Caída libre

Campo gravitacional uniforme sin resistencia al aireeditar

Este es el caso «manual» del movimiento vertical de un objeto que cae a una pequeña distancia cerca de la superficie de un planeta. Es una buena aproximación en el aire, siempre y cuando la fuerza de gravedad en el objeto sea mucho mayor que la fuerza de resistencia del aire, o de manera equivalente, la velocidad del objeto es siempre mucho menor que la velocidad terminal (ver más abajo).

v ( t ) = v 0 + g t {\displaystyle v(t)=v_{0}+gt\,} y ( t ) = v 0 t + y 0 + 1 2 g t 2 {\displaystyle y(t)=v_{0}t+y_{0}+{\frac {1}{2}}gt^{2}}

donde

v 0 {\displaystyle v_{0}\,} es la velocidad inicial (m/s). v (t ) {\displaystyle v (t)\,} es la velocidad vertical con respecto al tiempo (m / s). y 0 {\displaystyle y_{0}\,} es la altitud inicial (m). y ( t ) {\displaystyle y(t)\,} es la altitud con respecto al tiempo (m). t {\displaystyle t\,} es el tiempo transcurrido (s). g {\displaystyle g\,} es la aceleración debida a la gravedad (9,81 m/s2 cerca de la superficie de la tierra).

Campo gravitacional uniforme con resistencia al aireeditar

Este caso, que se aplica a paracaidistas, paracaidistas o cualquier cuerpo de masa, m {\displaystyle m} , y área de sección transversal, A {\displaystyle A} , con el número de Reynolds muy por encima del número crítico de Reynolds, de modo que la resistencia al aire es proporcional al cuadrado de la velocidad de caída, v {\displaystyle v} , tiene una ecuación de movimiento

m d v d t = m g-1 2 ρ C D A v 2 , {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg − {\frac {1}{2}}\rho C_{\mathrm {D} }Av^{2}\,,}

donde ρ {\displaystyle \ rho } es la densidad del aire y C D {\displaystyle C_ {\mathrm {D} }} es el coeficiente de arrastre, asumido como constante, aunque en general dependerá del número de Reynolds.

Suponiendo que un objeto cae del reposo y no cambia la densidad del aire con la altitud, la solución es:

v (t) = v ∞ tanh ⁡ (g t v ∞ ) , {\displaystyle v (t) = v_ {\infty } \ tanh \ left ({\frac {gt} {v_ {\infty }}} \right),}

donde la velocidad terminal viene dada por

v ∞ = 2 m g ρ C D A . {\displaystyle v_ {\infty } ={\sqrt {\frac {2mg} {\rho C_{D} A}}}\,.}

La velocidad frente al tiempo del objeto se puede integrar con el tiempo para encontrar la posición vertical en función del tiempo:

y = y 0 − v ∞ 2 g ln ⁡ cosh ⁡ ( g t v ∞ ) . {\displaystyle y=y_{0}-{\frac {v_{\infty }^{2}}{g}}\ln \cosh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right).}

Usando la figura de 56 m/s para la velocidad terminal de un humano, se encuentra que después de 10 segundos habrá caído 348 metros y alcanzado el 94% de la velocidad terminal, y después de 12 segundos habrá caído 455 metros y habrá alcanzado el 97% de la velocidad terminal. Sin embargo, cuando no se puede suponer que la densidad del aire sea constante, como en el caso de objetos que caen desde una gran altitud, la ecuación del movimiento se vuelve mucho más difícil de resolver analíticamente y, por lo general, es necesaria una simulación numérica del movimiento. La figura muestra las fuerzas que actúan sobre los meteoroides que caen a través de la atmósfera superior de la Tierra. Los saltos de HALO, incluidos los saltos récord de Joe Kittinger y Felix Baumgartner, también pertenecen a esta categoría.

Campo gravitacional de ley inversamente cuadradaeditar

Se puede decir que dos objetos en el espacio que orbitan entre sí en ausencia de otras fuerzas están en caída libre alrededor del otro, por ejemplo, que la Luna o un satélite artificial «caen alrededor» de la Tierra, o un planeta «cae alrededor» del Sol. Asumir objetos esféricos significa que la ecuación del movimiento se rige por la ley de gravitación universal de Newton, con soluciones al problema gravitacional de dos cuerpos que son órbitas elípticas que obedecen a las leyes de movimiento planetario de Kepler. Esta conexión entre objetos que caen cerca de la Tierra y objetos en órbita está mejor ilustrada por el experimento mental, Bola de cañón de Newton.

El movimiento de dos objetos que se mueven radialmente uno hacia el otro sin momento angular puede considerarse un caso especial de una órbita elíptica de excentricidad e = 1 (trayectoria elíptica radial). Esto permite calcular el tiempo de caída libre para dos objetos puntuales en una trayectoria radial. La solución de esta ecuación de movimiento produce tiempo en función de la separación:

t ( y ) = y 0 3 2 µ ( y y 0 ( 1 − y y 0 ) + arccos ⁡ y y 0 ) , {\displaystyle t(y)={\sqrt {\frac {{y_{0}}^{3}}{2\mu }}}\left({\sqrt {{\frac {y}{y_{0}}}\left(1-{\frac {y}{y_{0}}}\right)}}+\arccos {\sqrt {\frac {y}{y_{0}}}}\derecho)}

donde

t {\displaystyle t} es el tiempo después del inicio de la caída y {\displaystyle y} es la distancia entre los centros de los cuerpos y 0 {\displaystyle y_{0}} es el valor inicial de y {\displaystyle y} μ = G ( m 1 + m 2 ) {\displaystyle \mu =G(m_{1}+m_{2})} es el estándar gravitacional parámetro.

Sustituyendo y = 0 {\displaystyle y = 0} obtenemos el tiempo de caída libre.

La separación en función del tiempo viene dada por el inverso de la ecuación. El inverso está representado exactamente por la serie de potencias analíticas:

y (t) = ∑ n = 1∞)]. {\displaystyle y (t)=\sum _{n = 1}^{\infty }\left\right)\right].}

Evaluando este rendimiento: