Caduta libera

Campo gravitazionale uniforme senza resistenza all’ariamodifica

Questo è il caso “da manuale” del movimento verticale di un oggetto che cade a una piccola distanza vicino alla superficie di un pianeta. È una buona approssimazione in aria finché la forza di gravità sull’oggetto è molto maggiore della forza di resistenza dell’aria, o equivalentemente la velocità dell’oggetto è sempre molto inferiore alla velocità terminale (vedi sotto).

v ( t ) = v 0 + g t {\displaystyle v(t)=v_{0}+gt\,} y ( t ) = v 0 t + y 0 + 1 2 g t 2 {\displaystyle y(t)=v_{0}t+y_{0}+{\frac {1}{2}}gt^{2}}

dove

v 0 {\displaystyle v_{0}\,} è la velocità iniziale (m/s). v (t) {\displaystyle v (t)\,} è la velocità verticale rispetto al tempo (m/s). y 0 {\displaystyle y_{0}\,} è l’altitudine iniziale (m). y (t) {\displaystyle y (t)\,} è l’altitudine rispetto al tempo (m). t {\displaystyle t\,} è il tempo trascorso (s). g {\displaystyle g\,} è l’accelerazione dovuta alla gravità (9,81 m/s2 vicino alla superficie della terra).

Campo gravitazionale uniforme con resistenza all’ariamodifica

Questo caso, che si applica ai paracadutisti, paracadutisti o di qualsiasi corpo di massa m {\displaystyle m} , e l’area della sezione trasversale, Un {\displaystyle R} , con il numero di Reynolds ben al di sopra del numero di Reynolds critico, in modo che la resistenza dell’aria è proporzionale al quadrato della velocità di caduta, v {\displaystyle v} , ha un’equazione del moto

m d v d t = m g − 1 2 ρ C D A v 2 , {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\frac {1}{2}}\rho C_{\mathrm {D} }Av^{2}\,,}

dove ρ {\displaystyle \rho } è la densità dell’aria e C D {\displaystyle C_{\mathrm {D} }} è il coefficiente di resistenza, che si presume sia costante anche se in generale dipenderà dal numero di Reynolds.

Assumendo un oggetto che cade dal riposo e nessun cambiamento nella densità dell’aria con l’altitudine, la soluzione è:

v ( t ) = v ∞ tanh tan ( g t v ∞ ) , {\displaystyle v(t)=v_{\infty }\tanh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right),}

dove la velocità del terminale è data da

v ∞ = 2 m g ρ C Procuratore . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

La velocità dell’oggetto rispetto al tempo può essere integrata nel tempo per trovare la posizione verticale in funzione del tempo:

y = y 0 − v ∞ 2 g ln cos cosh cos ( g t v ∞ ) . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

Usando la cifra di 56 m / s per la velocità terminale di un essere umano, si scopre che dopo 10 secondi sarà caduto 348 metri e raggiunto il 94% della velocità terminale, e dopo 12 secondi sarà caduto 455 metri e avrà raggiunto il 97% della velocità terminale. Tuttavia, quando la densità dell’aria non può essere considerata costante, come per gli oggetti che cadono dall’alta quota, l’equazione del movimento diventa molto più difficile da risolvere analiticamente e di solito è necessaria una simulazione numerica del movimento. La figura mostra le forze che agiscono sui meteoroidi che cadono attraverso l’atmosfera superiore della Terra. Anche i salti HALO, inclusi i salti record di Joe Kittinger e Felix Baumgartner, appartengono a questa categoria.

Campo gravitazionale della legge del quadrato inversomodifica

Si può dire che due oggetti nello spazio che orbitano l’un l’altro in assenza di altre forze sono in caduta libera l’uno intorno all’altro, ad esempio che la Luna o un satellite artificiale “cadono intorno” alla Terra, o un pianeta “cade intorno” al Sole. Assumendo oggetti sferici significa che l’equazione del moto è governata dalla legge di gravitazione universale di Newton, con soluzioni al problema dei due corpi gravitazionali essendo orbite ellittiche che obbediscono alle leggi di Keplero del moto planetario. Questa connessione tra oggetti che cadono vicino alla Terra e oggetti orbitanti è meglio illustrata dall’esperimento mentale, la palla di cannone di Newton.

Il movimento di due oggetti che si muovono radialmente l’uno verso l’altro senza momento angolare può essere considerato un caso speciale di un’orbita ellittica di eccentricità e = 1 (traiettoria ellittica radiale). Ciò consente di calcolare il tempo di caduta libera per due oggetti puntiformi su un percorso radiale. La soluzione di questa equazione del moto produce il tempo in funzione della separazione:

t ( y ) = y 0 3 2 µ ( y, y 0 ( 1 − y, y 0 ) + arccos ⁡ y, y 0 ) , {\displaystyle t(y)={\sqrt {\frac {{y_{0}}^{3}}{2\mu }}}\left({\sqrt {{\frac {y}{y_{0}}}\left(1-{\frac {y}{y_{0}}}\right)}}+\arccos {\sqrt {\frac {y}{y_{0}}}}\right),}

dove

t {\displaystyle t} è il tempo dopo l’inizio della caduta y {\displaystyle y} è la distanza tra i centri dei corpi y 0 {\displaystyle y_{0}} è il valore iniziale di y {\displaystyle y} µ = G ( m 1 + m 2 ) {\displaystyle \mu =G(m_{1}+m_{2})} standard gravitazionale parametro.

Sostituendo y = 0 {\displaystyle y=0} otteniamo il tempo di caduta libera.

La separazione in funzione del tempo è data dall’inverso dell’equazione. L’inverso è rappresentato esattamente dalla serie di potenze analitiche:

y (t) = n n = 1∞)]. {\displaystyle y (t)= \ sum _ {n=1}^{\infty} \ left \ right) \ right].}

Valutando questo rendimento: