h e r M a L = T L t {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {thermal} }=\alpha _{L}\Delta t}
där
T = ( T F i n a l − t i n t i a l ) {\displaystyle \Delta T=(T_{\mathrm {Final} }-T_{\mathrm {initial} })}
är skillnaden mellan temperaturen mellan de två registrerade stammarna, mätt i grader Fahrenheit, grader Rankine, grader Celsius eller kelvin, och bisexuell L {\displaystyle \ alpha _{L}}
är den linjära värmeutvidgningskoefficienten i ”per grad Fahrenheit”, ”per grad Rankine”, ”per grad Celsius” eller ”per kelvin”, betecknad med F−1, R−1, C−1 eller K−1. Inom området kontinuummekanik behandlas den termiska expansionen och dess effekter som egenspänning och egenstress.
Area expansionEdit
area termisk expansionskoefficient relaterar förändringen i ett materials areamått till en temperaturförändring. Det är den fraktionella förändringen i området per grad av temperaturförändring. Ignorera trycket, vi kan skriva:
ci A = 1 A D A D t {\displaystyle \ alpha _{A}={\frac {1}{A}}\, {\frac {dA}{dT}}}
där en {\displaystyle A}
är något område av intresse för objektet, och d a / d t {\displaystyle dA/dT}
är förändringshastigheten för det området per enhetsförändring i temperatur.
förändringen i området kan beräknas som:
A = A = A = A = A = T {\displaystyle {\frac {\Delta a} {a}} = \ alpha _{A} \ Delta t}
denna ekvation fungerar bra så länge som areautvidgningskoefficienten inte förändras mycket över temperaturförändringen}
, och den fraktionerade förändringen i Arean är liten 1 {\displaystyle \Delta a / a\ll 1}
. Om något av dessa villkor inte håller, måste ekvationen integreras.
Volymexpansionedit
för ett fast ämne kan vi ignorera effekterna av tryck på materialet, och den volymetriska termiska expansionskoefficienten kan skrivas:
v = 1 v d v d t {\displaystyle \ alpha _{v}={\frac {1}{v}}\, {\frac {dV}{dT}}}
där V {\displaystyle V}
är volymen av materialet, och d V / d t {\displaystyle dV/dT}
är förändringshastigheten för den volymen med temperatur.
detta innebär att volymen av ett material ändras med en viss fast bråkdel. Till exempel kan ett stålblock med en volym på 1 kubikmeter expandera till 1.002 kubikmeter när temperaturen höjs med 50 K. Detta är en expansion på 0.2%. Om vi hade ett stålblock med en volym på 2 kubikmeter, då under samma förhållanden, skulle det expandera till 2.004 kubikmeter, återigen en expansion på 0.2%. Den volymetriska expansionskoefficienten skulle vara 0,2% för 50 K eller 0,004% K−1.
om vi redan känner till expansionskoefficienten, kan vi beräkna volymförändringen
Audrey v v = codrex V Codrex t {\displaystyle {\frac {\Delta V}{v}}=\alpha _{v}\Delta t}
där Codrex V / V {\displaystyle \Delta v/v}
är den fraktionerade volymförändringen (t.ex. 0,002) och t {\displaystyle \Delta T}
är temperaturförändringen (50 msk C).
ovanstående exempel förutsätter att expansionskoefficienten inte förändrades när temperaturen förändrades och volymökningen är liten jämfört med den ursprungliga volymen. Detta är inte alltid sant, men för små temperaturförändringar är det en bra approximation. Om den volymetriska expansionskoefficienten förändras märkbart med temperaturen, eller volymökningen är signifikant, måste ovanstående ekvation integreras:
ln ( V + Δ V-V ) = ∫ T i T f α V ( T ) d T {\displaystyle \ln \left({\frac {V+\Delta V}{V}}\right)=\int _{T_{jag}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,dT}
Δ V V = exp ( ∫ T i T f α V ( T ) d T ) − 1 {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\exp \left(\int _{T_{jag}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,dT\höger)-1}
där α V ( T ) {\displaystyle \alpha _{V}(T)}
är den volymetriska expansionskoefficienten som en funktion av temperaturen T och T i {\displaystyle t_{i}}
, T f {\displaystyle t_{f}}
är de initiala respektive slutliga temperaturerna.
isotropiskt materialredigera
för isotropa material är den volymetriska värmeutvidgningskoefficienten tre gånger den linjära koefficienten:
kg V = 3 Kg L {\displaystyle \alpha _{v}=3\alfa _{L}}
detta förhållande uppstår eftersom volymen består av tre inbördes ortogonala riktningar. Således, i ett isotropiskt material, för små differentiella förändringar, är en tredjedel av den volymetriska expansionen i en enda axel. Som ett exempel, ta en kub av stål som har sidor av längd L. Den ursprungliga volymen V = L 3 {\displaystyle V=L^{3}}
och den nya volymen, efter en temperaturökning, kommer att vara V + Δ V = ( L + Δ L ) 3 = L 3 + 3 L 2 Δ L + 3 L Δ L 2 + Δ L 3 ≈ L 3 + 3 L 2 Δ L = V + 3 V Δ L L . {\displaystyle V+ \ Delta V=(L+\Delta L)^{3}=L^{3} + 3L^{2}\Delta l+3L\Delta L^{2}+\Delta l^{3}\Ca L^{3}+3L^{2}\Delta L=V+3V{\Delta l \over l}.}
vi kan lätt ignorera villkoren eftersom förändring i L är en liten mängd som på kvadrering blir mycket mindre.
så
V V = 3 Kg. L = 3 kg. {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}} = 3 {\Delta l \ över l} = 3 \ alpha _{L} \ Delta T.}
ovanstående approximation gäller för små temperatur – och dimensionsförändringar (det vill säga När t {\displaystyle \Delta T}
och cu l {\displaystyle \Delta l}
är små); men det håller inte om vi försöker gå fram och tillbaka mellan volymetriska och linjära koefficienter med större värden på Cu t {\displaystyle \Delta T}
. I det här fallet måste den tredje termen (och ibland även den fjärde termen) i uttrycket ovan beaktas.
på samma sätt är areavärmeutvidgningskoefficienten två gånger den linjära koefficienten:
kuben a = 2 kg l {\displaystyle \alpha _{a}=2\alfa _{l}}
detta förhållande kan hittas på ett sätt som liknar det i det linjära exemplet ovan och noterar att ytan på ett ansikte på kuben bara är L 2 {\displaystyle L^{2}}
. Samma överväganden måste också göras när man hanterar stora värden på t {\displaystyle \Delta T}
.
enkelt uttryckt, om längden på ett fast ämne expanderar från 1 m till 1,01 m expanderar området från 1 m2 till 1,0201 m2 och volymen expanderar från 1 m3 till 1,030301 m3.
anisotropa materialredigera
material med anisotropa strukturer, såsom kristaller (med mindre än kubisk symmetri, till exempel martensitiska faser) och många kompositer, kommer i allmänhet att ha olika linjära expansionskoefficienter}}
i olika riktningar. Som ett resultat fördelas den totala volymetriska expansionen ojämnt mellan de tre axlarna. Om kristallsymmetrin är monoklinisk eller triklinisk, är även vinklarna mellan dessa axlar föremål för termiska förändringar. I sådana fall är det nödvändigt att behandla värmeutvidgningskoefficienten som en tensor med upp till sex oberoende element. Ett bra sätt att bestämma tensorens element är att studera expansionen genom röntgenpulverdiffraktion. Den termiska expansionskoefficienten tensor för material som har kubisk symmetri (för t.ex. FCC, BCC) är isotrop.